Aplikasi integral tentu Menghitung luas daerah Mengitung volume benda putar Menghitung panjang kurva Menentukan titik berat/pusat massa MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral y y Tentukan limitnya n   x a x b a b x MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: Gambar daerahnya. Partisi daerahnya Aproksimasi luas sebuah partisi Li  f(xi) xi Jumlahkan luas partisi L   f(xi) xi 5. Ambil limitnya L = lim  f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral xi y Li x xi a MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 Contoh 1. Jawab Langkah penyelesaian : Gambarlah daerahnya Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya Li  xi2 xi 4. Jumlahkan luasnya L   xi2 xi Ambil limit jumlah luasnya L = lim  xi2 xi Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y xi Li x 3 xi MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4 Contoh 2. Jawab Langkah penyelesaian : Gambarlah daerahnya Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya L  xi.y 4. Jumlahkan luasnya L   y. y Ambil limit jumlah luasnya L = lim  y. y Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y x 4 xi MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 6 Contoh 3. Jawab Langkah penyelesaian: Gambar dan Partisi daerahnya Aproksimasi : Li  (4xi - xi2)xi dan Aj  -(4xj - xj2)xj 3. Jumlahkan : L  (4xi - xi2)xi dan A   -(4xj - xj2)xj 4. Ambil limitnya L = lim  (4xi - xi2)xi dan A = lim  -(4xj - xj2)xj 5. Nyatakan dalam integral y xi Li xj x 6 4 xj xi Aj MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah y x 6 4 xi Li xi xj Aj xj MA1114 KALKULUS I

Kesimpulan : Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah y y xi y xi x y xi x MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian: Partisi daerahnya Aproksimasi : Li  [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya : L = lim  [ f(x) – g(x) ] x 6. Nyatakan dalam integral tertentu y x Li x b a x MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x Contoh 4. Langkah penyelesaian: Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya Li  (2 - x - x2)x 5. Nyatakan dalam integral tertentu Jawab y 1 2 3 4 5 x Li x x 1 2 -1 -2 -3 MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah x 1 2 -1 -2 -3 y 3 4 5 Li x MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. y x Li x Ai x a b Luas daerah = MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y d y Li x c Luas daerah = MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Contoh 5. Jawab Langkah penyelesaian: Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya Li  (6 - y - y2)y 5. Nyatakan dalam integral tertentu y 6 2 y y Li Luas daerah = x 6 MA1114 KALKULUS I

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah 2 y 6 x Li y Luas daerah = Luas daerah = Luas daerah = Luas daerah = MA1114 KALKULUS I

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. Gb. 4 MA1114 KALKULUS I

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : Metode cakram Metode cincin Metode kulit tabung y x 1 2 -2 -1 3 4 MA1114 KALKULUS I

Metode Cakram Volume Benda Putar Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V  r2h atau V   f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V    f(x)2 x V = lim   f(x)2 x y x a x h=x x y x MA1114 KALKULUS I

Metode Cakram Volume Benda Putar y x a y x y x y x x h=x y h=y y x x MA1114 KALKULUS I

Metode Cakram Volume Benda Putar Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 7. Jawab Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buatlah sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. y 2 y y x y h=y y x MA1114 KALKULUS I

Metode Cakram Volume Benda Putar y = x2 x y h=y 2 MA1114 KALKULUS I

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Contoh 6. Jawab 1 Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buat sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi Nyatakan dalam bentuk integral. y y x 2 h=x x x x x MA1114 KALKULUS I

Metode Cakram Volume Benda Putar y h=x x MA1114 KALKULUS I

Metoda Cincin a. Daerah diputar terhadap sumbu x Daerah D Benda putar h(x) D g(x) a b Daerah D Benda putar ? Volume benda putar MA1114 KALKULUS I

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. h(x) Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x). D g(x) sehingga a b h(x) g(x) MA1114 KALKULUS I

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1 Jika irisan diputar terhadap garis y=1 Akan diperoleh suatu cincin dengan Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar Sehingga D 2 1 y=-1 Volume benda putar : MA1114 KALKULUS I

Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar Catatan : Metoda cakram/cincin Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar - Metoda kulit tabung Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap Garis y = 4 b. Garis x = 3 MA1114 KALKULUS I

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan a. Sumbu putar y = 4 (i) Metoda cincin Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan y=4 Jari-jari dalam = 4 Jari-jari luar = Sehingga D 2 Volume benda putar MA1114 KALKULUS I

Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan b. Sumbu putar x=3 (i) Metoda cincin x=3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam = Jari-jari luar = Sehingga 1 D 2 3 Volume benda putar MA1114 KALKULUS I

D. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x 1. 2. y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = /4 3. 4. 5. MA1114 KALKULUS I

y = -x+1, y = x2, dan x = 0 di kuadran 1 E. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu y 1. 2. y = -x+1, y = x2, dan x = 0 di kuadran 1 3. 4. 5. MA1114 KALKULUS I

Metoda Kulit Tabung Diketahui Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar f(x) D a b Daerah D Benda putar Volume benda putar ? MA1114 KALKULUS I

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal f(x) D a b x sehingga f(x) x MA1114 KALKULUS I

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y Jika irisan dengan tinggi ,tebal dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi , tebal dan jari jari x D Sehingga 2 x Volume benda putar MA1114 KALKULUS I

Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar Catatan : Metoda cakram/cincin Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar - Metoda kulit tabung Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap Garis y = 4 b. Garis x = 3 MA1114 KALKULUS I

(ii) Metoda kulit tabung Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan y=4 Jari-jari = r = Tinggi = h = y Tebal = D Sehingga 2 Volume benda putar MA1114 KALKULUS I

(ii) Metoda kulit tabung x=3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan Tinggi = h = Jari-jari = r = 3-x Tebal = D Sehingga x 2 3-x 3 Volume benda putar MA1114 KALKULUS I

F. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x (4) sumbu y (2) garis x = -1 (5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4 G. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x (3) sumbu y (2) garis x = 6 (4) garis y = -1 MA1114 KALKULUS I

Panjang Kurva Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t) y = g(t) (1) Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva. Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika (i) dan kontinu pada [a,b] Kurva tidak berubah sekonyong-konyong (ii) dan tidak secara bersamaan nol pada (a,b) MA1114 KALKULUS I

Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva Langkah 1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian ● a b ● Partisi pada [a,b] Paritisi pada kurva MA1114 KALKULUS I

Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur 2. Hampiri panjang kurva panjang busur panjang tali busur Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat sehingga MA1114 KALKULUS I

Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur dengan sehingga Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh MA1114 KALKULUS I

Jika persamaan kurva y=f(x), Ctt: Jika persamaan kurva y=f(x), Jika persamaan kurva x=g(y), MA1114 KALKULUS I

Contoh : Hitung panjang kurva 1. Panjang kurva MA1114 KALKULUS I

2. antara x =1/3 dan x=7 Jawab : MA1114 KALKULUS I

E. Hitung panjang kurva berikut 1. 2. 3. 4. 5. 6. MA1114 KALKULUS I