Bab 11B Nonparametrik: Data Frekuensi 2

Bab 11B Bab 11B NONPARAMETRIK: DATA FREKUENSI 2 A. Pengujian Hipotesis Kecocokan Distribusi Probabilitas 1. Kecocokan Distribusi Probabilitas Uji hipotesis apakah sampel berasal dari populasi yang memiliki distribusi probabilitas yang cocok dengan distribusi probabilitas tertentu

Bab 11B Distribusi Probabilitas Sasaran Pengujian Pengujian kecocokan dilakukan terhadap beberapa distribusi probabilitas Distribusi probabilitas seragam Distribusi probabilitas binomial Distribusi probabilitas normal Pembahasan dibatasi pada distribusi probabilitas seragam dan distribusi probabilitas normal

Bab 11B Metoda Pengujian Ada tiga metoda pengujian yang dibahas berupa Metoda khi-kuadrat (syarat φ  5) Metoda Kolmogorov-Smirnov (K-S) Metoda Liliefors Metoda khi-kuadrat berdasarkan kecocokan kategori sedangkan metoda lainnya berdasarkan kumulasi kategori

Bab 11B B. Uji Hipotesis melalui Khi-kuadrat 1. Cara pengujian Sampel dan hipotesis nol dibagi menjadi sejumlah bagian Bagian yang sama pada sampel dan hipotesis nol dicocokkan Jika selisih mereka kecil maka sampel berasal dari populasi H 0 (H 0 diterima Jika selisih mereka besar maka sampel tidak berasal dari populasi H 0 (H 0 ditolak)

Bab 11B Sampel dan hipotesis nol Sampel Hipotesis H 0

Bab 11B Distribusi probabilitas pensampelan Selisih sampel dengan hipotesis membentuk distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas pensampelan berbentuk distribusi probabilitas multinomial DPP didekatkan ke distribusi probabilitas  2 (syarat φ cukup besar, patokan 5)

Bab 11B Statistik uji Untuk > 1 Untuk = 1 f = frekuensi pada sampel φ = frekuensi pada H 0 Diuji pada taraf signifikansi  dengan = k – m – 1 k = banyaknya bagian m = jumlah parameter penentu pada distribusi probabilitas

Bab 11B Pencocokan Distribusi Probabilias Seragam Pada distribusi probabilitas seragam, probabilitas adalah sama untuk k sel sehingga p = 1 / k Pada lempar koin dengan muka dan belakang, k =2 sehingga p = 1 / 2 Pada lempar dadu dengan 6 mata, k = 6 sehingga p = 1 / 6 Untuk n data atau n lemparan, pada probabilitas seragam, frekuensi setiap sel adalah  = np = n / k Pada distribusi seragam, tidak ada parameter penentu sehingga m = 0 dan = k  m  1 = k  1

Bab 11B Contoh 1 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah dadu masih seimbang, apabila sampel acak menunjukkan mata frekuensi Hipotesis H 0 : Dadu seimbang (distribusi probabilitas seragam) H 1 : Dadu tidak seimbang Sampel n = 120 f 1 = 16 f 2 = 24 f 3 = 23 f 4 = 15 f 5 = 17 f 6 = 25  1 = 20  2 = 20  3 = 20  4 = 20  5 = 20  6 = 20

Bab 11B Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan m = 0 sehingga = k  1 = 6  1 = 5 Statistik uji mata f  (f   ) 2 /  , , , , , ,25  2 = 5,00

Bab 11B Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis  2 (0,95)(5) = 11,1 Tolak H 0 jika  2 > 11,1 Terima H 0 jika  2  11,1 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0

Bab 11B Contoh 2 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah koin masih seimbang. Sampel 80 lemparan koin menampilkan M = muka dan B = belakang Sisi M B Frek Hipotesis H 0 : Koin seimbang (distribusi probabilitas seragam) H 1 : Koin tidak seimbang Sampel f M = 56 f B = 24  m = 40  b = 40

Bab 11B Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan m = 0 sehingga = k – 1 = 2 – 1 = 1 Statistik uji Karena = 1, maka perlu koreksi Yates Sisi f i  I (|f i –  i | –0,5) 2 /  I M ,00625 B ,00625  2 = 12,0125

Bab 11B Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Nilai kritis  2 (0,95)(1) = 6,0135 Tolak H 0 jika  2 > 6,0135 Terima H 0 jika  2 ≤ 6,0135 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H 0

Bab 11B Contoh 3 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah dadu seimbang unutk sampel acak mata frek

Bab 11B Contoh 4 (dikerjakan di kelas) Distribusi kelamin lelaki dan perempuan diduga adalah seragam. Dugaan ini duji pada taraf signifikansi 0,05. Sampel acak menunjukkan Kelamin lelaki perempuan Frekuensi 61 39

Bab 11B Contoh 5 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah X berdistribusi probabilitas seragam untuk sampel X X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 Frek Contoh 6 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah kelahiran bayi dari Januari sampai Desember berdistribusi probabilitas seragam untuk sampel acak Bulan J F M A M J Kelahiran Bulan J A S O N D Kelahiran

Bab 11B Contoh 7 Setiap siswa memilih sebarang 3 angka dari 11 sampai 30. Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah semua angka sama terpilihnya. Sampel pilihan 70 siswa adalah Angka Frek Angka Frek Contoh 8 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah X berdistribusi probabilitas seragam. Sampel acak X X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Frek

Bab 11B Contoh 9 Pada suatu pemilihan umum, suatu suami dan istri diduga seragam. Sampel acak menunjukkan Suara suami istri Frekuensi

Bab 11B Pencocokan Distribusi Probabilitas Normal Pencocokan dilakukan untuk memastikan apakah sampel berasal dari populasi berdistribusi probabilitas normal Pengujian dilakukan dengan membandingkan sampel dengan distribusi probabilitas normal Perbedaan di tiap pasangan sel (sampel dan H 0 ) digunakan untuk pengujian kecocokan X z n(z;0,1)frekuensi sampelDistr prob normal H 0

Bab 11B Ada beberapa hal yang perlu disesuaikan sebelum dapat dibandingkan Sampel menggunakan data mentah X, tetapi H 0 menggunakan data nilai baku z; mereka perlu disamakan (biasanya data X ke z) Sampel menggunakan frekuensi f, tetapi H 0 menggunakan probabilitas n(z; 0,1); mereka perlu disamakan (biasanya probabilitas ke frekuensi) Sampel dan H 0 terbagi ke dalam sel (dapat ditentukan dengan kaidah Sturges) sehingga perlu ditentukan batas bawah, batas atas, dan nilai

Bab 11B Penentuan batas dan nilai sel sel batas batas nilai bawah atas sel 140  ,5 144, – ,5 149, – ,5 154,5 152 Nilai sel adalah median pada sel Batas bawah dan atas terletak di tengah antara sel Pada distribusi probabilitas normal di H 0 batas bawah menjadi z bawah batas atas menjadi z atas ,5149,5 142

Bab 11B Penentuan frekuensi di distribusi probabilitas normal H 0 Pada tabel fungsi distribusi dari distribusi probabilitas normal, ditemukan Dari z atas ditemukan  atas Dari z bawah ditemukan  bawah Luas sel  =  atas   bawah Frekuensi = n  z bawah z atas  bawah  atas 

Bab 11B Pengujian hipotesis Selisih frekuensi di antara sel sampel dan sel pada distribusi probabilitas normal (H 0 ) didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat (φ  5) Distribusi probabilitas normal baku memerlukan 2 parameter penentu yakni  dan  sehingga pada derajat kebebasan m = 2 = k – m – 1 = k – 2 – 1 = k – 3

Bab 11B Contoh 10 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan (setelah dikelompokkan menurut kaidah Sturges) Kelompok Frekuensi (sel) f 140 – – – – – – –

Bab 11B Hipotesis H 0 : Populasi berdistribusi probabilitas normal H 1 : Populasi tidak berdistribusi probabilias normal Sampel Kelompok Nilai Batas Batas Frek Rerata  = 157,8 (sel) sel bawah atas f Simpangan baku s X = 8, – ,5 144,5 7 Ukuran sampel n = – ,5 149, – ,5 154, – ,5 159, – ,5 164, – ,5 169, – ,5 174,5 6

Bab 11B Nilai baku batas sel pada sampel Dengan rerata dan simpangan baku, ditemukan Kelompok Batas Batas z bawah z atas (sel) bawah atas 140 – ,5 144,5  2,26  1, – ,5 149,5  1,64  1, – ,5 154,5  1,03  0, – ,5 159,5  0,41 0, – ,5 164,5 0,21 0, – ,5 169,5 0,83 1, – ,5 174,5 1,45 2,06 Selanjutnya perlu ditentukan frekuensi sel pada distribusi probabilitas normal (H 0 )

Bab 11B Dengan bantuan tabel fungsi distribusi bawah pada distribusi probabilitas normal Dari tabel fungsi distribusi probabilitas normal baku Kelompok  bawah  atas  frekuensi (sel) n  140 – 144 0,0119 0,0505 0,0386 3, – 149 0,0505 0,1515 0, , – 154 0,1515 0,3409 0, , – 159 0,3409 0,5832 0, , – 164 0,5832 0,7967 0, , – 169 0,7967 0,9265 0, , – 174 0,9265 0,9803 0,0538 5,38

Bab 11B Distribusi probabilitas pensampelan Selisih frekuensi f– n  didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat melalui Untuk distribusi probabilitas normal m = 2 (rerata dan simpangan baku) = k – 2 – 1 = k - 3

Bab 11B Statistik uji Kelompok f n  (f– n  ) 2 / n  140 – ,86 2, – ,10 0, – ,94 0, – ,23 0,0624 derajat kebebasan = 7 – 3 = – ,35 0, – ,98 1, – ,38 0,0714  2 = 4,3963 Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian di ujung atas Nilai kritis  2 (0,95)(4) = 9,488 Tolak H 0 jika  2 > 9,488 Terima H 0 jika  2  9,488 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0

Bab 11B Contoh 11 Pada taraf signifikansi 0,05, uji normalitas populasi hasil ujian siswa. Sampel acak menunjukkan Catatan: kelompokkan menggunakan kaidah Sturges k = 1 + 3,322 log n

Bab 11B Contoh 12 Pada taraf signifikansi 0,05 uji apakah populasi berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kelompok frek kelompok frek 37 – – – – – – – – –  – – 6 13

Bab 11B Contoh 13 Pada taraf signifikansi 0,05 uji apakah populasi berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kelompok frek kelompok frek 84 – – – – – – – – – – – – – 48 29

Bab 11B C. Cara Pengujian Kecocokan melalui Uji Kolmogorov-Smirnov (K-S) 1. Cara Pengujian Akan diuji apakah sampel X berasal dari distribusi probabilitas tertentu, maka distribusi probabilitas seragam dijadikan H 0 H 0 : Distribusi probabilitas X adalah distribusi probabilitas tertentu H 1 : Distribusi probabilitas X bukan distribusi probabilitas tertentu

Bab 11B Prosedur pengujian Pada cara kecocokan kumulatif ini sampel X dikumulasikan Distribusi probabilitas H 0 juga dikumulasikan Kumulasi sampel dan kumulasi distribusi probabilitas H 0 dibandingkan Selisih di setiap bagian di dalam perbadingan ini adalah selisih kumulasi Selisih terbesar di antara mereka dijadikan patokan pada pengujian hipotesis

Bab 11B Sampel X dan distribusi probabilitas normal, kedua-duanya dikumulasikan, baru dibandingkan Sampel X Distribusi probabilitas sesuatu Kumulasi sampel X Kumulasi distribusi probabilitas sesuatu

Bab 11B Pembandingan kumulasi sampel X dengan kumulasi distribusi probabilitas sesuatu Selisih mereka juga adalah selisih kumulasi sehingga pembandingan didasarkan kepada selisih terbesar (maksimum) Selisih

Bab 11B Perbandingan kumulasi, selisih bawah dan selisih atas a dalam nilai mutlak a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a 1 selisih bawah a 2 selisih atas

Bab 11B Pengujian hipotesis Ketidakcocokan secara kumulatif ditunjukkan oleh a 1 dan a 2 Cari ketidakcocokan kumulatif maksimum a maksimum Jika a maksimum terlalu besar maka tidak cocok (tolak H 0 ) Ada tabel khusus uji Kolmogorov-Smirnov a tabel Tolak H 0 jika a maksimum > a tabel

Bab 11B Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov n  = 0,20  = 0,10  = 0,05  = 0,02  = 0,01 1 0,900 0,950 0,975 0,990 0, ,684 0,776 0,842 0,900 0, ,565 0,636 0,708 0,785 0, ,493 0,565 0,624 0,689 0, ,447 0,509 0,563 0,627 0, ,410 0,468 0,519 0,577 0, ,381 0,436 0,483 0,538 0, ,359 0,410 0,454 0,507 0, ,339 0,387 0,430 0,480 0, ,323 0,369 0,409 0,457 0, ,308 0,352 0,391 0,437 0, ,296 0,338 0,375 0,419 0, ,285 0,325 0,361 0,404 0, ,275 0,314 0,349 0,390 0, ,266 0,304 0,338 0,377 0,404

Bab 11B Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov n  = 0,20  = 0,10  = 0,05  = 0,02  = 0, ,258 0,295 0,327 0,366 0, ,250 0,286 0,318 0,355 0, ,244 0,279 0,309 0,346 0, ,237 0,271 0,301 0,337 0, ,232 0,265 0,294 0,329 0, ,226 0,259 0,287 0,321 0, ,221 0,253 0,281 0,314 0, ,216 0,247 0,275 0,307 0, ,212 0,242 0,269 0,301 0, ,208 0,238 0,264 0,295 0, ,204 0,233 0,259 0,290 0, ,200 0,229 0,254 0,284 0, ,197 0,225 0,250 0,279 0, ,193 0,221 0,246 0,275 0, ,190 0,218 0,242 0,270 0,290

Bab 11B Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov n  = 0,20  = 0,10  = 0,05  = 0,02  = 0, ,177 0,202 0,224 0,251 0, ,165 0,189 0,210 0,235 0, ,156 0,179 0,198 0,222 0, ,148 0,170 0,188 0,211 0, ,142 0,162 0,180 0,201 0, ,136 0,155 0,172 0,193 0, ,131 0,149 0,166 0,185 0, ,126 0,144 0,160 0,179 0, ,122 0,139 0,154 0,173 0, ,118 0,135 0,150 0,167 0, ,114 0,131 0,145 0,162 0, ,111 0,127 0,141 0,158 0, ,108 0,124 0,137 0,154 0, ,106 0,121 0,134 0,150 0,161 Pendekatan 1,07/√n 1,22/√n 1,36/√n 1,52/√n 1,63/√n

Bab 11B Pencocokan Distribusi Probabilitas Normal Dengan metoda Kolmogorov-Smirnov dapat diuji hipotesis tentang kecocokan distribusi probabilitas melalui sampel untuk berbagai distribusi probabilitas Di sini, dibicarakan pencocokan untuk distribusi probabilitas normal melalui sampel

Bab 11B Contoh 14 Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Kolmogorov-Smirnov, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menghasilkan X Frek Hipotesis H 0 : Populasi X berdistribusi probabilitas normal H 1 : Populasi X tidak berdistribusi probabilitas normal

Bab 11B Sampel Kumulasi proporsi sampel X f p  p 5 1 0,05 0,05 n = ,15 0,20  = 7, ,40 0,60 s X = 1, ,25 0, ,15 1,00 20

Bab 11B Kumulasi pada distribusi probabilitas normal Perhitungan nilai baku serta pencarian di tabel fungsi distribusi X z X   p 5  2,13 0,0166 0,05 6  1,20 0,1151 0,20 7  0,28 0,3897 0,60 8 0,65 0,7422 0,85 9 1,57 0,9418 1,00

Bab 11B Statistik uji X  p  a 1 a ,05 0,0166 0,0166 0, ,20 0,1151 0,0651 0, ,60 0,3897 0,1897 0, ,85 0,7422 0,1422 0, ,00 0,9418 0,0918 0,0582 a maks = 0,2103

Bab 11B Dalam bentuk grafik 0,5 1, ,1151 0,3895 0,7422 0,9418 0,1895 0,2103

Bab 11B Kriteria pengujian n = 20  = 0,05 a tabel = 0,294 Tolak H 0 jika a maks > 0,294 Terima H 0 jika a maks  0,294 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0

Bab 11B Contoh 15 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Kolmogorov-Smirnov, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan

Bab 11B Contoh 16 Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Kolmogorov-Smirnov, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan

Bab 11B Contoh 17 Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Kolmogorov-Smirnov, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitan normal. Sampel acak adalah

Bab 11B D. Cara Pengujian Kecocokan melalui Uji Liliefors 1. Cara Pengujian Seperti pada uji K-S, kumulasi proporsi dibandingkan dengan fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal Fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal ditemukan melalui tabel sehingga data perlu ditranformasi ke nilai baku

Bab 11B Selisih maksimum dalam bentuk harga mutlak T = Sup |   Σp| menjadi statistik uji (sup = supremum) Terdapat tabel khusus untuk pengujian hipotesis Tolak H 0 jika T > T tabel Terima H 0 jika T  T tabel

Bab 11B Tabel Nilai Kritis Uji Liliefors n  = 0,80  = 0,85  = 0,90  = 0,95  = 0,99 4 0,300 0,319 0,352 0,381 0, ,285 0,299 0,315 0,337 0, ,265 0,277 0,294 0,319 0, ,247 0,258 0,276 0,300 0, ,233 0,244 0,261 0,285 0, ,223 0,233 0,249 0,271 0, ,215 0,224 0,239 0,258 0, ,206 0,217 0,230 0,249 0, ,199 0,212 0,223 0,242 0, ,190 0,202 0,214 0,234 0, ,183 0,194 0,207 0,227 0, ,177 0,187 0,201 0,220 0,257

Bab 11B Tabel Nilai Kritis Uji Liliefors n  = 0,80  = 0,85  = 0,90  = 0,95  = 0, ,173 0,182 0,195 0,213 0, ,169 0,177 0,189 0,206 0, ,166 0,173 0,184 0,200 0, ,163 0,169 0,179 0,195 0, ,160 0,166 0,174 0,190 0, ,142 0,147 0,158 0,173 0, ,131 0,136 0,144 0,161 0,187 > 30 0,736/√n 0,768/√n 0,805/√n 0,886/√n 1,031/√n

Bab 11B Uji Hipotesis Pencocokan Distribusi Probabilitas Normal Contoh 18 Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Liliefors, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan X Frek Hipotesis H 0 : Populasi X berdistribusi probabilitas normal H 1 : Populasi X tidak berdistribusi probabilitas normal

Bab 11B Sampel Kumulasi proporsi sampel X f p  p 5 1 0,05 0,05 n = ,15 0,20  = 7, ,40 0,60 s X = 1, ,25 0, ,15 1,00 20

Bab 11B Kumulasi pada distribusi probabilitas normal Perhitungan nilai baku serta pencarian di tabel fungsi distribusi X z X   p 5  2,13 0,0166 0,05 6  1,20 0,1151 0,20 7  0,28 0,3897 0,60 8 0,65 0,7422 0,85 9 1,57 0,9418 1,00

Bab 11B Statistik uji X  p  T 5 0,05 0,0166 0, ,20 0,1151 0, ,60 0,3897 0, ,85 0,7422 0, ,00 0,9418 0,0582 a maks = 0,2103

Bab 11B Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pada tabel nilai kritis uji Liliefors T (  )(n) = 0,190 Tolak H 0 jika T > 0,190 Terima H 0 jika T  0,190 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H 0

Bab 11B Contoh 19 (dikerjakan di kelas) Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Liliefors, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan

Bab 11B Contoh 20 Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Liliefors, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan

Bab 11B Contoh 21 Pada taraf signifikansi 0,05, melalui uji Liliefors, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitan normal. Sampel acak adalah