Relasi Ekivalen dan Urutan Parsial

Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi. Suatu relasi pada himpunan A dikatakan sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Dua anggota A yang berelasi oleh suatu relasi ekivalen dikatakan ekivalen.

Sifat Relasi Ekivalen Karena R refleksif, setiap elemen ekivalen terhadap dirinya sendiri. Karena R simetris, a ekivalen dengan b setiap kali b ekivalen dengan a. Karena R transitif, jika a dan b ekivalen serta b dan c ekivalen, maka a dan c juga ekivalen.

Contoh 1 Misalkan A himpunan string yang memuat alfabet dan l(x) panjang dari string x. Jika R relasi pada A dengan aRb jika dan hanya jika l(a) = l(b), apakah R suatu relasi ekivalen ? Solusi: R refleksif, karena l(a) = l(a) dan karenanya aRa untuk setiap string a. R simetris, karena jika l(a) = l(b) maka l(b) = l(a), sehingga jika aRb maka bRa. R transitif, karena jika l(a) = l(b) dan l(b) = l(c), maka l(a) = l(c), sehingga aRb dan bRc mengakibatkan aRc. Jadi, R adalah suatu relasi ekivalen.

Kelas Ekivalen Definisi. Misalkan R relasi ekivalen pada himpunan A. Himpunan semua anggota yang berelasi oleh R dengan suatu anggota a di A disebut kelas ekivalen dari a. Kelas ekivalen dari a dengan memandang relasi R dinotasikan oleh [a]R, [a]R = {s | (a,s)  R} Jika hanya ada satu relasi yang dipertimbangkan, penulisan R biasanya dihapus sehingga hanya ditulis [a]. Jika b[a]R, b dikatakan sebagai representasi dari kelas ekivalen tersebut.

Contoh 2 Dalam Contoh 4, apakah kelas ekivalen dari kata tikus, yang dinotasikan dengan [tikus] ? Solusi. [tikus] adalah himpunan semua kata yang terdiri dari lima huruf. Sebagai contoh, ‘macan’ adalah suatu representasi dari [tikus].

Teorema 1. Misalkan R suatu relasi ekivalen pada himpunan A. Maka ketiga pernyataan berikut ekivalen : aRb [a] = [b] [a]  [b]   Bukti. (i)(ii) Misalkan aRb, adb. [a] = [b] dengan menunjukkan [a]  [b] dan [b]  [a]. Misalkan x[a] maka aRx. Sedangkan aRb dan R simetris, maka bRa. Karena R transitif, maka bRa dan aRx mengakibatkan bRx. Kesimetrian dari R menyebabkan xRb dan x[b]. (ii)(iii) Misalkan [a] = [b]. Jelas, [a]  [b]   karena kerefleksifan R mengakibatkan a[a]. (iii)(i) Misalkan [a]  [b]  , maka terdapat x sehingga x[a] (xRa) dan x[b] (xRb). Karena R simetris, maka aRx. Akibatnya, aRb berdasarkan sifat transitif dari R.

Partisi Definisi. Partisi dari suatu himpunan S adalah koleksi dari subhimpunan tak kosong dari S yang disjoin dan memiliki S sebagai gabungan. Dengan kata lain, koleksi dari subhimpunan Ai, iI, membentuk partisi dari S jika dan hanya jika (i) Ai   untuk iI Ai  Aj = , jika i  j iI Ai = S

Contoh 3 Misalkan S: {u, m, b, r, o, c, k, s}. Apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S ? {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} ya. tidak (k hilang). {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} tidak (t bukan anggota S). {{u, m, b, r, o, c, k, s}} ya. {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} ya ({b,o,o,k} = {b,o,k}). {{u, m, b}, {r, o, c, k, s}, } tidak ( tidak diperbolehkan).

Kelas Ekivalen dan Partisi Teorema 2. Misalkan R relasi ekivalen pada himpunan S. Maka kelas ekivalen dari R membentuk suatu partisi dari S. Sebaliknya, jika diberikan suatu partisi {Ai | iI} pada himpunan S, terdapat relasi ekivalen R dengan himpunan Ai, iI, sebagai kelas ekivalennya .

{(a, b) | a dan b tinggal di kota yang sama} Contoh 4 Misalkan Asep, Euis dan Cucu tinggal di Garut, Stephanie dan Max di Bremen, serta Akiko di Yokohama. Misalkan R relasi ekivalen {(a, b) | a dan b tinggal di kota yang sama} pada himpunan P = {Asep, Euis, Cucu, Stephanie, Max, Akiko}. Maka R = {(Asep,Asep), (Asep,Euis),(Asep,Cucu), (Euis,Asep), (Euis,Euis), (Euis,Cucu), (Cucu,Asep), (Cucu,Euis), (Cucu,Cucu), (Stephanie,Stephanie), (Stephanie,Max), (Max,Stephanie), (Max, Max), (Akiko, Akiko)}.

{{Asep, Euis, Cucu }, {Stephanie, Max}, {Akiko}}. Contoh 3… Kelas ekivalen dari R adalah: {{Asep, Euis, Cucu }, {Stephanie, Max}, {Akiko}}. Yang juga merupakan partisi dari P. Kelas ekivalen dari setiap relasi ekivalen R pada himpunan S membentuk suatu partisi pada S, karena setiap anggota S dihubungkan dengan tepat satu kelas ekivalen.

Contoh 5 Misalkan R relasi {(a, b) | a  b (mod 3)} pada himpunan bilangan bulat. Apakah R relasi ekivalen ? Ya, R refleksif, simetris, dan transitif. Apakah kelas ekivalen dari R ? {{…, -6, -3, 0, 3, 6, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}}

Soal 1 a. Buktikan bahwa R adalah relasi ekivalen pada himpunan bilangan real. b. Deskripsikan kelas-kelas ekivalen yang muncul dari relasi ekivalen pada a.

Urutan parsial Seringkali kita harus mengurutkan anggota dari sebuah himpunan. Sebagai contoh, dalam membuat kamus kita harus bisa mengurutkan setiap dua kata. Definisi. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan sebagai urutan parsial jika relasi tersebut bersifat refleksif, anti simetris, dan transitif. Himpunan A beserta urutan parsial R disebut sebagai poset, dan dinotasikan (A,R).

Contoh 6 Relasi “lebih besar atau sama” (≤) adalah urutan parsial pada himpunan bilangan bulat. Bukti: Karena a ≤ a untuk setiap a di Z, maka ≤ reflektif. Jika a ≤ b dan b ≤ a, maka a=b. Jadi ≤ antisimetris. Jika a ≤ b dan b ≤ c, maka a ≤ c. Jadi ≤ transitif.

Contoh 7 (P(S),) adalah poset, dimana P(S) adalah himpunan kuasa dari S. Bukti: Karena A  A untuk setiap A  P(S), maka  reflektif. Jika A  B dan B  A, maka A=B. Jadi  antisimetris. Jika A  B dan B  C, maka A  C. Jadi  transitif.

Komparabel, inkomparabel… Elemen a dan b dalam poset (P,) disebut komparabel jika a  b atau b  a. Jika (tidak a  b) dan (tidak b  a) maka a dan b inkomparabel. Jika setiap dua elemen dalam poset (P,) komparabel, maka P disebut himpunan terurut linier (total) atau rantai, dan  disebut urutan linier (total). (S, ) disebut himpunan terurut baik jika  adalah urutan linier dan setiap subset dari S mempunyai anggota terkecil.

Contoh 8 Pada poset (P(S),) , dimana S={1,2}, elemen {1} dan {2} di P(S) inkomparabel, sedangkan {1} dan {1,2} komparabel. Himpunan A={{},{1},{1,2}} P(S) membentuk sebuah rantai. (Z, ≤) adalah himpunan terurut baik.

Diagram Hasse Jika sebuah poset direpresentasikan dengan menggunakan digraf ada beberapa hal yang dapat disederhanakan. Karena poset bersifat refleksif, maka loop selalu ada pada setiap titik. Jadi loop tidak perlu digambarkan. Dengan mengasusikan semua busur selalu berarah ke atas, maka tanda panah dapat dihilangkan. Semua sisi yang mewakili sifat transitif dapat dihilangkan. Representasi digraf dari poset yang menggunakan penyerhanaan diatas disebut Diagram Hasse.

Membuat Diagram Hasse untuk poset ({1,2,3,4}, ≤)

Elemen maksimal, elemen minimal… Diberikan poset (P, ). a disebut elemen maksimal di P jika tidak terdapat x di P sehingga a  x. a disebut elemen minimal di P jika tidak terdapat x di P sehingga x  a. a disebut elemen terbesar di P jika x  a untuk setiap x di P. a disebut elemen terkecil di P jika a  x untuk setiap x di P.

Contoh 9 Tentukan elemen maksimal dan elemen minimal pada poset ({2,4,5,10,12,20,25},|) Jawab: Dari Diagram Hasse terlihat bahwa elemen maksimal adalah 12, 20, dan 25, sedangkan elemen minimal adalah 2 dan 5. 2 4 5 10 25 12 20

Batas atas, batas bawah… Diberikan poset (P, ), dan A  P. a disebut batas atas dari A jika x  a untuk setiap x di A. s disebut batas atas terkecil dari A jika s  a untuk setiap a batas atas dari A. a disebut batas bawah dari A jika a  x untuk setiap x di A. s disebut batas bawah terbesar dari A jika s a s untuk setiap a batas bawah dari A.

Soal 2 h a g d b c e f j Tentukan batas bawah dan batas atas untuk {a,b,c}, {j,h} dan {a,c,d,f}. Tentukan pula batas bawah terbesar dan batas atas terkecil, jika ada.