BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM SYARAT KUHN-TUCKER BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM

Kasus 1 Sebagai syarat agar 𝑥 = 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 menjadi solusi optimal bagi NLP dengan kendala pertidaksamaan : Maks/min 𝑓( 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 ) s.t. 𝑔 1 ( 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑏 1 . 𝑔 𝑚 ( 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑏 𝑚 Kendala ≥ dirubah menjadi negatif dari ≤

Teorema 1 Untuk masalah maksimisasi, 𝑥 = 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 solusi optimal, maka titik tersebut harus Memenuhi kendala – kendala Terdapat  1 , …,  𝑚 yang memenuhi : 𝜕𝑓( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 - 𝑖=1 𝑚  𝑖 𝜕 𝑔 𝑖 ( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 = 0 j = 1, …, n (1)  𝑖 𝑏 𝑖 − 𝑔 𝑖 𝑥 = 0 i = 1, …, m (2)  𝑖 ≥ 0 i = 1, …, m (3)  𝑖 adalah harga bayangan bagi kendala ke – i: Jika rhs kendala ke – I : b  b +  maka z naik sebesar :   𝑖 - Kendala – kendala: penggunaan sumber daya

TEOREMA 1’ Untuk masalah minimisasi, 𝑥 = 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 solusi optimal, maka titik tersebut harus Memenuhi kendala – kendala Terdapat  1 , …,  𝑚 yang memenuhi : 𝜕𝑓( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 + 𝑖=1 𝑚  𝑖 𝜕 𝑔 𝑖 ( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 = 0 j = 1, …, n (1)  𝑖 𝑏 𝑖 − 𝑔 𝑖 𝑥 = 0 i = 1, …, m (2)  𝑖 ≥ 0 i = 1, …, m (3)  𝑖 adalah harga bayangan bagi kendala ke – i: Jika rhs kendala ke – I : b  b +  maka z turun sebesar :   𝑖

Kasus 2 Adanya kendala nonnegative untuk seluruh peubah Maks/ min 𝑓( 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 ) s.t. 𝑔 1 ( 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑏 1 . 𝑔 𝑚 ( 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑏 𝑚 - 𝑥 1 ≤0 , …, - 𝑥 𝑛 ≤0

Teorema 2 Untuk masalah maksimisasi, 𝑥 = 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 solusi optimal, maka titik tersebut harus Memenuhi kendala – kendala Terdapat  1 , …,  𝑚 , 𝜇 1 , …, 𝜇 𝑛 yang memenuhi : 𝜕𝑓( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 - 𝑖=1 𝑚  𝑖 𝜕 𝑔 𝑖 ( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 + 𝜇 𝑗 = 0 j = 1, …, n  𝑖 𝑏 𝑖 − 𝑔 𝑖 𝑥 = 0 i = 1, …, m 𝜕𝑓( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 − 𝑖=1 𝑚  𝑖 𝜕 𝑔 𝑖 ( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 𝑥 𝑗 = 0 j = 1, …, n  𝑖 ≥ 0 i = 1, …, m 𝜇 𝑗 ≥0 j = 1, …, n

Theorema 2’ Untuk masalah minimisasi, 𝑥 = 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 solusi optimal, maka titik tersebut harus Memenuhi kendala – kendala Terdapat  1 , …,  𝑚 , 𝜇 1 , …, 𝜇 𝑛 yang memenuhi : 𝜕𝑓( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 + 𝑖=1 𝑚  𝑖 𝜕 𝑔 𝑖 ( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 - 𝜇 𝑗 = 0 j = 1, …, n  𝑖 𝑏 𝑖 − 𝑔 𝑖 𝑥 = 0 i = 1, …, m 𝜕𝑓( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 + 𝑖=1 𝑚  𝑖 𝜕 𝑔 𝑖 ( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 𝑥 𝑗 = 0 j = 1, …, n  𝑖 ≥ 0 i = 1, …, m 𝜇 𝑗 ≥0 j = 1, …, n

Penjelasan Untuk kasus maksimisasi syarat (1) Pada saat 𝑥 = 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 kita gunakan 𝑔 𝑖 𝑥 1 , …, 𝑥 𝑛 unit resource i dan bi unit sumber daya tersedia. Jika kita tingkatkan 𝑥 sebesar  (yang kecil), maka nilai dari fungsi objective meningkat sebesar 𝜕𝑓( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗  Nilai kendala ke – i berubah menjadi 𝑔 𝑖 𝑥 + 𝜕 𝑔 𝑖 𝑥 𝜕 𝑥 𝑗 ∆≤ 𝑏 𝑖 atau 𝑔 𝑖 𝑥 ≤ 𝑏 𝑖 − 𝜕 𝑔 𝑖 𝑥 𝜕 𝑥 𝑗 ∆ Atau rhs meningkatkan sebesar − 𝜕 𝑔 𝑖 𝑥 𝜕 𝑥 𝑗 ∆ shg perubahan pada z adalah −∆ 𝑖=1 𝑚  𝑖 𝜕 𝑔 𝑖 𝑥 𝜕 𝑥 𝑗 total perubahan z karena peningkatan peningkatan xj sebesar  adalah  𝜕𝑓( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 − 𝑖=1 𝑚  𝑖 𝜕 𝑔 𝑖 𝑥 𝜕 𝑥 𝑗 Jika term dalam kurung lebih dari 0, kita dapat meningkatkan f dengan memilih  > 0

Sebaliknya, jika term tersebut kurang dari 0, kita dapat meningkatkan f dengan memilih  < 0. Sehingga agar 𝑥 optimal maka syarat (1) harus terpenuhi

Penjelasan syarat (2) Syarat 2 merupakan generalisasi dari kondisi complementary of slackness untuk Pemrograman Linier. Syarat (2) berimplikasi bahwa Jika i > 0 maka 𝑔 𝑖 𝑥 = 𝑏 𝑖 ( kendala ke –i binding) Jika 𝑔 𝑖 𝑥 < 𝑏 𝑖 maka  𝑖 = 0

Penjelasan syarat (3) Jika untuk  > 0 kita tingkatkan rhs kendala ke I dari bi ke bi + , maka nilai fungsi tujuan optimal akan meningkat atau tetap sehingga  𝑖 ≥ 0

Pengertian  i = nilai resources yang digunakan untuk membuat sebuah barang – harga jual barang tersebut Sehingga jika i > 0, perusahaan rugi sehingga lebih baik tidak produksi atau xi = 0 Sedangkan jika xi > 0 untuk solusi optimal maka i =0, Setiap variabel xi sebagai basic variabel , marginal revenue yang didapatkan dari produksi satu unit xi harus sama dengan marginal cost resources yang digunakan untuk memproduksi satu unit xi

Theorema 3. Misalkan kasus 1 adalah masalah maksimisasi. Jika 𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 adalah fungsi konkaf dan 𝑔 1 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ,…, 𝑔 𝑚 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 adalah fungsi konveks, maka setiap titik 𝑥 = 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 yang memenuhi hipotesis pada theorema 1 adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika kasus 2 adalah masalah maksimisasi, 𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 adalah fungsi konkaf dan 𝑔 1 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ,…, 𝑔 𝑚 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 adalah fungsi konveks, maka setiap titik 𝑥 = 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 yang memenuhi hipotesis pada theorema 2 adalah soludi optimal

Theorema 3’ Misalkan kasus 1 adalah masalah minimisasi Jika 𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 adalah fungsi konveks dan 𝑔 1 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ,…, 𝑔 𝑚 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 adalah fungsi konveks, maka setiap titik 𝑥 = 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 yang memenuhi hipotesis pada Theorema 1’ adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika kasus 2 adalah masalah minimisasi, 𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 adalah fungsi konveks dan 𝑔 1 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ,…, 𝑔 𝑚 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 adalah fungsi konveks, maka setiap titik 𝑥 = 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 yang memenuhi hipotesis pada Theorema 2’ adalah solusi optimal

Contoh Selesaikan masalah optimisasi berikut max 𝑧= 𝑥 1 30− 𝑥 1 + 𝑥 2 50− 2𝑥 2 −3 𝑥 1 −5 𝑥 2 −10 𝑥 3 s.t 𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3 ≤0 𝑥 3 ≤17.25 Gunakan syarat berikut 𝜕𝑓( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 - 𝑖=1 𝑚  𝑖 𝜕 𝑔 𝑖 ( 𝑥 ) 𝜕 𝑥 𝑗 = 0 j = 1, …, n (1)  𝑖 𝑏 𝑖 − 𝑔 𝑖 𝑥 = 0 i = 1, …, m (2)  𝑖 ≥ 0 i = 1, …, m (3) Kemudian kombinasikan nilai i > atau = 0 dan carilah solusi yang tidak melanggar semua syarat

Soal - soal Gunakan syarat KT untuk menemukan solusi optimal dari permasalahan berikut: max 𝑧= 𝑥 1 − 𝑥 2 s.t 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 ≤1 max 𝑧=3 𝑥 1 +2 𝑥 2 s.t 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 x1 , x2 ≥ 0