by Ratna Herdiana Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O. O (the pole) ray (polar axis)

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi: -  derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r,  + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r,  + n ) , untuk n bil. bulat genap Example: the following polar coordinates represent the same point (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos  , y = r sin  Maka r2 = x2 + y2, tan  = y/x, jika x  0 Catt. menentukan  Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 <  < /2   = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan(y/x).

Persamaan2 dalam Koordinat Polar Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin  - berpusat di (a,0): r = 2a cos  r = 2 cos  r = 2 sin  r  2 /2 -2  r  2 /2 

Konversikan persamaan polar r = 2 sin  kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin  x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin  and r2 = 4 sin . Solusi: (1 + sin  )2 = 4 sin  1 + 2 sin  + sin2  - 4 sin  = 0 sin2  - 2 sin  + 1 = 0 (sin  - 1)2 = 0  sin  = 1 Jadi sudut  =  /2 + 2n, dimana n = 0,1,… Jadi salah satu titik potong: (2,  /2)

Grafik Persamaan Polar Cardioid:

Limaçon: r = a + b cos , r = a + b sin  Limaçon: r() = 3 – 2 cos()

r = cos (n ) atau r = sin(n ) Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n ) mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil, 2n jika n genap

Rose: r() = a – b sin (n) contoh: r() = 5 – sin(2)

Grafik persamaan polar

Lemniscate:

Spiral: r = 

Grafik dari “butterfly curve” r() = exp(cos())- 2. cos(4 Grafik dari “butterfly curve” r() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin( /4)^3

Menghitung Luas dalam Koordinat Polar Definisi: Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial  =  dan  =  dan kurva r = f( ),    , adalah  = r = f()  =

Jadi A = Diket. luas lingkaran berjari r : Luas juring (sektor) lingkaran: Partisi selang [,  ]:  = 0 <1 <2 … <n = Daerah R dibagi menjadi n buah sektor. Luas sektor ke- i ( Ai )  Luas sektor dg jari2 f(i *) dan besar sudut i = i - i-1 . Ai  Jadi A =

Hitung luas daerah limaçon dgn pers. r = 3 +2 cos , 0    2

Example Solution:

Contoh 2: Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop limacon

Luas daerah yg dibatasi ikalan luar: Luas yg dibatasi ikalan dalam (r<0) Luas =

Luas daerah antara dua kurva polar r = f() dan r = g(), dengan f()  g()  0, :

Kurva Parametrik (Ch.10.4) Definisi: Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik) yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t bilangan real (parameternya). Contoh: x = cos t, y = sin t, 0 t  2 Atau

Kurva parameter dari fungsi parameter x= cos 3t, y = sin 5t, 0  t  2

Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid

Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat C(at,a) x = a(t – sin t) y = a(1- cos t) C(at,a) P(x,y) Q(at,y)

Garis tangen pada persamaan parametrik Kurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan. Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen Contoh; Cari persamaan garis tangen pada t yang ditentukan

Parametrik Koordinat Polar Kurva dalam koordinat polar, r = f( ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter  : x( ) = f( ) cos  , y( ) = f( ) sin , (x dan y dinyatakan dgn parameter ). Kemiringan dy/dx dari garis tangen

Cari persamaan garis tangen dari kurva parametrik

r = f(q) = 2 + 3 cos(8 q) di q = 3p/4. Hit. dy/dq, dx/dq , dy/dx Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar berikut ini r = f(q) = 2 + 3 cos(8 q) di q = 3p/4. Hit. dy/dq, dx/dq , dy/dx

Conic Sections