GEOMETRI ANALITIK RUANG Matematika 2 By. Retno Anggraini

Geometri analitik ruang Jarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z) ialah : OP 2 = ( x 2 + y2 + z 2 ) Jika OP = r maka : r 2 = ( x 2 + y 2 + z 2 )

SUDUT SUDUT ARAH DAN COSINUS COSINUS ARAH Jika  masing-masing sudut antara OP dgn sumbu-sumbu positif maka :  x = r cos  cos  x/r  y = r cos  atau cos  y/r   z  r cos  cos  z/r Dimana  disebut sudut sudut arah OP cos  cos  cos  disebut cosinus arah OP Dan cos 2  cos 2  cos 2 

BILANGAN ARAH GARIS cos  cos  cos  a : b : c, maka a,b,c disebut bilangan arah garis Jika diketahui a,b,c maka cos  = a / + (a 2 + b 2 + c 2 ) 1/2 cos  = b / + (a 2 + b 2 + c 2 ) 1/2 cos  = c / + (a 2 + b 2 + c 2 ) 1/2 Dimana tanda penyebut + atau – tergantung kuadran.

JARAK DARI DUA TITIK Jarak dari dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2 (x2,y2,z2) adalah : d = [(x2-x1) 2 + (y2-y1) 2 + (z2-z1) 2 ] 1/2 Bilangan arah dari garis P1P2 adalah (x2-x1), (y2-y1) dan (z2-z1) Cosinus arah dari garis P1P2 adalah cos  x2-x1)/d, cos  y2-y1)/d, cos  z2-z1)/d

TITIK Jika P(x,y,z) membagi garis P1P2 dengan perbandingan P 1 P/PP 2 = m/n = q maka : X = (x1 + qx2) / (1+q) Y= (y1 + qy2) / (1+q) Z = (z1 + qz2) / (1+q) Koordinat titik tengah T dari grs P1P2 T = [(x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1 +z2)/2]

SUDUT ANTARA DUA GARIS Didefinisikan sebagai sudut antara dua garis berpotongan, dan masing masing // dgn satu dari garis yang diketahui. Jika OP1 dan OP2 garis melalui O dan // dua garis yg diketahui,  sudut antara grs itu maka : Cos  = (x1x2 + y1y2 + z1z2) /r1r2 Dimana : r1 2 = ( x1 2 + y1 2 + z1 2 ) r2 2 = ( x2 2 + y2 2 + z2 2 )

Karena X1 = r cos   X2 = r cos  maka cos  cos  cos  cos  cos  cos   cos   Jika dua grs //, maka :    Jika dua garis tegak lurus maka   cos  cos  cos  cos  cos   cos  

 Jika q sudut antara dua garis dgn bilangan arah a1, b1, c1, dan a2,b2,c2 maka : cos  a1a2 + b1b2 + c1c2 [(a1 2 + b1 2 +c1 2    x  a2 2 + b2 2 +c2 2 )    Jika dua grs //, maka : a1/a2 = b1/b2=c1/c2  Jika dua garis tegak lurus maka   a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

BIDANG DATAR Bentuk Umum Ax + By + Cz + D = 0 Dimana A, B, C tidak semuanya nol Persamaan Bidang datar melalui titik (xo, yo, zo) adalah : A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = 0

GARIS TEGAK LURUS PADA BIDANG DATAR Syarat supaya garis g dgn blgn arah a, b,c tegak lurus pada bdg Ax + By + Cz + D = 0 ialah a/A = b/B = c/C Persamaan bidang datar melalui P1 (x1,y1,z1) tegak lurus pada garis dgn bilangan arah a,b,c adalah : a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0

DUA BIDANG SEJAJAR DAN TEGAK LURUS Dua Bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan adalah A2x + B2y + C2z + D2 = 0 - // jika A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 - Tegak lurus jika A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 =0 Jarak dari titik P1(x1,y1,z1) ke bidang Ax+By+Cx+D =0 adalah : d = Ax1 + By1 + Cz1 + D ( A 2 + B 2 + C 2 ) 1/2

Persamaan bidang datar melalui tiga titik (a,0,0), (0,b,0), dan (0,0,c) adalah ; x/a + y/b + z/c = 1 Sudut lancip antara dua bidang datar A1x+ B1y+C1z+D = 0 dan A2x + B2y+C2z+D = 0 adalah : cos  A1A2 + B1B2 + C1C2 (A1 2 +B1 2 +C1 2 ) 1/2 (A2 2 +B2 2 +C2 2 ) 1/2

TITIK POTONG TIGA BIDANG DATAR a1x+b1y+c1z = d1; a2x+b2y+c2z = d2 a3x+b3y+c3z = d3 adalah x = D1/D, y = D2/D, z = D3/D dimana : a1 b1 c1 d1 b1 c1 D = a2 b2 c2 = 0 D1= d2 b2 c2 a3 b3 c3 d3 b3 c3 a1 d1 c1 a1 b1 d1 D2 = a2 d2 c2 D3 = a2 b2 d2 a3 d3 c3 a3 b3 d3

Berkas bdg dr dua bid. A1x+ B1y+C1z+D1 = 0 dan A2x + B2y+C2z+D2 = 0 adalah : ( A1x+ B1y+C1z+D1) + (A2x+ B2y+C2z+D2)= 0 dimana  parameter Garis dalam ruang ditentukan sebagai garis potong dua bidang ( A1x+ B1y+C1z+D1) = 0 (A2x+ B2y+C2z+D2) = 0 dengan bilangan arah B1 C1 C1 A1 A1 B1 : : = a:b:c B2 C2 C2 A2 A2 B2

PERSAMAAN GRS LURUS DLM RUANG Jk sudut arah garis g adalah  ; dan jk P1(x1,y1,z1) titik pada garis g, maka grs g merupakan tempat kedudukan P(x,y,z) yg bergerak sdh : x-x1 = t cos  y-y1 = t cos  z-z1 = t cos  Jika a,b,c adalah bilangan arah garis g maka persamaan garis ini dapat ditulis sbb : x = x1 +at ; y = y1 + bt ; z = z1 + ct Dimana t = perubahan panjang P1P

BENTUK SIMETRIK PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus melalui P1(x1,y1,z1) dgn sudut – sudut arah  adalah ; x – x1 = y – y1 = z –z1 cos  cos  cos  Jika bilangan arah garis adalah a,b,c maka persamaan simerik berbentuk : x – x1 = y – y1 = z –z1 a  b  c

Jika garis g tegak lurus pada salah satu sumbu koordinat, pers garis itu berbentuk satu diantara : x = x1, y – y1 = z – z1 (tgk lrs sb x) b c y = y1, x – x1 = z – z1 (tgk lrs sb y) a c z = z1, x - x1 = y – y1 (tgk lrs sb z) a b

PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI DUA TITIK Pers garis lurus melalui dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah : x –x1 = y1 – y2 = z – z1 b b b Arah – arah relatif garis dan bidang datar Garis g dgn bilangan arah a, b, c dan bidang datar V : Ax + By + Cz + D = 0 maka : 1. g // V jika : Aa + Ba + Cc = 0 2. g V jika : A/a = B/b = C/c

BOLA Persamaan x 2 + y 2 + z 2 = R 2 adalah bola yg berpusat di O (0,0,0) dgn jari jari R. Persamaan (x-a) 2 + (y-b) 2 + (z-c) 2 = R 2 adalah bola yg berpusat di (a,b,c) dgn jari jari R. Persamaan x 2 + y 2 + z 2 +2Ax+2By+2Cz+D= R 2 adalah pers bola dgn titik pusat M (-A, -B, -C) Jari – jari R = ( A 2 + B 2 +C 2 – D ) 1/2 Jika R = 0 bola menjadi “bola titik” Jika A 2 + B 2 +C 2 – D > 0 adalah “ bola sejati ” Jika A 2 + B 2 +C 2 – D < 0 adalah “ bola khayal “ Sebuah bola tertentu oleh 4 ttk yg tdk sebidang

PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG DAN BIDANG KUTUB Jika Pers bola x 2 + y 2 + z 2 +2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau B I = 0, Maka : 1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola B I = 0 adalah x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0 2. Pers bidang kutub dari titik sebarang P(x1,y1,z1) terhadap bola B I = 0 adalah x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

 Untuk persamaan bola x 2 + y 2 + z 2 = R 2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : x1x + y1y + z1z = R 2 - Untuk persamaan bola : (x-a) 2 + (y-b) 2 + (z-c) 2 = R 2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : (x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R 2 - Kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola : x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah k = x1 2 + y1 2 + z1 2 +2Ax1+2By1+2Cz1+D k >0 jika P diluar bola, k< 0 jika P didalam bola, k = 0 jika P pada bola

Bidang kuasa dr dua bola B I = 0 dan B II = 0 B I : x 2 + y 2 + z 2 +2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0 B II : x 2 + y 2 + z 2 +2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0 Persaman bidang kuasa dari dua bola B I dan B II adalah B I - B II = 0 atau 2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0 Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat kedudukan titik – titik yang kuasanya sama terhadap bola B I dan B II

Garis kuasa dan titik kuasa 1. Jk 3 bola : B I = 0, B II = 0, dan B III = 0 tidak melalui satu titik. Maka : B I = B II = B III adalah persamaan garis kuasa tiga bola itu 2. Jika 4 bola : B I = 0, B II = 0, B III = 0 dan B IV = 0 tidak melalui 2 titik yang sama maka B I = B II = B III =B IV adalah persamaan titik kuasa dari 4 bola itu

TABUNG DAN KERUCUT Bidang Tabung adalah bidang yang dilukiskan oleh garis-garis lurus yang arahnya sama sejajar (yg disbt garis lukis) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt garis lengkung arah Bidang kerucut adalah bidang yg dilukiskan oleh garis lurus yang melalui sebuah titik tetap (yg disbt puncak kerucut) dan memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt grs lengkung arah)

BIDANG PUTARAN Bdg putaran adalah bdg yg terjadi jk sebuah grs (lengkung/lrs) berputar sekeliling sebuah grs lrs sbg sumbu. Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb z, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x 2 + y 2, z) = 0 Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb x, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x, y 2 + z 2 ) = 0

1. Jk grs lurus : x/a + z/b = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z, maka terjadi : ( x 2 + y 2 )/a + z/b = 1 ATAU (x 2 + y 2 )/ a 2 = (b-z) 2 / b 2 : ialah kerucut 2. Jk lingkaran x 2 + y 2 = a 2, y = 0 diputar sekeliling sb z, maka x 2 + y 2 + z 2 = a 2 adalah bola 3. Jk parabola : x 2 = 2pz, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi x 2 + y 2 = 2pz adalah parabolaida putaran

4. Jk ellips : x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x 2 + y 2 )/ a 2 + z 2 /b 2 = 1 atau x 2 /a 2 + y 2 /a 2 + z 2 /b 2 = 1 adalah sebuah elipsoida putaran 5.Jk hiperbola : x 2 /a 2 - z 2 /b 2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x 2 + y 2 )/ a 2 - z 2 /b 2 = 1 atau x 2 /a 2 + y 2 /a 2 - z 2 /b 2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun satu.

6. Jk hiperbola : x 2 /a 2 - z 2 /b 2 = -1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x 2 + y 2 )/ a 2 - z 2 /b 2 = -1 atau - (x 2 /a 2 ) - y 2 /a 2 + z 2 /b 2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun dua. 7. Jk grs lurus x = a, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi : (x 2 + y 2 ) 1/2 = a atau x 2 + y 2 = a 2 Ialah sebuah tabung silinder

BIDANG DERAJAT DUA 1. Elipsoida x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 Perpotonganya dgn bid koordinat berupa ellips. Pers bid singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah x1x/a 2 + y1y/b 2 + z1z/c 2 = 1 2. Parabola Eliptik x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = (2p/a 2 ) z 2

-Perpotongan dgn bid z = k > 0 x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = (2pk/a 2 ) z 2 berupa ellips - Perpotongan dgn bid y = 0 berupa parabola - Perpotongan dgn bid x= 0 berupa parabola - Persamaan bidang singgung dititik T(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a 2 + y1y/b 2 = (p/a 2 ). (z+z1)

3. Hiperbola daun satu x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 = 1 - Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa ellips Dengan bid x = 0 berupa hiperbola Dengan bid y = 0 berupa hiperbola - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a 2 + y1y/b 2 – z1z/c 2 = 1

4.Hiperbola daun dua x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 = 1 - Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = 0 berupa elips khayal y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = -1 Dengan bid y = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = k dimana k>a adalah y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = k 2 /a 2 -1 berupa ellips real (k 2 /a 2 -1) > 0 - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah : x1x/a 2 - y1y/b 2 – z1z/c 2 = 1

5. Parabolaida hiperbolik x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 2pz/a 2 - Perpotongan dgn bid z = 0, y 2 = b 2 x 2 /a 2, y = bx/a,berupa dua grs lrs - Dengan bid z = k : x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 2pk/a 2 berupa hiperbola - Dengan bid y = 0 : x 2 = 2pz berupa parabola - Dengan bid x = 0 : y 2 = -b 2 2pz /a 2 berupa parabola - Persamaan bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah : x1x/a 2 - y1y/b 2 = p/a 2 (z+z1)

SELAMAT BELAJAR GOOD LUCK