TEOREMA DASAR KALKULUS UNTUK INTEGRAL TUGAS ANALISIS REAL TEOREMA DASAR KALKULUS UNTUK INTEGRAL KELOMPOK 3 1. WAHYUDI RUSDI (P3500211004) 2. RESNAWATI (P3500211005) 3. MUFLIHAH M (P3500211006) JURUSAN MATEMATIKA TERAPAN PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS HASANUDDIN 2011

Anti Turunan Suatu fungsi F sedemikian sehingga F’(x)=f(x) untuk semua disebut antiturunan atau primitive dari f pada [a,b]. Jika f mempunyai antiturunan, dengan mudah diperoleh nilai integralnya.

Teorema Dasar (Bentuk Pertama) Theorema Dasar Kalkulus (Bentuk Pertama) Misalkan terdapat sebuah himpunan berhingga E di [a,b] dan fungsi memenuhi: (a) (b) (c) Maka diperoleh (1)

Contoh

Integral Tak Tentu Jika maka fungsi yang didefenisikan sebagai (3) untuk ini disebut integral tak tentu dari f dengan nilai awal a. (Kadang nilai selain a dapat pula digunakan sebagai nilai awal)

Contoh 1: Jika dan jika , fungsi yang didefenisikan oleh dikatakan Integral tak tentu dari f dengan nilai awal c. Tentukan hubungan antara Fa dan Fc ! Dengan menggunakan teorema Aditivitas 7.2.8 sehingga

Teorema Dasar (Bentuk Kedua) Integral tak tentu F yang didefenisikan (3) adalah kontinu pada [a,b] Teorema dasar Kalkulus (bentuk kedua). Misalkan dan f kontinu pada titik . Maka integral tak tentu yang didefenisikan dari (3), adalah terdiferensial di c dan ,

Teorema Dasar (Bentuk Kedua) Secara Umum Jika f kontinu pada [a,b] maka integral tak tentu F, yang didefiniskan oleh (3) adalah terdiferensial di [a,b] dan F’(x)=f(x) untuk semua .

Contoh 2 Jika pada [-1,1], maka dan integral tak tentu dengan nilai awal -1. Tetapi, F’(0) tidak ada, F bukan anti turunan dari f pada [-1,1]

Teorema Subtitusi Misalkan dan misalkan memiliki turunan di J. Jika adalah kontinu pada interval I yang terdapat pada maka

Contoh 1 Anggap . Disini kita subtitusikan untuk sehingga adalah kontinu pada [1,4]. Jika kita misalkan f(x)=2sin x diperoleh persamaan integral Selanjutnya dengan batas yang berbeda , tidak memiliki turunan yang kontinu pada [0,4], maka teorema 7.3.8 tidak dapat digunakan

Contoh 2 Gunakan teorema Subtitusi untuk menyelesaikan integral Subtitusikan sehingga adalah kontinu pada [1,3]. Dengan memisalkan dan sebagai batas bawah dan atas diperoleh

dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional diperoleh

Null Set Defenisi 7.3.10 Himpunan dikatakan null set jika untuk setiap terdapat berhingga himpunan dari interval buka sedemikian hingga

Null Set Jika Q(x) merupakan pernyataan tentang titik ,kita dapat mengatakan bahwa Q(x) dapat diperoleh hampir setiap anggota pada I (atau untuk hampir setiap ), jika terdapat suatu himpunan kosong sedemikian hingga Q(x) berlaku untuk semua . Pada kasus ini kita dapat menuliskannya

Contoh Bilangan rasional pada [0,1] adalah himpunan kosong. Diketahui . Diberikan . Perhatikan bahwa interval terbuka , terdapat r2 dan memiliki panjang . secara umum, interval terbuka Terdapat titik rk dan memiliki panjang . Oleh karena itu, dari interval terbuka dari setiap titik Q1 : selain itu jumlah dari panjang adalah karena berubah – ubah, Q1 adalah null set.

Kriteria Integral Lebesgue’s Sebuah himpunan terbatas dapat diintegralkan secara integral Riemann jika dan hanya jika fungsi tersebut kontinu di hampir semua titik pada [a,b] .

Teorema Komposisi Misalkan dengan Dan misalkan kontinu. Maka komposisi elemen R[a,b] . Akibat : Misalkan maka nilai absolut |f| berada di R[a,b] dan Dimana untuk semua

Teorema Hasil Kali Jika f dan g berada di ,R[a,b] maka hasil kali fg berada di R[a,b] Bukti. Jika , untuk , dari teorema komposisi, berada di R[a,b] . Dengan cara yang sama, dan g2 berada di R[a,b]tetapi, karena kita dapat menuliskan perkalian sebagai Maka

Integral dengan Partisi Misalkan F dan G terdiferensialkan di [a,b] dan misalkan f:=F dan g:=G berada di R[a,b] . Maka Bukti. Dari teorema 6.1.3 (c), turunan (FG)’ ada di [a,b], dan karena F, G kontinu dan f,g berada di R[a,b]. Teorema hasil kali 7.3.16 mengakibatkan fG dan Fg terintegralkan. Dari teorema dasar 7.3.1 mengakibatkan

Teorema Sisa Taylor Misalkan ada di [a,b] dan maka Dimana sisanya berbentuk

Daftar Pustaka Bartle, Robert Gardner. 1927. Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons, Inc. USA. http://www.fperri.net/teaching/notes/lectu re_notes_897.pdf

TERIMA KASIH