BEBERAPA EKSPEKTASI KHUSUS

Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai pdf f(x) Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai pdf f(x). Beberapa ekspektasi khusus : 1. Untuk kasus diskrit : Misalkan a1,a2,a3,… adalah nilai-nilai dari X dimana f(x) > 0, maka E(X)=a1 f(a1) + a2f(a2) + a3 f(a3)+… atau merupakan rata-rata berbobot dari nilai-nilai a1,a2,a3,… dengan bobot masing-masing ai adalah f(ai). Oleh karena itu, E(X) disebut nilai mean dari X atau nilai mean dari suatu distribusi atau mean dari populasi jika E(X) ada dan dinotasikan dengan .

2. Misalkan , untuk variabel random diskrit seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, maka atau merupakan rata-rata berbobot dari kuadrat deviasi masing-masing ai terhadap nilai mean dengan bobot dari masing-masing adalah f(ai). Nilai ini biasa disebut variansi dari X atu variansi dari distribusi atau variansi populasi, dinotasikan dengan . Dapat ditunjukkan bahwa :

yang merupakan akar dari variansi biasa disebut standar deviasi dari X atau standar deviasi dari distribusi. Diinterpretasikan sebagai suatu ukuran penyebaran dari nilai-nilai variabel random X terhadap mean .

3. Moment Generating Function (mgf) dari X Misalkan terdapat suatu bilangan positif h sedemikian hingga untuk –h < t < h, ada. Artinya untuk - variabel random diskrit : - variabel random kontinu : Ekspektasi ini dinamakan mgf dari X (mgf dari distribusi) dan dinotasikan dengan M(t). Jadi mgf dari X adalah M(t) = jika ekspektasi ini ada untuk –h<t<h, dimana h > 0.

Mgf dari variabel random X disebut juga mgf dari suatu distribusi Mgf dari variabel random X disebut juga mgf dari suatu distribusi . Akan tetapi tidak semua distribusi mempunyai mgf. Apabila suatu distribusi mempunyai mgf, maka mgfnya unik sehingga jika dua variabel random mempunyai mgf yang sama, maka kedua variabel random tersebut mempunyai distribusi yang sama. Contoh : Misalkan M(t) adalah mgf dari X, untuk semua . Tentukan pdf dari X

Karena suatu distribusi yang mempunyai mgf M(t) secara lengkap ditentukan oleh M(t), maka beberapa sifat dari distribusi dapat diturunkan secara langsung dari M(t). Contohnya adalah keberadaan M(t) untuk –h < t < h menyebabkan turunan-turunannya ada pada saat t = 0. Jadi apabila : untuk –h < t < h dengan X variabel random kontinu, maka - M(0) = E(1) = 1 -

Berdasarkan definisi turunan, Karena M(t) ada untuk –h < t < h maka M’(0) ada. Jadi, keberadaan M(t) untuk –h < t < h mengakibatkan turunannya ada di t = 0 (demikian juga untuk turunan-turunan yang lain). E(X) disebut momen ke-1 dari variabel random X.

- - disebut momen ke-2 dari X. Variansi dari X dapat dicari dari momen ke-1 dan momen ke-2 dari X, yaitu : Note : Untuk variabel random diskrit, caranya analog .

Jika m bilangan bulat positif dan jika adalah turunan ke-m dari M(t), maka disebut momen ke-m dari X atau momen ke-m dari suatu distribusi. Karena M(t) membangkitkan momen-momen dari X atau nilai-nilai dari untuk m= 1,2,…dimana (kasus diskrit) atau (kasus kontinu), maka M(t) disebut moment generating function.

Contoh 1: Misalkan X mempunyai pdf Tentukan mean dan variansi dari X. Jawab:

Contoh 2: Misalkan X mempunyai pdf Tentukan mean dan variansi dari X. Perhatikan bentuk berikut : sehingga dapat disimpulkan bahwa X tidak mempunyai mean dan variansi.

Contoh 3: Diketahui bahwa deret konvergen ke maka adalah pdf dari variabel random diskrit X. Mgf dari X jika ada, ditentukan sbb : Berdasarkan uji rasio untuk deret tak hingga, deret divergen apabila t > 0. Jadi tidak terdapat h>0 sehingga M(t) ada untuk -h < t < h. Jadi X dengan pdf f(x) tidak mempunyai mgf.