Integral Lipat-Tiga

Pertama – tama f didefinisikan pada kotak segiempat Langkah pertama adalah membagi B menjadi kotak – kotak bagian. Kita lakukan dengan membagi selang [a,b] menjadi l selang-bagian berlebar sama , membagi [c,d] menjadi m selang-bagian berlebar sama dan membagi [r,s] mejadi n selang-bagian berlebar sama

yang diperlihatkan dalam Gambar 1. Bidang – bidang yang melalui titik ujung selangbagian – selangbagian ini yang sejajar terhadap bidang – bidang koordinat membagi kotak B menjadi lmn kotak-bagian yang diperlihatkan dalam Gambar 1. Masing – masing kotak bagian mempunyai volume Gambar 1.

Kemudian, kita bentuk jumlah Riemann rangkap-tiga dengan titik sampel terletak pada 2

Berdasarkan analogi dengan definisi integral lipat-dua, kita definisikan integral lipat-tiga sebagai limit dari jumlah Riemann rangkap-tiga 3 Definisi Integral lipat-tiga dari f pada kotak B adalah jika limit ini ada.

Integral lipat-tiga selalu ada jika f kontinu. Kita dapat memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi jika kita memilih titik sampel ini sebagai titik kita peroleh ekspresi yang lebih sederhana untuk integral lipat-tiga

Sama seperti untuk integral lipat-dua, metode praktis untuk penghitungan integral lipat-tiga adalah menyatakannya sebagai integral berulang Teorema Fubini untuk Integral Lipat-Tiga. Jika f kontinu Pada kotak B=[a,b]x[c,d]x[r,s], maka 4

Contoh 1: Hitunglah integral lipat-tiga dengan B adalah kotak segiempat yang diberikan oleh Penyelesaian : Kita dapat menggunakan salah satu dari enam urutan pengintegralan yang mungkin.

Jika kita memilih untuk mengintegralkan terhadap x, kemudian y, dan kemudian z, kita peroleh

Sekarang kita definisikan integral lipat-tiga pada daerah umum terbatas E dalam ruang dimensi tiga (benda pejal) dengan prosedur yang hampir sama seperti yang kita gunakan untuk integral lipat-dua. Kita lingkupi E dalam sebuah kotak B yang berjenis sama seperti pada Persamaan 1. Kemudian kita definisikan fungsi F agar fungsi ini sesuai dengan f pada E tetapi bernilai 0 untuk titik – titik pada B yang di luar E.

Menurut definisi, Integral ini ada jika f kontinu dan perbatasan E adalah mulus. Integral lipat-tiga mempunyai sifat yang pada dasarnya sama seperti integral lipat-dua. Kita batasi pada fungsi kontinu f dan pada jenis daerah sederhana yang tertentu.

Daerah pejal E dikatakan sebagai berjenis 1, jika daerah ini terletak di antara grafik dua fungsi kontinu x dan y, dengan kata lain dengan D adalah proyeksi E pada bidang-xy seperti diperlihatkan dalam Gambar 2. 5

Gambar 2 Gambar 3 Perhatikan bahwa perbatasan atas benda pejal E adalah permukaan dengan persamaan sedangkan perbatasan bawah adalah permukaan

Jika E adalah daerah jenis I yang diberikan oleh Persamaan 5, maka Khususnya, jika proyeksi D dari E pada bidang-xy adalah daerah bidang jenis I (seperti dalam Gambar 3), maka dan Persamaan 6 menjadi 6 7

Sebaliknya, jika D adalah daerah bidang jenis II (seperti dalam gambar 4), maka dan Persamaan 6 menjadi 8 Gambar 4

Contoh 2: Hitunglah dengan E adalah bidang-empat (tetrahedron) pejal yang dibatasi oleh empat bidang Penyelesaian : Proyeksi E adalah daerah segitiga yang diperlihatkan dalam Gambar 5, dan kita mempunyai

y 1 Pendeskripsian E sebagai daerah jenis 1, sehingga kita dapat menghitung integral sebagai berikut D Gambar 5 1 x

Daerah pejal E adalah jenis 2 jika berbentuk dengan D adalah proyeksi E pada bidang-yz. Permukaan belakang adalah dan permukaan depan adalah dan kita mempunyai 9

Daerah jenis 3 berbentuk dengan D adalah proyeksi E pada bidang-xz, adalah permukaan kiri, dan adalah permukaan kanan (Lihat Gambar 6). Untuk daerah jenis ini kita mempunyai 10 Gambar 6

Dalam masing – masing Persamaan 9 dan 10 boleh jadi terdapat dua ekspresi yang mungkin untuk integral tersebut tergantung pada apakah D daerah berjenis I atau jenis II (dan berpadanan terhadap Persamaan 7 dan 8)

Contoh 3: Hitung dengan E adalah daerah yang dibatasi oleh paraboloid dan bidang Penyelesaian : Benda pejal E diperlihatkan dalam Gambar 7. Jika kita pandang benda sebagai daerah jenis I, maka kita perlu meninjau proyeksinya ke bidang-xy, yang berupa daerah parabola dalam Gambar 8. (Jejak dari di bidang Adalah parabola

Gambar 7 Gambar 8

Dari kita dapatkan sehingga permukaan perbatasan bawah dari E adalah dan permukaan atasnya Karena itu, penjabaran E sebagai daerah jenis I adalah sehingga kita peroleh

Walaupun ekspresi tersebut benar, namum sangat sukar untuk dihitung. Sebagai gantinya kita akan meninjau E sebagai daerah jenis 3. Dengan demikian proyeksinya ke dalam bidang-xz berupa cakram yang diperlihatkan dalam Gambar 9. Gambar 9

Maka perbatasan kiri dari E adalah paraboloid dan perbatasan kanan adalah bidang sehingga dengan mengambil dalam Persamaan 10, kita mempunyai

Atau dapat kita tuliskan dalam koordinat polar di bidang-xz

Penerapan Integral Lipat-Tiga Ingat bahwa jika f(x)≥0 maka integral tunggal menyatakan luas di bawah kurva mulai dari a ke b, dan jika f(x,y)≥0 maka integral lipat-dua menyatakan volume di bawah permukaan dan di atas D.

Integral lipat-tiga dapat ditafsirkan dalam cara yang berbeda dalam situasi fisis yang berlainan, tergantung pada penafsiran fisis dari x, y, z, dan f(x,y,z). Pada kasus khusus dimana untuk semua titik dalam E. Maka integral lipat-tiga menyatakan volume E : 11

Contoh 4: Gunakan integral lipat-tiga untuk mencari volume bidang-empat T yang dibatasi oleh bidang – bidang Penyelesaian : Bidang-empat T dan proyeksinya D pada bidang-xy diperlihatkan dalam Gambar 10 dan 11. perbatasan bawah T adalah bidang dan perbatasan atas bidang yaitu

Karena itu, kita mempunyai Gambar 10 Gambar 11

Semua penerapan integral lipat-dua dapat langsung diperluas ke integral lipat-tiga. Misalnya, jika fungsi kerapatan dari benda pejal yang menempati daerah E adalah ρ(x,y,z), dalam satuan massa tiap satuan volume, di sebarang titik (x,y,z) yang diberikan, maka massanya adalah 12

Dan momennya terhadap tiga bidang koordinat adalah Pusat massanya terletak di titik dengan Jika kerapatannya konstan, pusat massa benda pejal disebut sentroid dari E. 13 14

Momen inersia terhadap tiga bidang koordinat adalah Muatan listrik total pada suatu benda pejal yang menempati daerah E dan mempunyai kerapatan muatan σ (x,y,z) adalah 15

Jika kita mempunyai tiga variabel acak kontinu X, Y, dan Z fungsi kerapatan bersama mereka adalah fungsi tiga variabel sedemikian rupa sehingga peluang bahwa (X, Y, Z) terletak dalam E adalah Khususnya Fungsi kerapatan bersamanya memenuhi

Contoh 5: Carilah pusat massa dari sebuah benda pejal berkerapatan konstan yang dibatasi oleh silinder parabolik dan bidang – bidang Penyelesaian : Benda pejal E dan proyeksinya pada bidang-xy diperlihatkan dalam Gambar 12. Gambar 12

Permukaan bawah dan atas dari E adalah bidang – bidang sehingga kita katakan E sebagai daerah jenis 1 : Maka jika kerapatan adalah massanya adalah

Karena kesimetrian E dan ρ terhadap bidang-xz kita dapat mengatakan bahwa dan karena itu . Momen lainnya adalah

Karena itu, pusat massanya adalah

Integral Lipat-Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola

Koordinat Silinder Koordinat silinder dari titik P adalah (r,θ,z), dengan r, θ, dan z diperlihatkan dalam Gambar 1. Andaikan E adalah daerah jenis I yang proyeksinya D pada bidang-xy digambarkan dengan mudah dalam koordinat polar (Lihat Gambar 2). Gambar 1 Gambar 2

Khususnya, andaikan bahwa f kontinu dan dengan D diberikan dalam koordinat polar oleh Telah kita ketahui bahwa 1

Dengan menggabungkan Persamaan 1 dengan persamaan 3 pada sub-bab sebelumnya kita peroleh Rumus 2 adalah rumus untuk pengintegralan lipat-tiga dalam koordinat silinder. 2

Contoh 1: Benda pejal E terletak di dalam silinder dibawah bidang dan di atas paraboloid (Lihat Gambar 3). Kerapatan di sebarang titik sebanding terhadap jaraknya dari sumbu silinder. Carilah massa E. Gambar 3

Penyelesaian : Dalam koordinat silinder, persamaan silinder adalah dan paraboloid adalah sehingga kita dapat menuliskan Karena kerapatan di (x,y,z) sebanding dengan jarak dari sumbu z maka fungsi kerapatan adalah dengan K adalah konstanta kesebandingan.

Karena itu, massa E adalah

Koordinat Bola Kita definisikan koordinat bola (ρ,θ,ø) dari sebuah titik (Lihat Gambar 4), dan kaitan antara koordinat siku – siku dengan koordinat bola adalah sebagai berikut Dalam sistem koordinat bola ini, mitra dari kotak persegi panjang adalah baji bola (spherical wedge) dengan 3

Gambar 4 Walaupun kita definisikan integral lipat-tiga dengan membagi benda pejal menjadi kotak – kotak kecil, dapat diperlihatkan bahwa pembagian benda pejal menjadi baji – baji bola kecil selalu memberikan hasil sama.

Sehingga kita bagi E menjadi baji bola yang lebih kecil dengan menggunakan bola berjarak sama , setengah-bidang dan setengah kerucut

hampir berupa kotak persegi panjang dengan ukuran Δρ, (busur lingkaran dengan jari – jari sudut Δø), dan (busur lingkaran dengan jari – jari sudut Δθ). Sehingga hampiran terhadap volume diberikan oleh