BAB 3 DISTRIBUSI FREKUENSI A. PENDAHULUAN B. LIMIT KELAS, BATAS KELAS, NILAI TENGAH DAN LEBAR KELAS C. CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI D. DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF DAN KUMULATIF

PENDAHULUAN Seringkali data yang terkumpul tersedia dalam jumlah yang besar, sehingga sulit untuk mengenali ciri-cirinya. Oleh karenanya data tersebut perlu ditata atau diorganisir dengan membentuk kelompok data. Pengelompokan data dilakukan dengan cara: mendistribusikan data dalam kelas atau selang Menetapkan jumlah nilai tiap kelas (frekuensi kelas)

Distribusi Frekuensi Tinggi Badan 100 Mahasiswa Universitas A Suatu pengelompokan atau penyusunan data menjadi tabulasi data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinyadisebut DISTRIBUSI FREKUENSI atau TABEL FREKUENSI. Contoh: TABEL 3.1 Distribusi Frekuensi Tinggi Badan 100 Mahasiswa Universitas A Tinggi Badan Frekuensi 151-153 154-156 157-159 160-162 163-165 166-168 169-171 172-174 3 7 12 18 27 17 11 5 SUMBER:Data Buatan

Pengertian selang (interval) kelas dan frekuensi Interval kelas adalah lambang yang menunjukkan kelas, seperti pada kolom pertama 151-153 154-156, dst Frekuensi artinya banyaknya data pada kelas itu Kelas 151-153 frekuensinya 3 Kelas 154-156 frekuensinya 7,dst.

B. Limit Kelas, Batas Kelas, Nilai Tengah dan Lebar Kelas Limit kelas adalah nilai terkecil dan terbesar pada tiap kelas Pada kelas 151-153, 151 adalah limit bawah kelas dan 153 limit atas kelas Batas kelas selalu dinyatakan satu desimal lebih banyak dari data aslinya. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin supaya tidak ada data yang terletak pada batas kelas. Batas kelas dari kelas 151-153 adalah 150,5-153,5 Batas kelas dari kelas 154-156 adalah 153,5-156,5 Nilai Tengah Kelas = (Batas bawah kelas + Batas atas kelas)/2 Nilai tengah untuk kelas 156,5-159,5 adalah (156,5 + 159,5)/2 = 158 Lebar Kelas adalah selisih antara batas atas kelas dengan batas bawah kelas Lebar kelas untuk kelas 166-168 adalah: (168,5-166,5) = 3 Dalam Tabel Distribusi Frekuensi, lebar kelas selalu SAMA

Contoh data 68 52 69 51 43 36 44 35 54 57 55 56 53 33 48 32 47 65 64 49 50 42 41 24 25 63 45 46 40 62 38 37 67 59 58 60 34 39 29 30 61

TAHAP-TAHAP PEMBUATAN Tabel Distribusi Frekuensi Dari jajaran data diperoleh jangkauan atau range data: r = nilai maksimum – nilai minimum Banyaknya kelas data:gunakan rumus empiris STURGESS yaitu: K = 1 + 3,3 log n Dimana k adalah banyaknya kelas dan n banyaknya data Umumnya banyaknya kelas diambil antara 5 hingga 20. Jika terlalu banyak, kita tak akan memperoleh gambaran menyeluruh yang baik, sebaliknya jika terlalu sedikit, tidak akan didapat gambaran yang baik. TENTUKAN LEBAR KELAS ( c ) dengan cara membagi jangkauan data ( r ) dengan banyaknya kelas (k) yaitu: r/k Tetapi penentuan dengan cara seperti ini bersifat pendugaan saja. LEBAR KELAS BIASANYA DIBUAT SAMA DAN DIUSAHAKAN MERUPAKAN BILANGAN ASLI.

Tentukan limit bawah kelas untuk kelas pertama dan kemudian batas bawah kelasnya. Tambahkan dengan lebar kelas, c, pada batas bawah kelas untuk memperoleh batas atas kelas pertama Lakukan untuk kelas-kelas berikutnya. Tentukan nilai tengah untuk masing-masing kelas Tentukan frekuensi masing-masing kelas

Untuk mempermudah membuat Distribusi Frekuensi, data mentah diurutkan terlebih dahulu (terurut NAIK atau TURUN). Ini disebut JAJARAN DATA 69 62 57 56 54 52 49 48 46 43 40 36 68 55 47 39 67 61 51 45 42 35 65 60 53 38 34 64 59 50 33 41 58 37 32 63 44 30 29 25 24

Dari jajaran data tersebut, diperoleh jangkauan data (range): r = nilai maksimum – nilai minimum = 69 – 24 = 45 Banyaknya kelas data adalah: k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 180 = 8,4 Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira mendekati 8, bisa kurang dari 8 atau lebih dari 8. Lebar kelas adalah: c = (r/k) = (45/8,4) = 5,3; mendekati 5. Karena nilai minimum data adalah 24, kita dapat memilih limit bawah kelas pertama adalah 24, 23 atau 22. Usahakan tidak terlalu jauh dari nilai minimumnya.

Perhatikan bahwa nilai ujian akhir tersebut dibulatkan pada satuan terdekat sehingga batas bawah limit bawah 24 adalah 23,5: batas bawah dari limit 23 adalah 22,5; dan batas bawah dari limit bawah 22 adalah 21,5. Dengan menambah lebar kelas, yaitu c = 5 pada batas bawah kelas, maka diperoleh batas atas kelas untuk masing-masing kelas, sehingga lebih lanjut dapat diperoleh limit kelas untuk msing-masing kelas, yaitu sebagai berikut.

Alternatif 1 Alternatif 2 Alternatif 3 22-26 23-27 24-28 27-31 28-39 29-33 32-36 33-37 34-38 37-41 38-42 39-43 42-46 43-47 44-48 47-51 48-52 49-53 52-56 53-57 54-58 57-61 58-62 59-63 62-66 63-67 64-68 67-71 68-72 69-73

Perhatikan bahwa banyaknya kelas adalah 10, bukan 9 meskipun berdasarkan rumus Sturgress diperoleh banyaknya kelas adalah k = 8,4 sehingga yang paling mendekati adalah banyaknya kelas k = 9. Tetapi bila banyak kelas adalah 9 dan dengan dengan lebar kelas c = 5, maka akan ada nilai yang tidak dapat tertampung (dimuat). Oleh karena itu, kita pakai banyaknya kelas adalah k = 10 dengan lebar kelas c = 5. Selain itu dapat lihat bahwa untuk data nilai ujian akhir mata kuliah Kalkulus I terdapat tiga kelompok data, yaitu alternatif 1, alternatif 2, dan alternatif 3. Hal ini menggambarkan bahwa bila suatu data dinyatakan menjadi data kelompok, maka akan ada lebih dari satu alternatif kelompok data yang pada dasarnya semuanya bisa dipakai. Akan tetapi, untuk tiga alternatif kelompok data diatas, kita pakai altenatif 2, karena kelompok data ini lebih simetris antara limit bawah dan limit atasnya terhadap data sesungguhnya, yaitu nilai limit bawah kelas pertama tidak terlalu jauh dengan nilai 24 dan limit atas kelas kesepuluh tidak terlalu jauh dengan nilai maksimum, yaitu 69.

Selanjutnya nilai tengah kelas ditentukan dengan cara sebagai berikut: Nilai tengah kelas pertama (23-27), yaitu = (22,5+ 27,5)/2 = 25 Dengan cara yang sama dapat diperoleh nilai tengah kelas berikutnya, yaitu kelas 28-32 adalah 30, kelas 33-37 adalah 35, kelas 38-42 adalah 40, kelas 43-47 adalah 45, kelas 48-52 adalah 50, kelas 53-57 adalah 55, kelas 58-62 adalah 60, kelas 63-67 adalah 65, dn nilai tengah kelas 68-72 adalah 70. Dengan memakai jajaran data dari nilai ujian akhir mata kuliah kalkulus I tersebut, maka diperoleh turus dan frekuensi data, yaitu sebagai berikut.

Limit Kelas Turus frekuensi 23-27 II 2 28-32 IIII 4 33-37 IIII IIII IIII 15 38-32 IIII IIII IIII IIII I  21 43-47 IIII IIII IIII IIII IIII IIII I  31 48-52  IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII 35 53-57 IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII I 46 58-62  IIII IIII I 11 63-67  IIII IIII II 12 68-72  III 3

Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap data nilai ujian akhir semester mata kuliah kalkulus I dari 180 mahasiswa adalah sebagai berikut. Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus I 180 Mahasiswa. Interval Kelas Batas Kelas Nilai Tengah Frekuensi 23-27 22,5 - 27,5 25 2 28-32 27,5 - 32,5 30 4 33-37 32,5 - 37,5 35 15 38-42 37,5 - 42,5 40 21 43-47 42,5 - 47,5 45 31 48-52 47,5 - 52,5 50 53-57 52,5 - 57,5 55 46 58-62 57,5 - 62,5 60 11 63-67 62,5 - 67,5 65 12 68-72 67,5 - 72,5 70 33   Jumlah Frekuensi = 180

Perhatikan bahwa beda antara nilai tengah kelas pertama dengan nilai tengah kelas kedua, kelas ketiga, dan seterusnya adalah sama, yaitu 5 yang tidak lain adalah lebar kelas itu sendiri, yaitu C = 5. Jelaslah bahwa dengan mengelompokkan data nilai ujian akhir Kalkulus I tersebut menjadi data dalam bentuk distribusi frekuensi, maka kita menghilangkan data aslinya (data individu), tetapi distribusi frekuensi dapat memberi gambaran yang jelas mengenai keseluruhan data.

D. DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF DAN KUMULATIF Dengan memakai tabel distribusi frekuensi tersebut kita dapat mengolah data pada tabel tersebut menjadi distribusi frekuensi relatif dan distribusi frekuensi kumulatif. Distribusi frekuensi relatif bisa juga dinyatakan dalam persen. Distribusi kumulatif ada dua jenis yaitu distribusi kumulatif kurang dari dan distribusi kumulatif lebih dari.

Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus I dari 180 Mahasiswa Interval Kelas Batas Kelas Nilai Tengah Frekuensi Frekuensi Relatif (%) 23-27 22.5-27.5 25 2 1.1 28-32 27.5-32.5 30 4 2.2 33-37 32.5-37.5 35 15 8.3 38-42 37.5-42.5 40 21 11.7 43-47 42.5-47.5 45 31 17.2 48-52 47.5-52.5 50 19.4 53-57 52.5-57.5 55 46 25.6 58-62 57.5-62.5 60 11 6.1 63-67 62.5-67.5 65 12 6.7 68-72 67.5-72.5 70 3 1.7   Jumlah = 180 Jumlah= 100.0 %

Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100 %. Misalnya untuk kelas 23-27 dengan frekuensi f=2, maka frekuensi relatifnya Adalah ( 2/180) x 100% = 1,1 %, Sedangkan distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari adalah sebagai berikut.

Frekuensi Kumulatif kurang Dari Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Untuk Nilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus I dari 180 Mahasiswa Interval Kelas Batas Kelas Frekuensi Kumulatif kurang Dari Persen Kumulatif   Kurang dari 22.5 23-27 Kurang dari 27.5 2 1.1 28-32 Kurang dari 32.5 6 3.3 33-37 Kurang dari 37.5 21 11.7 38-42 Kurang dari 42.5 42 23.3 43-47 Kurang dari 47.5 73 40.6 48-52 Kurang dari 52.5 108 60 53-57 Kurang dari 57.5 154 85.6 58-62 Kurang dari 62.5 165 91.7 63-67 Kurang dari 67.5 177 98.3 68-72 Kurang dari 72.5 180 100

Frekuensi Kumulatif lebih Dari Tabel 3.6 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari Untuk Nilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus I dari 180 Mahasiswa Interval Kelas Batas Kelas Frekuensi Kumulatif lebih Dari Persen Kumulatif 23-27 lebih dari 22.5 180 100 28-32 lebih dari 27.5 178 98.9 33-37 lebih dari 32.5 174 96.7 38-42 lebih dari 37.5 159 88.3 43-47 lebih dari 42.5 138 76.7 48-52 lebih dari 47.5 107 59.4 53-57 lebih dari 52.5 72 40 58-62 lebih dari 57.5 26 14.4 63-67 lebih dari 62.5 15 8.3 68-72 lebih dari 67.5 3 1.7   lebih dari 72.5

E. HISTOGRAM, POLIGON FREKUENSI, DAN OGIF Histrogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi. Sedangkan ogif adalah grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi lebih dari atau distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Untuk menyajikan data dengan histrogram dan poligon frekuensi, maka diperlukan sumbu X dan sumbu Y. Biasanya sumbu X dipakai untuk menyatakan kelas interval dan sumbu Y dipakai untuk menyatakan frekuensi kelas baik frekuensi absolut maupun frekuensi relatif. Cara untuk menyajikan data dengan histrogram, poligon frekuensi, dan ogif adalah sebagai berikut.

1. Histogram. Suatu histrogram terdiri atas satu kumpulan batang persegi panjang yang masing-masing mempunyai : Alas pada sumbu mendatar (sumbu X) yang lebarnya sama dengan lebar kertas interval Luas yang sebanding dengan frekuensi kelas. Jika semua kelas interval sama lebarnya, maka tinggi batang sebanding dengan frekuensi kelas dan biasanya tinggi batang secara numerik sama dengan frekuensi kelas interval. Tetapi jika lebarnya tidak sama, maka tinggi batang ini harus disesuaikan.

2. Poligon Frekuensi Suatu poligon frekuensi adalah grafik garis dan frekuensi kelas yang menghubungkan nilai tengah-nilai tengah kelas dari pucak batang histrogram. Untuk menggambar poligon frekuensi secara lengkap biasanya diperlukan garis tambahan berupa segmen garis yang menghubungkan nilai tengah dari puncak batang histrogram pertama dan terakhir dengan nilai tengah kelas yang paling ujung (paling pinggir) di kiri dan kanan yang frekuensi kelasnya sama dengan nol. Dengan demikia jumlah luas batang histrogram sama dengan total luas yang dibatasi oleh poligon frekuensi dan sumbu datar (sumbu X) Histrogram dan poligon frekuensi dari distribusi frekuensi data ujian akhir semester mata kuliah Kulkulus I dari 180 mahasiswa sebagaimana dinyatakan pada Tabel 3.3 adalah sebagai berikut. Pada gambar 3.1 sumbu mendatar menyatakan nilai ujian akhir semester Kalkulus I yang telah dikelompokan menjadi 10 kelas interval dan yang tampak pada gambar adalah batas kelas dari masing-masing kelas interval. Sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi masing-masing kelas interval.

Gambar 3.1 Histogram dan Poligon Frekuensi

3. Ogif Ogif merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kurang dari. Ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif. Untuk menggambarkan ogif diperlukan tabel distribusi frekuensi kumulatif. Prinsip yang dipakai untuk menggambarkan ogif hampir sama dengan prinsif untuk menggambarkan histrogram dan poligon frekuensi. Sumbu datar dari ogif menyatakan batas kelas danb sumbu tegak menyatakan frekuensi kumulatif. Ogif dari data niai ujian akhir semester mata kulia Kalkulus I dari 180 mahasiswa sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari (Tabel 3.5) dan tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari (Tabel 3.6) masing-masing adalah sebagai berikut.

Gambar 3.2 Ogif Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Gambar 3.3 Ogif Frekuensi Kumulatif Lebih Dari