7. INDUKSI MATEMATIKA

7.1 PENDAHULUAN Deret bilangan genap positif yang terdiri dari 5 suku adalah, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 Untuk mengetahui rumus dari jumlah deret diatas adalah dengan cara mencari jumlah deret mulai dari deret yang terdiri dari 1 suku, 2 suku dan seterusnya sampai suku terakhir.

Jika deret 2 + 4 + 6 + 8 + 10 hanya terdiri dari: 1 suku, maka bentuk deretnya : 2 jumlah = 2 2 suku, maka bentuk deretnya : 2 + 4 jumlahnya = 6 3 suku, maka bentuk deretnya : 2 + 4 + 6 jumlahnya = 12 4 suku, maka bentuk deretnya : 2 + 4 + 6 + 8 jumlahnya = 20 5 suku, maka bentuk deretnya : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 jumlahnya = 30 = 1.2 = 2.3 = 3.4 = 4.5 = 5.6

Dari uraian diatas dapat kita memberi kesimpulan sementara bahwa jumlah n suku bilangan bulat genap positif adalah n (n + 1) Akan tetapi kesimpulan sementara ini harus didukung oleh bukti agar dapat dikatakan sebagai sebuah rumus.

7.2 PRINSIP INDUKSI SEDERHANA Misal p(n) adalah fungsi proposisi dan n adalah bilangan bulat positif. Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika, bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan bulat positif, terdiri dari 2 langkah, yaitu: Langkah dasar (Basis step) Buktikan, p(1) benar Langkah induksi (Inductive step) Buktikan, jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n1

Langkah 1 adalah Langkah Dasar Pada langkah ini kita harus membuktikan bahwa p(1) benar Langkah 2 Andaian bahwa p(n) benar (hipotesis induksi). Agar hipotesis induksi terpenuhi, maka harus dibuktikan bahwa p(n+1) juga benar

Contoh 7.1 Buktikan bahwa untuk n  1 p(n) : 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n(n+1) Penyelesaian: Langkah dasar, p(1) = 2 (terbukti) Langkah induksi, Misal p(n) benar, yaitu 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n(n+1) benar Maka harus dibuktikan bahwa 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2n+2(n+1) = (n+1)((n+1)+1) juga benar

Bukti: 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n(n+1) Tambahkan masing-masing ruas dengan 2(n+1) 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n2 + n + 2n + 2 = n2 + 2n + 1+n + 1 = (n+1)(n+1) + (n+1) = (n+1)((n+1)+1) Terbukti + 2 (n+1) = n(n+1) + 2 (n+1)

7.3 PRINSIP INDUKSI YANG DIRAMPATKAN Jika prinsip induksi sederhana berlaku untuk bilangan bulat n  1, maka prinsip induksi yang dirampatkan berlaku untuk setiap n0  0. Pembuktian: Langkah dasar (Basis step) Buktikan, p(0) benar Langkah induksi (Inductive step) Buktikan, jika p(n) benar, maka p(n+1) benar untuk setiap n0  0

Contoh 7.2 Buktikan bahwa untuk n  0 p(n) : 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n = 2n+1 – 1 Penyelesaian: Langkah dasar, p(0) = 1 (terbukti) Langkah induksi, Misal p(n) benar, yaitu 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n = 2n+1 – 1 Maka harus dibuktikan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1)+1 – 1 juga benar

Bukti: 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n = 2n+1 – 1 Tambahkan masing-masing ruas dengan 2n+1 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n = 2n+1 – 1 = 2.2n+1 – 1 = 2n+2 – 1 = 2(n+1)+1 – 1 Terbukti + 2n+1 + 2n+1

7.4 PRINSIP INDUKSI KUAT Prinsip induksi kuat mirip dengan induksi yang dirampatkan, kecuali pada langkah induksi. Misal p(n) adalah fungsi proposisi dan bilangan bulat positif n  n0. Pembuktian: Langkah dasar (Basis step) Buktikan, p(n0) benar Langkah induksi (Inductive step) Buktikan, Jika p(n0), p(n0+1), p(n0+2),…, p(n) benar, maka p(n+1) benar untuk setiap n  n0

Latihan 1 Buktikan dengan induksi matematik bahwa: Penyelesaian: Langkah dasar, p(1) = 1 (terbukti) Langkah induksi, Misal p(n) benar, yaitu 12 + 22 + 32 + … + n2 = (1/6)n (2n+1)(n+1) benar Maka harus dibuktikan bahwa 12+22+32+…+n2 +(n+1)2 = (1/6)(n+1)(2(n+1)+1)((n+1)+1) juga benar

Bukti: Terbukti

Latihan 2 1. Buktikan dengan induksi matematik bahwa: 2. Tentukan rumus: 3. Buktikan rumus yang didapat dari soal nomor 2.

Penyelesaian Langkah Dasar P(1) = 1 (terbukti) Langkah Induksi Misal p(n) benar, yaitu Maka harus dibuktikan bahwa

Bukti