Chapter 2 4.1. The Basics of Counting 4.2. The Pigeonhole Principle

The Basics of Counting sub-bab 2.1

to count find number of esp. by assigning successive numerals repeat numerals in order (the little oxford dictionary)

Prinsip dasar: Dua macam cara menghitung (counting) Aturan Perkalian The Product Rule Aturan Penambahan The Sum Rule

Aturan Perkalian Sebuah proses dibagi dalam beberapa subproses yang berlanjut (subproses-1, subproses-2, …, dan seterusnya). Jika subproses-1 dapat diselesaikan dalam n1 cara, subproses-2 dapat diselesaikan dalam n2 cara, …………….. subproses-p dapat diselesaikan dalam np cara, maka ada (n1) (n2) …..… (np) cara untuk menyelesaikan proses tersebut

Contoh: lihat Example 1 Penomoran kursi di auditorium berbentuk satu huruf disambung dengan integer positif tidak lebih dari 100. n1 = 26, n2 = 100, maka ada 2600 nomor kursi: A001 A002 … A100 B001 B002 … B100 C001 C002 … C100 … Z001 Z002 … Z100

Format nomor telepon NXX-NXX-XXXX di mana N = 2 .. 9, X = 0 .. 9 Contoh: lihat Example 7 Format nomor telepon NXX-NXX-XXXX di mana N = 2 .. 9, X = 0 .. 9 NXX : 8 x 10 x 10 XXXX : 10 x 10 x 10 x 10 200, 201, …, 299 0000 … 9999 300, 301, …, 399 ……… 900, 901, …, 999 Contoh nomor telepon dengan format ini : 209-302-0089 Maka dengan format ini ada (800)(800)(10.000) = 6.400.000.000 nomor telepon

Aturan Penambahan Sebuah proses dapat dilakukan dalam beberapa cara, tetapi cara-cara ini tidak dapat dilaksanakan pada waktu yang sama. Jika ada n1 cara-1, n2 cara-2, …………….. np cara-p, maka ada n1 + n2 + …..… + np kemungkinan cara untuk menyelesaikan proses tersebut

Contoh: lihat Example 10 Dalam sebuah panitia, wakil dari suatu jurusan bisa dipilih dari dosen atau dari mahasiswa. Jurusan Matematika punya 37 dosen dan 83 mahasiswa. n1 = 37, n2 = 83 Maka ada 37 + 83 = 120 calon yang dapat mewakili jurusan Matematika.

Diagram pohon: Untuk visualisasi guna mempermudah penyelesaian. Contoh: lihat Example 17 Berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “11” ? Daftar bit-string dengan panjang 4 0000 0100 1000 1100 0001 0101 1001 1101 0010 0110 1010 1110 0011 0111 1011 1111

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Gambarkan tree-nya. Soal 48 halaman 312: Dengan diagram pohon, hitung berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “000” 0000 0100 1000 1100 0001 0101 1001 1101 0010 0110 1010 1110 0011 0111 1011 1111 Gambarkan tree-nya.

(The Pigeonhole Principle) Prinsip Rumah Merpati (The Pigeonhole Principle) sub-bab 4.2

Prinsip rumah merpati (the pigeonhole principle): Jika (k+1) obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi dua atau lebih obyek Obyek  merpati (pigeons) Kotak  rumah merpati (pigeonholes)

Contoh: examples 1 – 3 halaman 313 Dari antara 367 orang, ada sedikitnya dua orang yang lahir pada tanggal yang sama. 367 orang  merpati 366 hari  rumah merpati Dari 27 kata ada dua kata yang dimulai dengan huruf yang sama. 27 kata  merpati 26 huruf  rumah merpati

Jika nilai ujian menggunakan skala 0 s/d Jika nilai ujian menggunakan skala 0 s/d. 100, berapa orang mahasiswa yang megikuti ujian tersebut supaya paling sedikit ada dua orang yang nilainya sama ? 102 mahasiswa  merpati 101 nilai (0..100)  rumah merpati

Bentuk umum prinsip rumah merpati (the Generalized Pigeonhole Principle) Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek Contoh : 10 buah jeruk ditempatkan dalam 6 keranjang N = 10, k = 6 Kalau penempatannya “merata” dan tidak ada keranjang yang kosong, maka distribusinya sbb.: 1 1 2 2 2 2

Bentuk umum prinsip rumah merpati (the Generalized Pigeonhole Principle) Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek Bukti (dengan kontradiksi) Asumsi: tidak ada kotak yang berisi lebih dari N/k -1 maka total obyek tidak lebih dari k ( N/k -1) k ( N/k – 1) < k ( ( N/k + 1) – 1) karena N/k < N/k + 1 k ( N/k – 1) < k (N/k) atau total obyek < N Padahal total obyek = N Maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek (terbukti)

(N/k) (N/k)+1     N/k 40/3 = 13 1/3 40/3 12 13 14 15

Contoh 5 & 6 halaman 315: Di antara 100 orang ada paling sedikit 100 / 12 = 9 orang yang lahir pada bulan yang sama. Nilai huruf adalah A, B, C, D, E dan dalam suatu kelas ada paling sedikit 6 orang yang mendapat nilai sama. Banyaknya mahasiswa di kelas itu minimum 26 orang. A : 5 B : 5 C : 5 D : 5 E : 5 25 + 1

Soal 13 halaman 318 Lima angka dipilih dari { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Maka pasti ada sepasang angka yang jumlahnya 9 Rumah merpati (1+8) (2+7) (3+6) (4+5) Merpati  5 angka yang dipilih Jadi 5/4 = 2 (sepasang angka) menghasilkan jumlah 9

Ambil 5 “merpati” dari 4 “rumah merpati” 1 8 2 7 3 6 4 5 I II III IV

PR 4.1. no. 37, 40, 47, 48 4.2. no. 2, 4, 6, 14