Probabilitas dan Statistika BAB 9 Uji Hipotesis Sampel Tunggal

Pokok Bahasan Prosedur Umum Uji Hipotesis Uji Hipotesis Sampel Tunggal Means Uji Hipotesis Sampel Tunggal Persentase Uji Hipotesis Sampel Tunggal Varians Nilai P pada Uji Hipotesis

Prosedur Umum Uji Hipotesis Pengantar Hipotesis statistik  asumsi-asumsi atau perkiraan-perkiraan mengenai populasi yang mungkin salah atau juga mungkin benar. Error dalam uji hipotesis : Bila “menolak suatu hipotesis yang seharusnya diterima” Bila “menerima suatu hipotesis yang seharusnya ditolak”

Prosedur Umum Uji Hipotesis Prosedur Uji Hipotesis

Uji Hipotesis Mean dengan Sampel Tunggal Uji Dua-Ujung (two-tailed test) Uji Satu-Ujung (one-tailed test)

Uji Dua-Ujung Uji dua-ujung (two-tailed test)  uji hipotesis yang menolak hipotesis nol jika statistik sampel secara signifikan lebih tinggi atau lebih rendah daripada nilai parameter populasi yang diasumsikan Hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya : H0 : μ = nilai yang diasumsikan H1 : μ ≠ nilai yang diasumsikan

Daerah Penerimaan dan Penolakan Uji Dua-ujung Dengan Populasi Terdistribusi Normal

Uji Dua-Ujung dengan Deviasi Standar Populasi Diketahui Jika n>30 atau deviasi standar populasi diketahui dan populasi terdistribusi secara normal, maka dapat digunakan tabel distribusi normal standar (tabel z) Notasi : (batas penolakan) zα  nilai numerik pada sumbu z di mana luas daerah di bawah kurva normal standar di sebelah kanan zα adalah α.

Contoh Soal Manajer pemasaran produk Ponari Sweat mengatakan bahwa jumlah rata-rata produk yang terjual adalah 1500 kaleng. Seorang karyawan di pabrik ungin menguji pernyataan manajer pemasaran itu dengan mengambil sampel selama 36 hari. Dia mendapati bahwa jumlah penjualan rata-ratanya adalah 1450 kaleng. Dari catatan yang ada, deviasi standarnya adalah 120 kaleng. Dengan menggunakan tingkat kepentingan α = 0,01, apakah kesimpulan yang bisa ditarik oleh karyawan tersebut?

Jawaban Hipotesis α = 0,01 n = 36 > 30  digunakan distribusi z Batas-batas daerah penolakan uji dua-ujung : α = 0,01  α/2 = 0,005  + z0,005 Dari tabel distribusi normal, batas yang bersesuaian adalah + z0,005 = + 2,575 Aturan keputusan : Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < -2,575 atau RUz > +2,575. Jika tidak demikian terima H0

Jawaban Rasio uji : Pengambilan keputusan : Karena RUz berada di antara + 2,575, maka H0 diterima. Ini berarti klaim sang manajer pemasaran dapat diterima (tidak bisa ditolak) dengan resiko kesalahan (tingkat kepentingan) 0,01.

Uji Dua-Ujung dengan Deviasi Standar Populasi Tidak Diketahui Langkah-langkahnya sama seperti sebelumnya, namun perlu diperhatikan aspek-aspek berikut : Distribusi sampling hanya dapat diasumsikan mendekati bentuk normal (Gaussian) jika ukuran sampel n > 30. Dalam perhitungan rasio uji (RUz) digunakan error standar estimasi, di mana s = deviasi standar sampel.

Uji Satu-Ujung Dalam uji satu-ujunga hanya ada satu daerah penolakan, dan hipotesis nol ditolak hanya jika nilai statistik sampel berada dalam daerah ini. Daerah penolakan dan penerimaan :

Uji Satu-Ujung dengan Deviasi Standar Populasi Diketahui Hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya : H0 : μ = nilai yang diasumsikan H1 : μ > nilai yang diasumsikan  uji ujung-kanan H1 : μ < nilai yang diasumsikan  uji ujung-kiri Aturan pengambilan keputusan : Uji ujung-kiri Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < -zα. Jika tidak demikian terima H0. Uji ujung-kanan Tolak H0 dan terima H1 jika RUz > +zα. Jika tidak demikian terima H0.

Uji Satu-Ujung dengan Deviasi Standar Populasi Tidak Diketahui Prosedurnya sama dengan sebelumnya, namun perlu diperhatikan aspek-aspek : Distribusi sampling hanya dapat diasumsikan mendekati bentuk normal (Gaussian) jika ukuran sampel n > 30. Dalam perhitungan rasio uji (RUz) digunakan error standar estimasi, di mana s = deviasi standar sampel.

Contoh Soal Pemilik sebuah usaha tambang batu granit mengatakan bahwa rata-rata per hari dapat ditambang 4500 kg batu granit. Seorang calon investor mencurigai angka tersebut sengaja dibesar-besarkan untuk menarik minat investor baru. Kemudian ia mengambil sampel selama 40 hari dan mendapati bahwa rata-rata per hari batu granit yang ditambang adalah 4460 kg dengan deviasi standar 250 kg. Terbuktikah kecurigaan calon investor tersebut?

Jawaban Hipotesis α = 0,01 (misal dipilih tingkat kepentingan 1%) n = 40 > 30  digunakan distribusi z Batas daerah penolakan uji ujung-kiri : α = 0,01  -z0,001 Dari tabel distribusi normal, batas yang bersesuaian adalah -z0,001 = -2,5325 Aturan keputusan : Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < -2,3275. Jika tidak demikian terima H0

Jawaban Rasio uji : Pengambilan keputusan : Karena RUz > -2,325, maka H0 diterima. Ini berarti klaim pemilik tambang dapat diterima (tidak bisa ditolak) dengan resiko kesalahan (tingkat kepentingan) 0,01.

Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel Tunggal Prosedur sama dengan Uji Umum Hipotesis Perbedaannya pada perhitungan rasio uji (RU) : Dimana : = persentase sampel = nilai hipotesis dari persentasi populasi

Contoh Soal Editor “Jurnal Teknologi” dalam suatu seminar mengatakan bahwa hanya 25% dari mahasiswa fakultas teknik membaca jurnal tersebut setiap edisi terbitan. Suatu sampel acak 200 mahasiswa menunjukkan 45 mahasiswa membaca jurnal tersebut setiap edisi terbitannya. Pada tingkat α = 0,05 ujilah kebenaran pernyataan editor tersebut.

Jawaban Hipotesis α = 0,05 n = 200 > 30  digunakan distribusi z Batas-batas daerah penolakan uji dua-ujung : α = 0,05  α/2 = 0,025  + z0,025 Dari tabel distribusi normal, batas yang bersesuaian adalah + z0,025 = + 1,96 Aturan keputusan : Tolak H0 dan terima H1 jika RUz < -1,96 atau RUz > +1,96. Jika tidak demikian terima H0

Jawaban Rasio uji : Pengambilan keputusan : Karena RUz berada di antara + 1,96, maka H0 diterima. Ini berarti klaim editor dapat diterima dengan resiko kesalahan (tingkat kepentingan) 5%.

Uji Hipotesis Varians dengan Sampel Tunggal Sesuai dengan prosedur umum uji hipotesis. Perbedaannya distribusi yang digunakan adalah distribusi chi-kuadrat dan perhitungan rasio ujinya (RUx2) : Di mana : = varians sampel = varians populasi

Contoh Soal Sebuah perusahaan farmasi membuat tablet untuk mengobati suatu jenis penyakit tertentu, dan proses pembuatan obat tersebut dianggap di luar kontrol jika deviasi standar dari berat tablet yang dihasilkan melebihi 0,0125 miligram. Suatu sampel acak yang terdiri dari 20 tablet diperiksa dalam pemeriksaan periodik dan diperoleh deviasi standar 0,019 miligram. Dengan resiko kesalahan 5%, tentuka apakah produksi tablet tersebut sudah di luar kontrol?

Jawaban Hipotesis H0 : μ = 0,0125 H1 : μ > 0,0125 α = 0,05 Uji varians  digunakan distribusi chi-kuadrat Derajat kebebasan (df), v = n – 1 = 20 – 1 =19 Batas daerah penolakan uji ujung-kanan : α = 0,05 ; n = 19 χ219,0.05 Dari tabel chi-kuadrat, batas yang bersesuaian adalah = 30,1 Aturan keputusan : Tolak H0 dan terima H1 jika RUχ2 < 30,1. Jika tidak demikian terima H0

Jawaban Rasio uji : Pengambilan keputusan : Karena RUχ2 > 30,1, maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa proses produksi berjalan di luar kontrol dan harus segera diperbaiki.

Nilai P pada Uji Hipotesis  sebuah tingkat kepentingan yang teramati (observed significance level) yang merupakan nilai kepentingan terkecil di mana hipotesis nol akan ditolak apabila suatu prosedur pengujian hipotesis tertentu digunakan pada suatu sampel. Jika nilai P < α maka hipotesis nol ditolak pada tingkat kepentingan α Jika nilai P > α maka hipotesis nol diterima pada tingkat kepentingan α

Penentuan Nilai P

Contoh Soal Ketebalan yang diinginkan dari wafer silikon yang digunakan untuk membuat sejenis IC adalah 245 mm. Suatu sampel yang terdiri dari 50 wafer silikon diperiksa ketebalannya masing-masing dan diperoleh rata-rata ketebalan sampel tersebut adalah 246,18 mm serta deviasi standarnya 3,60 mm. Dengan tingkat kepentingan 0,01 apakah data yang diperoleh ini menunjukkan bahwa rata-rata ketebalan populasinya berbeda dengan ketebalan yang diinginkan?

Jawaban Uji hipotesis menggunakan nilai P dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : Hipotesis H0 : μ = 245 H1 : μ ≠ 245 α = 0,01 N = 50 > 30  digunakan distribusi z Aturan keputusan : Tolak H0 dan terima H1 jika P < α. Jika tidak demikian (P > α) terima H0 Rasio uji :

Jawaban Penentuan nilai P : Pengambilan keputusan Karena uji hipotesisnya adalah uji dua-ujung, maka nilai P adalah jumlah luas di ujung kanan dan kiri yang dibatasi oleh z = + RUz, dan dinotasikan sebagai : Nilai P = 2 (1 – Ф(2,32)) = 0,0204 Pengambilan keputusan Karena nilai P > α (0,0204 > 0,01) maka H0 diterima. Ini berarti ketebalan rata-rata populasi tidak berbeda dengan ketebalan yang diinginkan.