Matriks dan Ruang Vektor Telah kita pelajari dalam modul satu bahwa SPL dapat disajikan dengan matriks. Dalam modul ini, kita mempelajari aljabar matriks yang menjadi dasar untuk mempelajari SPL lebih dalam, dan ruang vektor.

Cakupan materi dan prasyarat Cakupan Pengetahuan Dasar Kesamaan matriks Jumlahan matriks Perkalian matriks dengan skalar Perkalian dua matriks Matriks inverse Materi -1: Sistem Persamaan Linier Operasi baris elementer Pada modul ini, akan dibicarkan adalah Kesamaan matriks Jumlahan matriks Perkalian matriks dengan skalar Perkalian dua matriks dan Matriks inverse Untuk memahami materi ini, kamu harus sudah memahami dengan baik Sistem Persamaan Linier dan Operasi baris elementer

Matriks A = Matriks: A = [aij] Elemen: (A)ij = aij Ordo A: m x n Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom. a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : am1 am2……amj……. amn A = baris Matriks adalah array (susunan) bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom. Matriks persegi adalah matriks yang jumalah baris sama dengan jumlah kolom. Perhatikan dengan baik notasi yang dipakai. Notasi ini akan dipergunakan terus dalam pemelajaran selanjutnya. Notasi: Matriks: A = [aij] Elemen: (A)ij = aij Ordo A: m x n kolom

Matriks persegi Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama. 1 2 4 2 2 2 3 3 3 Trace(A) = 1 + 2 + 3 diagonal utama Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama. Matriks persegi mempunyai dua diagonal, diagonal yang ke kanan disebut diagonal utama. Pada matriks persegi didefinisikan trace. Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama

Matriks nol dan identitas matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol 0 0 0 0 matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0 I3 I4 I2 Matriks nol dan identitas Matriks nol adalah matriks yang setiap entrinya nol. Matriks nol adalah matriks identitas terhadap jumlahan, artinya jika Dijumlahkan dengan matriks lain A yang berukuran sama maka matriks A tersebut tidak berubah. Matriks identitas I adalah matrks persegi yang entri diagonal utamanya satu dan entri lainnya nol. Matriks identitas merupakan elemen identitas terhadap perkalian, sebab, jika dikaliakan dengan matriks lain A Yang berukran sama dengan I maka hasilnya sama dengan A. Matriks nol disebut matrik identitas terhadap jumlahan, matriks identitas disebut matriks identitas terhadap perkalian matriks 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

Kesamaan dua matriks A = B C ≠ D E = F jika x = 1 G = H Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama. 1 2 4 2 1 3 A = 1 2 4 2 1 3 B = A = B 1 2 2 2 1 3 C = 2 1 2 2 1 3 D = C ≠ D 1 2 4 2 2 2 E = x 2 4 2 2 2 F = E = F jika x = 1 Dua matriks sama jika dan hanya jika ukurannya sama dan setiap entri yang bersesuaian sama. Contoh, A = B sebab setiap entri yangyang letaknya bersesuaian adalah sama. C tidak sama dengan D sebab entri baris pertama kolom ke dua matriks C dan D tidak sama. E dan F sama hanya jika x = 1, selai itu, E tidak sama dengan F. Apakah G sama dengan H? H = ? ? ? 2 2 5 6 9 0 7 G = 2 2 2 G = H 4 5 6 9 7

Jumlahan dan pengurangan dua matriks Contoh 10 22 1 -1 A = 2 6 7 5 B = 10+2 22+6 1+7 -1+5 A + B = 12 28 8 4 = A - B = 10-2 22-6 1-7 -1-5 8 16 -6 -6 = Dua matriks dapat dijumlahkan jika ukurannya sama. Jika diberikan dua matriks berukuran sama A dan B maka A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan entri A dengan entri B yang bersesuaian. Demikian juga untuk pengurangan dua matriks, diperoleh dengan mengurankan entri yang bersesuaian. Cobalah lakukan Penjumlahan A dengan B. [Tampilkan: contoh dua matriks, jumlahkan (perlihatkan proses) Definisi jumlahan secara umum, sengan A, B dua matriks maka (A+B)ij = (A) ij + (B)ij = aij + bij Demikian juga untuk pengurangan A- B Sediakan kotak sbg posisi entri (A + B)ij, kemudian isi dengan jumlahan aij dan bij Sediakan dua matriks dan templae hasil jumlahan untuk diisi mahasiswa] Quiz: berikan dua matriks berukuran sama, jumlahkan berikan dua matriks berukuran beda, jumlahkan aa hasilnya? A + B adalah matriks nol, apakesimpulannya? Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan? Jawab: ordo dua matriks tersebut sama A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama, A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

Latihan: Jumlahan dua matriks (lanjutan) 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 K = 7 3 1 -2 4 -5 9 -4 3 L = 25 30 5 35 10 15 D = 5 6 1 7 2 3 C = C + D = ? ? ? D + C = Diberikan matriks K, L, C, D. K dapat dijumlahkan dengan L. Demikian juga C dengan D. Hitunglah C + D, dan K + L. Hitunglah juga D + C dan L + K. Apakah jumlahan dua matriks bersifat komutatif? K + L = ? ? ? L + K = Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?

Quiz: Jumlahan dua matriks C + D =… C + E = … A + B = … -8 0 4 7 2 -1 8 4 C = D = 7 2 5 2 6 -1 8 4 E = 7 2 5 2 6 0 0 0 A = 0 0 0 B = Quiz maker 6 -1 2 9 9 8 -2 16 8 C +D = Feedback:

Hasil kali skalar dengan matriks Contoh: 5A = 5x5 5x6 5x1 5x7 5x2 5x3 25 30 5 35 10 15 = 5 6 1 7 2 3 A = Apa hubungan H dengan A? 250 300 50 350 100 150 H = H = 50A Perkalian matriks dengan skalar Perkalian matirks A dengan bilangan (skalar c) menghasilkan matriks yang setiap entrinya merupakan hasil kali entri A dengan c. Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup. [Berikan contoh matriks dan bilangan. Kemudian kalikan. Berikan matriks, sajikan sebagai hasil kali skalar dan matriks lain.Definisi perkalian matriks dengan skalar secara umum. Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup. ] animasikan Quiz: Diberikan suatu matriks A, cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c?Kunci: kasus 1: c=0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.  atau sebaiknya dalam ppt? Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut: (cA)ij = c.(A)ij = caij Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)

Hasil kali skalar dengan matriks (lanjutan) K 3 x 3 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 K = 4 16 -36 12 28 0 20 36 -52 4K = 5 20 -45 15 35 0 25 45 -65 5K = Kalikan K dengan 4 kemudian kalikan dengan 5. Kalikan K dengan suatu skalar sedemikian hingga hasilnya matriks nol.

Latihan: Hasil kali skalar dengan matriks Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c? Contoh: 0 0 0 A = A = 7 2 5 2 6 c = 7 c = 0 cA = 7*0 7*0 7*0 cA = 0*2 0*7 0*2 0*5 0*2 0*6 0 0 0 = Misalkan cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c? Terdapat dua kemungkinan: Pertama, c = 0 dan A bisa sembarang matriks, Kedua, A matriks nl, dan c bisa sembarang skalar kesimpulan Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.

Perkalian matriks 1 2 7 -6 4 -9 11 3 B = 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 1 2 7 -6 4 -9 11 3 B = 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35 -49 -35 -94 -55 94 -35 -49 -35 -94 -55 A B = = Perkalian matriks Jika A matriks berukuran kxl, B berukuran lxm, maka hasil kali A dan B adalah matriks C berukuran kxm. Entri baris ke i kolom ke j matriks C adalah jumlahan dari hasil kali entri pada baris i dengan entri di kolom j yang bersesuaian. Sebagai contoh, entri baris pertama kolom pertama AB adalah jumlahan hasil kali baris pertama A Dengan kolom pertama B. Entri baris ke dua kolom pertama AB (yaitu -49) diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali baris ke dua A dengan kolom pertama B.   Apa syaratnya agar dua matriks dapat dikalikan? Jawabnya adalah: jumlah kolom matrik pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua. Apakah perkalian matriks tidak bersifat komutatif? Jika hasil kali dua matriks adalah matriks nol, apakah salah satu matriks yang dikalikan adalah matriks nol? t Perpangkatan matriks Perpangkatan matiks merupakan perkalian berulang. Tentu saja perpangkatan hanya dapat dilakukan pada matriks persegi. Pangkat nol dari matriks didefinisikan sebagai matriks identitas. [Definisi dengan bentuk umum  demo perkalian matriks. Highlight di tempat yang tepat] [Berikan contoh matrik 3x4 dan 4x2, kalikan, highlight baris dan kolom yang sedang dkerjakan. Berikan kotak2 untuk menampung hasil kali baris dan kolom. (Anton 28) Berikan contoh matriks yang tidak dapat dikalikan. Diagram ukuran perkalian matriks: A B AB kxl lxm kxm (lengkapi dengan garis] Sifat-sifat perkalian matriks Quiz: A x B apakah sama dengan B x A? Feedback dgn counter example matriks 2x2  atau ppt? AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol? Feedback: dengan counter example. berikan beberapa pasang matriks, mhs diminta untuk menentukan hasil kalinya jika dapat dikalikan.WS 1: diberikan tabel mahasiswa tick pada cell jika benar Perpngkatanmatriks: A0 matriks identitas. An =…, A n Am =….

Perkalian matriks (lanjutan) Definisi: Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut: r ∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj k = 1 (C)ij = (AB)ij = A B AB Syarat: m x r r x n m x n Misalkan C = AB. Elemen baris ke-i kolom ke j dari C sama dengan jumlahan baris ke i matriks A dengan kolom ke j matriks B. Jika diberikan matriks A dan B, AB terdefinisi jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perhatikan diagram. Hasil kalinya, yaitu AB mempunyai jumlah baris = jumlah baris A, dan jumlah kolom AB = jumlah kolom B. Diberikan dua matriks, dapatkah kamu menentukan AB dan BA? 1 2 7 -6 4 -9 B = 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = Tentukan AB dan BA

Perkalian matriks (lanjutan) 1 2 7 -6 4 -9 11 3 B = 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35 -49 -35 -94 -55 94 -35 -49 -35 -94 -55 A B = = AB terdefinisi karena jumlah kolom A = jumlah baris B. BA tidak terdefinisi, sebab jumlah kolom B tidak sama Dengan jumlah baris A. BA tidak didefinisikan

Perkalian matriks (lanjutan) Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu? A B n x k m x n B A n x k m x n m = k AB dan BA matriks persegi ABmxm ABnxn 2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol? Quiz Feedback: A dan B matriks persegi dengan ordo sama Lihat slide Belum tentu, berikan contoh 2 3 A = 3 -3 -2 2 B = 0 0 AB = AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol

Latihan: Perkalian matriks (lanjutan) Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi. A B = ?? AC = ?? BD = ?? CD = ?? DB = ?? 2 3 4 5 4 7 9 0 2 3 5 6 A = 1 2 -9 0 8 0 5 6 B = 7 -11 4 3 5 -6 C = 1 8 9 5 6 2 5 6 -9 0 0 -4 7 8 9 D = [Matriksnya muncul dulu baru soalnya] Kerjakan latihan ini, jika masih belum yakin dengan hasilnya beberapa hal dapat kamu lakukan: Membaca buku text, Diskusi dengan teman, Kirim pertanyaan di forum

Perpangkatan matriks A0 = I An = A A A …A n faktor An+m = An Am Contoh: 2 3 1 2 A = 2 3 1 2 2 3 1 2 A2 = 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 A3 = A x A2 = A0 = I An = n faktor An+m = An Am Pepangkatan matriks didefinisikan sebagai perkalian berulang. Tentukan A2, kemudian kalikan hasilnya dengan A untuk memperoleh A3. Perpangkatan didefinisikan utnuk matriks-matriks persegi saja. A A A …A

Penyajian SPL dalam persamaan matriks SPL dalam bentuk: dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks: a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2 : am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm a11 a12……...a1n a21 a22 ……..a2n : : : am1 am2…… amn x1 x2 : xn b1 b2 : bn = Perkalian matriks dan SPL SpL ini dapat dinyatakan dalam persamaan matriks. Jika A adalah matriks koefisien A, unknown disajikan dalam matriks kolom X, dan konstanta disajikan dalam vektor kolom b. Maka SPL dapat disajikan dalam persamaan Ax = b. A disebut matriks koefisien SPL. x b A: matriks koefisien Ax = b

Contoh: Penyajian SPL dengan persamaan matriks x1 + 2x2 + x3 = 6 -x2 + x3 = 1 4x1 + 2x2 + x3 = 4 SPL 1.x1 +2.x2 + 1.x3 0.x1 + -1.x2 + 1.x3 4.x1 +2.x2 + 1.x3 6 1 4 1 2 1 0 -1 1 4 2 1 x1 x2 x3 6 1 4 = = Diberikan SPL, perhatikan langkah-langkah untuk menyajikan SPL tersebut dalam bentuk matriks. Buatlah contoh SPL dan sajikan dalam persamaan matriks. Jika kamu diberi matriks koefisien, dapakah kamu membentuk SPLnya? Memahami konsep ini amat penting untuk memahami konsep terkait di modul-modul yang akan datang. [tunjukkan matriks koefisiennya, perlihatkan proses supaya jelas. Misalnya dengan langkah2 sbb: diberikan persamaan, persamaan dikurung dalam dua matriks, yang sebelah kiri diuraikan (spt pada bgn kanan tanda panah), baru dipecah (seperti pada sebelah kiri panah)]  proses spt pada slide 21

Perkalian matriks sebagai fungsi: rotasi Matriks rotasi 45 derajat A dan vektor x ½√2 -½√2 -½√2 ½√2 A = A x = ½√2 -½√2 1 = x y ½√2 -½√2 x’ = Ax = 1 Perkalian matriks sebagai fungsi Perkalian fungsi dapat menyajikan fungsi, misalnya fungsi yang memetakan vektor ke hasil rotasinya sebesar 45 derajat berlawanan arah dengan jarum jam. Kita pilih input fungsi adalah vektor x, hasil rotasinya adalah x’. Dan Ax ternyata sama dengan x’. Jadi, hasil kali matriks menyajikan fungsi rotasi. [Berikan matriks rotasi sebesar 45 derajat, dan sebuah vektor. Kalikan matriks (matriks rotasi sebesar 45 derajat) dan vektor shg diperoleh vektor baru. Gambarkan vektor awal dan hasil rotasi dalam satu system koordinat x = π/4 x

Perkalian dengan matriks identitas 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 A.I = = Masih ingat hasil kali matriks dengan matriks identitas? Marilah kita kalikan A dengan matriks identitas I, baik dari kiri maupun dari kanan. Bagaimana hasilnya? Apa kesimpulanmu? Perkalian matriks persegi dengan matriks identitas berukuran sama bersifat komutatif. Hasil kalinya sama dengan matriks A. I.A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 =

Perkalian dengan matriks identitas AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu? 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 = QUIZMAKER Feedback: A dan B matriks persegi dengan ordo sama B adalah matriks identitas A I I A A = = AB = A dan BA = A, maka B = I (I matriks identitas)

Inverse matriks B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1 A A-1 A-1 A I = = Contoh 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 4 2 2 2 1 0 0 1 = = A A-1 A-1 A I Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas? Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks. B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1). Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I. B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I. Masalah berikutnya adalah: Apakah setiap matriks mempunyai inverse? Jika mempunyai, bagaimana menentukannya? Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga? 4 2 1 2 2 1 3 3 1 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 4 2 1 2 2 1 3 3 1 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = B B-1 B-1 B I

Inverse matriks 2x2 Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse. 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 1 0 0 1 = A A-1 I a b c d A-1 1 0 0 1 = Marilah kita menentukan inverse matriks 2x2. Perhatikan bahwa A kali A inverse adalah I. Jika A diketahui, bagaimanan menentukan A inverse? A-1 d -b -c a 1 ad - bc = = Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse.

Contoh: Inverse matriks 2x2 3 2 4 1 A = Berikut contoh penerapan rumus menentukan inverse matriks 2x2 A-1 = = I

Quiz: inverse matriks 1. Kapan matriks TIDAK mempunyai inverse? ad-bc = 0 2. Tentukan inverse matriks berikut ini 5 1 1 2 a. 2/3 -1/5 -1/5 5/3 a. 0 1 0 2 b. b. tidak mempunyai inverse QUIZMAKER 0 0 4 1 c. c. tidak mempunyai inverse 1 0 0 1 d. 1 0 0 1 d.

Transpose [AT]ij = [A]ji 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 2 6 7 5 3 -9 7 A = 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 2 6 7 5 3 -9 7 A = AT = A’ = Definisi: Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A. [AT]ij = [A]ji Transpose matriks Transpose dari matriks adalah matriks baru yang kolom –kolom menjadi baris-baris.  Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks orthogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan trnsposenya. Transpose dari transpose A adalaha A. Jumlahan dua matriks sama dengan jumlahan transposenya, transpose dari skalar kali matriks sama dengan skalar kali trenasposenya. Transpose dari hasil kali sama dengan hasil kali transposenya dengan urutan terbalik. Tampilkan contoh matriks 2x4, kmd transposekan  Berikan definisi umum dari transpose.  Matriks A simetri jkk A = AT, berikan contoh  Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1, berikan contoh: matriks rotasi.  Berikan contoh dan rumus umum (A-1)T = (AT)-1 n x m Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ………..

Matriks Simetri Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT 4 2 2 3 A = 4 2 2 3 A’ = A simetri 1 2 3 4 2 5 7 0 3 7 8 2 4 0 2 9 A = = AT Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya.

Matriks ortogonal (A-1)T = (AT)-1 A-1 AT Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1 0 -1 1 0 A = 0 1 -1 0 AT= = A-1 B = ½√2 -½√2 ½√2 ½√2 BT= ½√2 ½√2 -½√2 ½√2 = B-1 Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya. A-1 AT (A-1)T = (AT)-1 Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1

Sifat-sifat transpose matriks Transpose dari A transpose adalah A: (AT )T = A A (AT)T = A AT Contoh: Transpose dari transpose adalah matriks iu sendiri 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 5 2 3 6 -9 7 7 4 2 6 7 5 3 -9 7

Sifat-sifat transpose matriks 2. (A+B)T = AT + BT A T AT BT B T A+B (A+B)T T = + 2.Transpose dari jumlaham nmatriks sama dengan jumlahan transpose-transposenya

Sifat-sifat transpose matriks 3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k kA T A T k 3. Transpose dari hasil kali skalr dengan matriks sama dengan hasil kali skalar dengan transposenya (kA)T = k(A)T

Sifat-sifat transpose matriks 4. (AB)T = BT AT B T T A AB T = 4. Transpose hasil kali A dan B sama dengan hasil kali transpose a dan transpose B. (AB)T AB = BTAT

Quiz: Isilah titik-titik di bawah ini A simetri maka A + AT= …….. ((AT)T)T = ……. (ABC)T = ……. ((k+a)A)T = …..... (A + B + C)T = ………. Kunci: 2A AT CTBTAT (k+a)AT AT + BT + CT QUIZMAKER

Mengingat kembali Sebutkan 3 operasi baris elementer Diberikan matriks identitas 3x3. Terapkan satu, dua dan tiga kali operasi baris elementer pada matriks identitas tersebut. Berapa kali operasi baris elementer kamu terapak untuk memperoleh E dari matriks identitas I? Salah satu jawaban: 7 kali yaitu, [1] kalikan brs kedua dengan 7, [2-4] tiga kali tukar baris 3 dan 4, [5]kalikan 2 baris pertama, [6] kalikan 5 baris pertama 4. Minimal berapa kali kamu menerapkannya untuk memperoleh E? tiga kali

Matriks elementer Operasi baris elementer pada matriks Definisi: 1. mengalikan baris dengan kontanta tidak nol 2. menukarkan posisi dua baris 3. baris dijumlahkan dengan skalar kali baris yang lain Definisi: Matriks elementer adalah matriks yang dapat diperoleh dari matriks identitas dengan melakukan tepat satu kali operasi Pada modul pertama kita telah mempelajari tiga macam operasi baris elementer untuk mereduksi matriks augmented. Menerapakn operasi baris elementer tidak dibatasi pada matriks augmented saja, melainkan pada sembarang matriks. Perhatikan empat matriks berikut. Apakah B1, E1, B2, E2 masing-masing dapat diperoleh dari matriks identitas dengan menerapkan satu kali opeasi baris elementer. Masih ingat kan ada tiga operasi baris elementer yaitu: tukar baris, mengalikan baris dengan konstanta tak nol, dan menjumlahkan baris dengan kelipatan baris yang lain. B1 dapat diperoleh dari matriks identitas dengan minimal dua kali obe, yaitu mengalikan baris ke 2 dengan 7, dan menukar baris 3 dan 4 B2 minimal diperoleh dengan minimal 3 obe: tukar baris 1 dan 2, tukar baris 2 dan 3, kalikan baris pertama dengan 3. E1 dapat diperoleh dari I dengan mengalikan baris pertama dengan konstanta, E2 diperoleh dengan satu obe yaitu tukar baris. E1 dan E2 disebu matriks elementer, B1, B2 bukan matriks elementer. Pada layar berikan option click OBE, ke luar keterangan tentang 3 operasi baris elementer. Peragakan dengan animasi bagaimana memperoleh matriks2 dari matriks identitas. Sesuaikan kemuculannya dengan narasi yang sesuai Kunci: B1 2 kali perkalian dgn scalar dan tukar brs B2 2 kali, mirip B1 E1 sekali tukar baris E2 sekali perkalian dgn skalar B1 dan B2 bukan matriks elementer, E1 dan E2 matriks elementer.

Matriks elementer (lanjutan) minimal 3 kali obe 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 8 0 7 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 R2  7* R2 minimal 2 kali obe 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 R3  R4 Hal 30, 31 dan 32 adalah feedback untuk page 29 (tidak berdiri sendiri), di link saja

Matriks elementer (lanjutan) 1 0 0 0 4 0 0 0 1 R2  4* R2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 R3  R2 R1  4R2+R1 1 4 0 0 1 0 0 0 1

Inverse matriks elementer 1 0 0 0 0 1 0 1 0 E1 = R2   R3 1 0 0 0 2 0 0 0 1 E3= R2  2 R2 1 2 0 0 1 0 0 0 1 E3 = R1  R1+2R2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 (E1)-1 = = 1 0 0 0 ½ 0 0 0 1 (E2)-1 = 0 2 0 0 0 1 0 1 0 = Inverse matriks elementer Setiap matriks elementer mempunyai inverse. Perhatikan inversenya. Apakah inverse matriks elementer juga merupakan matriks elementer? Bagaimana memperoleh inverse dari matriks elementer? [tambahkan pada perkalian matriks dalam notasi huruf, untuk menunjukkan hasil kali matriks elementer dengan inversenya] (berikan waktu untuk menjawab) Sesuaikan waktunya dengan kemunculan isian tabel di kolom kanan Jika diketahui bagaimana mengubah matriks identitas I menjadi matriks elementer E, maka E-1 dapat diperoleh dengan obe kebalikannya. Jika E diperoleh E dari menukar baris ke I jan ke j, maka E-1 diperoleh dari I dengan menukar baris ke j dan ke I. Jadi, E = E-1. Jika E diperoleh dari I dengan mengalikan baris ke I dengan konstanta tak nol k, maka E-1 dapat diperoleh dari i dengan mengalikan baris ke i dengan konstanta 1/k. Jika E diperoleh dari I dengan menjumlahkan baris ke i dengan hasil kali baris ke j dgn konstanta k, maka E-1 dapat diperoleh dari I dengan mengurangkan baris ke i dengan k kali baris ke j. Tabel ada di script: munculkan kolom kiri semuanya. Munculnya kolom kanan bersamaan dengan narasi. 1 -2 0 0 1 0 0 0 1 (E3)-1 = 1 2 0 1 0 0 =

Matriks elementer (lanjutan) 1 0 0 0 1/4 0 0 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 1 E1-1= E1= R2  (1/4)* R2 R2  4* R2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 E2= E2-1= R3  R2 R3  R2 R1  - 4R2+R1 R1  4R2+R1 1 -4 0 0 1 0 0 0 1 1 4 0 0 1 0 0 0 1 Diberikan matriks identitas I, Kaliakan baris kedua dengan 4, maka diperoleh matriks elementer E1. Inversenya adalah matriks yang diperoleh dari I dengan mengalikan baris kedua dengan seperempat. E3-1= E3=

Inverse matriks elementer (lanjutan) I E I E-1 Mengalikan baris ke dengan konstanta tak nol k Mengalikan baris ke i dengan konstanta tak nol 1/k Menukar baris ke i dengan baris ke j Baris ke i ditambah k kali baris ke j Baris ke i dikurangi k kali baris ke j Inverse dari matriks elementer dapat diperoleh dengan operasi baris elementer kebalikan dari operasi baris elementer untuk memperoleh matris elementer tersebut dari matriks identitas. Kesimpulan: Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan inverse matrks elementer adalah matriks elementer

Latihan: inverse matriks elementer Tentukan inverse matriks elementer berikut ini Jawaban: 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 -5 1 0 1/2 0 0 0 1 E1-1 E3-1 E2-1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 5 1 E1 E2 E3 Tentukan inverse dari matriks-matriks elementer.

Sifat-sifat ? (A-1)-1 Inverse dari matriks jika ada adalah tunggal: Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C (A-1)-1 2. (A-1)-1 = A 4 2 2 2 A = ½ -½ -½ 1 ? 1 0 0 1 = A-1 = ½ -½ -½ 1 A-1 Sifat-sifat matriks inverse Jika A mempunyai inverse, maka inversenya tunggal. Inverse dari inverse matriks A adalah A sendiri. Matriks inverse dari matriks pangkat n sama dengan inverse matriks dipangkatkan n. 1-5 dalam bentuk rumus, kemudian contoh-contoh sederhana Quiz: menentukan inverse matriks 2x2, inverse dari transposenya, berikan 2 matriks, satu rtogonal satu tidak, identifikasi. Untuk matriks ort, hitung determinan.  Link ke bukti sifat 1, 2 4 2 2 2 A

Sifat-sifat (lanjutan) Jika A mempunyai inverse maka An mempunyai inverse dan (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,… 4 2 2 2 A = ½ -½ -½ 1 A-1 = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 104 64 64 40 A3 = = (A3)-1 = 0.625 -1 -1 1.625 Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai inverse, maka menghitung inverse kemudian memangatkan hasilnya sama dengan memangkatkan dahulu kemudian dihitung inversenya. sama (A-1)3 = ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 0.625 -1 -1 1.625 =

Sifat-sifat (lanjutan) Jika k skalar tidak nol, maka (kA)-1 = 1/k A-1 4 2 2 2 20 10 10 10 (5A) = 5 = 0.1 -0.1 -0.1 0.2 (5 A)-1 = sama Menghitung inverse dari kA dapat dilakukan dengan menghitung inverse dari A kemudan dikalikan dengan 1/k. ½ -½ -½ 1 0.1 -0.1 -0.1 0.2 1/5 (A)-1 = 1/5 =

Sifat-sifat (lanjutan) (AB)-1 = B-1 A-1 3 5 2 2 B = B-1 = ½ 5/4 ½ - ¾ 4 2 2 2 A = 16 24 10 14 -0.875 1.5 0.625 -1 (AB)-1 = -1 = ½ 5/4 ½ - ¾ Jika A dan B dapat dikalikan dan masing-masing mempunyai inverse, maka AB juga mempunyai inverse. Inverse AB sama dengan hasil kali B inverse deang A inverse (urutan terbalik) ½ -½ -½ 1 -0.875 1.5 0.625 -1 B-1 A-1 = = ½ -½ -½ 1 ½ 5/4 ½ - ¾ -0.5 1 0.75 -1.375 A-1 B-1 = =

Perkalian dengan matriks elementer 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 1 R2 4R2 1 2 0 3 1 1 4 1 0 1 2 0 12 4 4 4 1 0 1 0 0 0 4 0 0 0 1 1 2 0 3 1 1 4 1 0 R2 4R2 Sekarang kita akan melihat salah satu keistimewaan matriks elementer. Perhatikan perkalian matriks berikut ini E diperoleh dari I dengan mengalikan baris ke dua dengan 4. Jika baris kedua dar A dkalikan 4 akan diperoleh matriks, yang ternyata sama dengan hasil kali E dengan A dari kanan. A E A Mengalikan matriks A dari kanan dengan matriks elementer (EA) sama efeknya dengan menerapkan operasi baris elementer (yang sama dengan operasi baris elementer untuk mendapat kan E dari I) pada A.

Matriks elementer dan operasi baris elementer Diterapkan obe pada matriks A R1 R3 I E R2  ½ R2 I E R1  R1 + 2R2 Hasilnya sama dengan EA = E EA = E EA = E EA

Mengingat kembali: Menerapkan operasi baris elementer pada matriks A sama dengan mengalikan A dari kanan dengan matriks elementer yang sesuai. Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks persegi adalah matriks identitas atau matriks dengan baris nol [gunakan file Horton: panah2 bergabung di tengah] Kesimpulan: Menerapkan operasi baris elementer pada matriks A sama dengan mengalikan dari kanan matriks elementer yang sesuai dengan matriks A. [diagram] Ingat bahwa bentuk eselon baris tereduksi dari matriks persegi adalah matriks identitas atau matriks dengan baris nol [diagram A dua cabang, pertama “matriks Identitas I”, kedua “matriks dengan baris nol”] Matirks persegi yang mempunyai inverse dapat direduksi menjadi matriks identitas dengan serangkaian operasi baris elementer. Matriks persegi yang mempunyai inverse dapat direduksi menjadi matriks identitas dengan serangkaian operasi baris elementer. Kita akan menerapkan operasi baris elementer untuk menentukan inverse matriks.

Mencari inverse dengan operasi baris elementer obe1 obe 2 ….. obe s A--------------------------------------- I Es Es-1 ….E2 E1 A Setiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Ei dari kanan dengan A. Jadi, Es Es-1 ….E2 E1 A = I (kelompokkan Es sd E1, namakan B) BA= I Maka B = A-1 Es Es-1 ….E2 E1 = A-1 Es Es-1 ….E2 E1 I = A-1 Sehingga, jika obe1 obe 2 ….. obe s diterapkan berturut-turut pada matriks identitas I maka akan dihasilkan A-1 I ----------------------------------- A-1 Prosedur: [A|I]  [I | A-1] [Contoh1: matriks 2x2 A [A|I]  [I | A-1] Contoh2:penerapan metode di atas untuk menentukan inverse matriks 3x3. (pilih matriks yang sederhana) ] Setiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Ei dari kanan dengan A. hasil kali matriks elementer akan sama dengan A-1. Jika operasi baris elementer yang diterapkan pada A untuk mendapatkan I, deterapkan pada I maka akan diperoleh A-1. hal ini dapat dijadikan dasar untuk mengembangkan prosedur untuk menentukan inverse dari matriks.

Mencari inverse dengan operasi baris elementer Matriks persegi yang mempunyai inverse dapat direduksi menjadi matriks identitas dengan serangkaian operasi baris elementer. Setiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Ei dari kanan dengan A. obe1 obe 2 ….. obe s A I Es …. E2 E1 A Es Es-1 ….E2 E1 A = I Setiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Ei dari kanan dengan A. hasil kali matriks elementer akan sama dengan A-1. Jika operasi baris elementer yang diterapkan pada A untuk mendapatkan I, deterapkan pada I maka akan diperoleh A-1. hal ini dapat dijadikan dasar untuk mengembangkan prosedur untuk menentukan inverse dari matriks. A-1 Inverse matriks A dapat diperoleh dengan serangkaian operasi baris elementer pada A. obe1 obe 2 ….. obe s I A-1 Es …. E2 E1 A

Mencari inverse dengan operasi baris elementer (lanjutan) Prosedur: Menentukan A-1 Diberikan matriks Anxn yang mempunyai inverse Bentuk matriks [A|I] Terapkan operasi baris elementer pada matriks [A|I] sedemikian hingga A telah tereduksi menjadi matriks identitas I. maka pada saat yang sama I berubah menjadi A-1. [A | I] obe obe… obe [I | A-1] Diberikan matriks Anxn yang mempunyai inverse Bentuk matriks berukuran nx2n [A|I] Terapkan operasi baris elementer pada matriks [A|I] sedemikian hingga A telah tereduksi menjadi matriks identitas I. maka pada saat yang sama I berubah menjadi A-1. [Contoh1: matriks 2x2 A [A|I]  [I | A-1] Contoh2:penerapan metode di atas untuk menentukan inverse matriks 3x3. (pilih matriks yang sederhana) ]

Contoh: 4 2 2 2 A = Brs kedua dikurangi 2 kali brs pertama 4 2 1 0 2 2 0 1 1 ½ 1/4 0 2 2 0 1 1 ½ 1/4 0 0 1 -½ 1 Baris pertama kali 1/4 Brs pertama dikurangi 1/2 kali brs kedua 1 0 ½ -½ 0 1 -½ 1 Untuk memperdalam pemahaman, perhatikan bagimana menentukan A inverse lewat contoh berikut ini. Pertama buatlah matriks yang dibentuk oleh A dan I, kemudian reduksi A dengan mengalikan baris pertama dengan seperempat, dilanjutkan dengan mengurngi baris kedua dengan baris pertama. Akhirnya baris pertama dikurangi dengan setengah kali baris kedua. Sehingga A sudah tereduksi menjadi I, pada saat yang sama I berubah menjadi A inverse. Cobalah menjawab pertanyaan pada lembar kerja untuk melatih keterampilanmu. I A-1 ½ -½ -½ 1 A-1=

Quiz: A. BENAR atau SALAH Perkalian matriks bersifat komutatif komutatif. 2. Menerapkan operasi baris elementer ei pada A hasilnya sama dengan EA, dengan E matriks elementer untuk memperoleh E dari I. Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan inversenya juga elementer B. Pada prodesur apa saja operasi baris elementer digunakan? Menyelesaikan sistem persamaan linier Mencari inverse matriks, jika ada salah benar benar QUIZMAKER

Refleksi Buatlah daftar konsep-konsep kunci dari modul ini. (Sebagi contoh: matriks persegi, jumlahan matriks-matriks, dsb) Buatlah daftar permasalahan yang muncul pada materi yang diberikan dalam modul ini. Buatlah daftar prosedur permasalahan yang ada pada daftar yang kamu hasilkan pada peranyaan nomor 2. Berilah tanda pada daftar materi yang telah kamu fahami dengan baik. Marilah melakukan refleksi untuk memantau kemajuan belajarmu, dengan mengerjakan tugas berikut. Buatlah daftar konsep-konsep kunci dari modul ini. (Sebagi contoh: matriks persegi, jumlahan matriks-matriks, dsb) Buatlah daftar permasalahan yang muncul pada materi yang diberikan dalam modul ini. Buatlah daftar prosedur permasalahan yang ada pada daftar yang kamu hasilkan pada peranyaan nomor 2. Berilah tanda pada daftar materi yang telah kamu fahami dengan baik.