Kalkulus Teknik Informatika INTEGRAL Kalkulus Teknik Informatika

PENDAHULUAN INTEGRAL DIFERENSIAL

Contoh Integral Temukan anti turunan dari Dari teori derivarif kita tahu

Teorema A : Aturan Pangkat Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali (-1), maka : Jika r = 0 ? Perhatikan bahwa untuk anti derivatif suatu pangkat dari x kita tambah pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yg baru. Anti turunan sering disebut dengan Integral Tak Tentu Dalam notasi disebut tanda integral, sedangkan f(x) disebut integran

Teorema B : Kelinearan integral tak tentu Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan k adalah konstanta, maka  k f(x) dx = k  f(x) dx  [ f(x) + g(x) ] dx =  f(x) dx +  g(x) dx  [ f(x) - g(x) ] dx =  f(x) dx -  g(x) dx

Teorema C Aturan pangkat yang diperumum Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bil rasional bukan (-1), maka : Contoh : Carilah integral dari f(x) sbb.

Integral Tentu Teorema Kalkulus yg penting Jika fungsi f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, maka dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x) pada a ≤ x ≤ b.

Contoh Solusi =

Contoh Solusi = = 14-13 = 11

Contoh:Carilah area dibawah kurva dari fungsi berikut ini Solusi

Grafik

Area diantara dua kurva Area diantara 2 kurva f(x) dan g(x)

Contoh Solusi Carilah area R yang berada diantara kurva dan kurva Carilah titik pertemuan antara 2 kurva => => x=1 or x=0 => = = =

Contoh Solusi Carilah area yang dibatasi oleh garis dan kurva Carilah titik pertemuan:

Sifat-sifat Integral Tentu

Sifat-sifat Integral Tentu

Volume Benda Putar

Metode Cakram

Metode Cakram

Metode Cakram

TURUNAN DAN DIFERENSIAL Metode Cakram TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL Contoh 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Contoh 2

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Metode Kulit Tabung

Contoh

Latihan

Integral Partial Berdasarkan pada pengitegralan rumus turunan hasil dua kali fungsi : Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi : d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu Integral Parsial

Aturan yg hrs diperhatikan Bagian fungsi yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasikan tidak boleh lebih sulit daripada Contoh 1 : Misal : u = x dv = cos x dx du = dx v = sin x Integral Parsial

Rumus integralnya : = x sin x + cos x + c b. Misal diambil : u dv u v - v du = x sin x + cos x + c b. Misal diambil : u = cos x dv = x dx du = -sin x dx v = x2/2 Rumus Integral Parsialnya : Penting Sekali pemilihan u dan v Integralnya lebih susah Integral Parsial

Pengintegralan Parsial Berulang Seringkali ditemui pengintegralan parsial berulang beberapa kali Misal : u = x2 dv = sin x dx du = 2x dx v = -cos x Maka : Tampak bahwa pangkat pada x berkurang Perlu pengintegralan parsial lagi Integral Parsial

= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K Dari contoh 1 : = -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K Integral Parsial

Contoh 3 : Misal : u = ex dan dv = sinx dx du = exdx dan v = - cosx Maka : Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua u = ex dv = cos x dx du = exdx v = sin x Integral Parsial

Sehingga : Bila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama Integral Parsial