DOUBLE SAMPLING (TWO PHASE SAMPLING) PERTEMUAN 13-MPC 2 TEORI DOUBLE SAMPLING (TWO PHASE SAMPLING) Oleh: J. Purwanto Ruslam SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

Pengantar Dalam survei sampel, informasi mengenai variabel bantu (auxiliarry variable) 𝑥 seringkali dibutuhkan, untuk meningkatkan efisiensi desain Penggunaan variabel bantu dalam desain sampling antara lain untuk stratifikasi, untuk penarikan sampel (contoh: PPS Sampling, dll) maupun pada tahap estimasi parameter (contoh: estimasi rasio, estimasi regresi, dll) Pengumpulan informasi mengenai variabel bantu dari seluruh unit populasi membutuhkan biaya yang mahal, maka akan lebih murah jika dilakukan penarikan preliminary sample untuk pengukuran variabel bantu 𝑥 Tujuan dari penarikan sampel ini adalah untuk memeperoleh good estimate untuk variabel 𝑥 beserta distribusi frekuensinya. Kemudian, dilakukan subsampling dari preliminary sample untuk keperluan pengukuran variabel utama/variabel yang diteliti 𝑦.

Definisi Jadi, double sampling (two phase sampling) adalah suatu teknik sampling di mana pada fase pertama dilakukan penarikan sebanyak 𝑛 ′ unit preliminary sample dari 𝑁 unit populasi untuk pengukuran variabel bantu (yang berkorelasi dengan variabel utama), kemudian pada fase kedua dilakukan penarikan sebanyak 𝑛 unit final sample dari 𝑛 ′ unit preliminary sample untuk pengukuran variabel utama (variabel yang diteliti). UN Definition: An important application of multiphase sampling is the use of the information obtained at the first phase as supplementary information to provide more accurate estimates (by the method of regression or ratio), of the means, totals, etc., of variates obtained only in the second phase (UN, 1950)

Contoh: Suatu survei akan dilakukan untuk memperkirakan pengeluaran rumah tangga. Pengeluaran rumah tangga sangat bervariasi antar rumah tangga, sehingga apabila dilakukan survei langsung ( langsung mengambil sejumlah sampel untuk diteliti), memerlukan ukuran jumlah sampel yang besar. Untuk menghemat biaya, jumlah sampel dapat dikurangi dengan cara melakukan survei dua fase. Fase 1, diambil sejumlah sampel untuk meneliti variabel bantu yang sangat sederhana, misalnya jumlah ART, jenis pekerjaan atau gaya hidup. Variabel bantu tersebut digunakan sebagai alat utk membuat estimator, strata, atau urutan karakteristik yang akan digunakan pada pemilihan fase 2. Pada fase 2 dipilih sampel yang relatif lebih kecil untuk meneliti variabel utama, yaitu pengeluaran rumah tangga.

Perbandingan Two Stage Sampling dan Two Phase Sampling Pada Two Stage Sampling, penarikan sampel dari unit sampling tahap kedua (ssu) dilakukan secara independen pada masing-masing unit penarikan sampel tahap pertama (psu) terpilih dengan fraksi sampling yang ditetapkan. Dalam hal ini, unit yang menjadi psu≠ unit yang menjadi ssu. Contoh: Tahap pertama memilih sekolah, tahap kedua mimilih siswa psu sekolah ssusiswa Pada Double Sampling, dari psu terpilih dibentuk lagi secara keseluruhan kerangka sampel untuk penarikan sampel fase kedua sesuai metode yang ditetapkan. Jadi penarikan unit sampel fase kedua tidak dapat dilakukan secara independen pada masing-masing unit sampel fase pertama terpilih. Dalam hal ini unit yang menjadi psu=unit yang menjadi ssu Contoh: Fase pertama, memilih 𝑛 ′ dari 𝑁 siswa untuk pengukuran variabel bantu, tahap kedua memilih 𝑛 dari 𝑛 ′ siswa untuk pengukuran variabel utama. psusiswa Ssusiswa

Perbandingan Two Stage Sampling dan Two Phase Sampling Two phase sampling membutuhkan kerangka sampel elemen (ssu) yang lengkap dan mutakhir untuk keseluruhan populasi, sedangkan pada two stage sampling kerangka sampel elemen dapat diperoleh di lapangan (melalui listing atau pemutakhiran) hanya pada psu yang terpilih sebagai sampel. Secara umum, two stage sampling dapat diaplikasikan tanpa menggunakan variabel bantu, sedangkan pada two phase sampling akan lebih efisien jika memanfaatkan variabel bantu. Titik lemah dari two phase sampling adalah penarikan sampel harus menunggu hasil listing untuk keseluruhan preliminary sample selesai, sehingga memerlukan waktu yang relatif lebih lama untuk melengkapinya. Pada two stage sampling, penarikan sampel ssu untuk suatu psu terpilih bisa dilakukan setelah listing di psu tersebut selesai, tanpa harus menunggu selesainya listing di seluruh psu terpilih. Sebaliknya two phase sampling dapat meningkatkan efisiensi dengan diterapkan pada multisubject survey atau survei terintegrasi dengan tujuan antara lain efisiensi biaya dan desain.

Efisiensi Two Phase Sampling Dapat dilakukan integrasi listing untuk survei berbeda. Hasil listing sekaligus dapat digunakan untuk membentuk dua atau lebih kerangka sampel. Pembentukan kerangka sampel sedemikian rupa sehingga dapat digunakan untuk keperluan multisubject survey dengan memperhatikan sifat variabel pendukung yang sesuai dengan metode sampling yang akan digunakan. Melakukan stratifikasi dari kerangka sampel

N unit unit sub unit N unit unit Penarikan sampel dua fase akan lebih baik apabila : - presisi lebih baik dari presisi sampel satu tahap - presisi “melebihi” kenaikan biaya untuk pengukuran variabel bantu N unit unit sub unit Two stage sampling frame psu pembuatan frame ssu pengukuran vbl utama (psu) (ssu) N unit unit Two phase sampling frame usu pengukuran vbl bantu pengukuran vbl utama

Contoh penarikan sampel dua fase utk = 20 , = 5 pemilihan fase pertama pemilihan fase kedua

Double Sampling For Stratification Pada stratified sampling, populasi dibagi menjadi 𝐿 strata yang bersifat homogen within strata dan mempunyai rata-rata karakteristik yang berbeda signifikan antarstrata. Untuk mendapatkan unbiased estimator rata-rata karakteristik populasi, diperlukan informasi nilai penimbang strata 𝑊 ℎ = 𝑁 ℎ /𝑁 𝑊 ℎ = 𝑁 ℎ /𝑁 yang diperoleh dari informasi populasi. Jika penimbang strata tersebut tidak diketahui dari data populasi, teknik double sampling dapat digunakan, yaitu dengan memilih sebanyak 𝑛 ′ preliminary sample dengan SRS WOR untuk mengestimasi penimbang strata, sehingga: 𝑤 ℎ = 𝑛 ℎ ′ 𝑛 ′

Double Sampling For Stratification Selanjutnya pada fase kedua, untuk masing-masing strata dilakukan penarikan sampel sebanyak 𝑛 ℎ dari 𝑛 ℎ ′ unit secara SRS WOR untuk memperkirakan rata-rata karakteristik yang diteliti untuk tiap strata ( 𝑦 ℎ ). 𝑦 ℎ = 1 𝑛 ℎ 𝑖=1 𝑛 ℎ 𝑦 ℎ𝑖 Keterangan: 𝑦 ℎ𝑖 : nilai karakteristik yang diteliti pada strata ke-h unit ke-i Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa penarikan sampel fase pertama bertujuan untuk mendapatkan penimbang strata ( 𝑤 ℎ ) sedangkan penarikan sampel fase kedua bertujuan untuk memperkirakan rata-rata strata ( 𝑦 ℎ )

Double Sampling For Stratification Untuk mendapatkan estimasi rata-rata karakteristik populasi, dilakukan penjumlahan tertimbang antara penimbang strata ( 𝑤 ℎ ) dengan estimasi rata-rata strata ( 𝑦 ℎ ), dirumuskan: 𝑦 𝑠𝑡𝑑 = ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑦 ℎ Jika nilai dari 𝑛 ℎ tidak tergantung dari 𝑤 ℎ maka unbiased sampling variance dapat diperoleh dari rumus: 𝑉 𝑦 𝑠𝑡𝑑 = ℎ=1 𝐿 1− 𝑓 ℎ 𝑊 ℎ 2 𝑆 ℎ 2 𝑛 ℎ + 𝑁− 𝑛 ′ 𝑁−1 𝑊 ℎ 1− 𝑊 ℎ 𝑛 ′ 1− 𝑓 ℎ 𝑆 ℎ 2 𝑛 ℎ + 𝑁− 𝑛 ′ 𝑁−1 𝑛 ′ 𝑊 ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2 = ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 2 +𝑔 𝑊 ℎ 1− 𝑊 ℎ 𝑛 ′ 1− 𝑓 ℎ 𝑆 ℎ 2 𝑛 ℎ +𝑔 𝑊 ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2 𝑛 ′ Keterangan: 𝑓 ℎ = 𝑛 ℎ 𝑁 ℎ dan 𝑔= 𝑁− 𝑛 ′ 𝑁−1

Double Sampling For Stratification Untuk populasi yang besar: 𝑉 𝑦 𝑠𝑡𝑑 = ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 2 + 𝑊 ℎ 1− 𝑊 ℎ 𝑛 ′ 𝑆 ℎ 2 𝑛 ℎ + ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2 𝑛 ′ Untuk alokasi proporsional 𝑉 𝑝𝑟𝑜𝑝 𝑦 𝑠𝑡𝑑 ≅ 1 𝑛 ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 𝑆 ℎ 2 + 1 𝑛 ′ ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2 Untuk estimasi proporsi: Pda double sampling, 𝑝 𝑠𝑡𝑑 = ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑝 ℎ merupakan unbiased estimator dari proporsi populasi 𝑃, dengan varians pada populasi yang besar dirumuskan: 𝑉 𝑝 𝑠𝑡𝑑 = ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 𝑃 ℎ 1− 𝑃 ℎ 𝑛 ℎ + 𝑔 𝑛 ′ ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 𝑃 ℎ −𝑃 2

Double Sampling For Stratification Unbiased estimator untuk varians 𝑉 𝑦 𝑠𝑡𝑑 adalah: 𝑣 𝑦 𝑠𝑡𝑑 = 𝑛′ 𝑛′−1 ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 2 −𝑔 𝑤 ℎ 𝑛′ 𝑠 ℎ 2 𝑛 ℎ +𝑔 𝑤 ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑠𝑡𝑑 2 𝑛′ Alokasi optimum Fungsi biaya untuk double sampling: 𝐶 0 =𝑎+ 𝑛 ′ 𝑐 ′ +𝑛𝑐 𝑎 : overhead cost 𝑐′ dan 𝑐 masing-masing adalah biaya per unit untuk pengukuran variabel bantu dan variabel utama Fungsi varians untuk double sampling: 𝑉 𝑜𝑝𝑡 𝑦 𝑠𝑡𝑑 = 𝑉 𝑛 𝑛 + 𝑉 𝑛′ 𝑛′ 𝑉 𝑛 = ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 𝑆 ℎ 2 ; 𝑉 𝑛′ = ℎ=1 𝐿 𝑊 ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2

Double Sampling For Stratification Ukuran sampel n dan n’ yang optimum diberikan oleh: 𝑛= 𝐶 0 −𝑎 𝑉 𝑛 𝑐′ 𝑐𝑐′ 𝑐 𝑉 𝑛 + 𝑐′ 𝑉 𝑛 ′ 𝑛′= 𝐶 0 −𝑎 𝑉 𝑛′ 𝑐 𝑐𝑐′ 𝑐 𝑉 𝑛 + 𝑐′ 𝑉 𝑛 ′ Berdasarkan ukuran sampel optimum di atas, varians minimummya: 𝑉 𝑚𝑖𝑛 𝑦 𝑠𝑡𝑑 = 𝑐 𝑉 𝑛 + 𝑐′ 𝑉 𝑛′ 2 ( 𝐶 0 −𝑎)

Double Sampling For Stratification Jika fungsi biaya dan fungsi varians untuk seluruh populasi tidak diketahui, penghitungan alokasi optimum berdasarkan fungsi varians dari data sampel yaitu: 𝑣 𝑦 𝑠𝑡𝑑 = 1 𝑛′ ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑠𝑡𝑑 2 + ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 2 𝑠 ℎ 2 𝑛 ℎ Ukuran sampel n’ dan n yang optimum adalah: 𝑛 𝑜𝑝𝑡 ′ = 𝐶 0 −𝑎 ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑠𝑡𝑑 2 𝑐′ 𝑐 ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑠𝑡𝑑 2 + 𝑐′ ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑠 ℎ 𝑛 ℎ𝑜𝑝𝑡 = 𝐶 0 −𝑎 𝑤 ℎ 𝑠 ℎ 𝑐 𝑐 ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑠𝑡𝑑 2 + 𝑐′ ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑠 ℎ Varians minimumnya berdasarkan ukuran sampel di atas: 𝑉 𝑚𝑖𝑛 𝑦 𝑠𝑡𝑑 = 𝑐 ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑠𝑡𝑑 2 + 𝑐′ ℎ=1 𝐿 𝑤 ℎ 𝑠 ℎ 2 ( 𝐶 0 −𝑎)

DOUBLE SAMPLING FOR STRATIFICATION CONTOH APLIKASI DOUBLE SAMPLING FOR STRATIFICATION

Data dari hasil sensus menunjukkan seluruh petani di suatu wilayah kabupaten dibagi dalam 2 strata, seperti pada tabel berikut:

PENDUGA VARIANCE : Di mana: Juga dari fungsi biaya Sehingga dan

Penduga Variance: Untuk SRS dengan sampel sebanyak 100 tidak menggunakan double sampling , kita peroleh Dengan demikian, relative presisi SRS terhadap double sampling:

TERIMA KASIH Have A Nice Sampling