akar persamaan Non Linier metode newton raphson Pertemuan Minggu ke 4

Metode Terbuka Metode Newton-Raphson Metode Secant.

Pengertian Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu x0

Metode Newton Raphson metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan : adalah turunan pertama di xn

Grafik Pendekatan Metode Newton-Raphson Kemiringan Kemiringan x

Metode Newton Raphson

Langkah-langkah penyelesaian Metode Newton-Raphson Cari f’(x) dan f”(x) dari f(x) Langkah 2 Tentukan titk x0 dan Uji sesuai : Apakah memenuhi syarat persamaan? Jika tidak, cari nilai xo baru. Langkah 3 Lakukan iterasi dengan persamaan :

Algoritma Metode Newton Raphson Definisikan fungsi f(x) dan f1(x) Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) Tentukan nilai pendekatan awal x0 Hitung f(x0) dan f’(x0) Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e Hitung f(xi) dan f1(xi) Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

contoh Hitung salah satu akar dari f(x) = ex – 2 – x2 pada titik awal 1,5; s = 1 %

Metode Newton-Raphson (Ex.) Langkah 1 1. xi = 1.5 ; f(xi) = 0,23169 f’(xi) = ex – 2x  f’(1.5) = 1.4817 2. 3.

Metode Newton-Raphson (Ex.) Langkah 2 1. xi = 1.3436 ; f(xi) = 0,027556 f’(xi) = ex – 2x  f’(1.3436) = 1.145617 2. 3.

Metode Newton-Raphson (Ex.) Langkah 3 1. xi = 1.319547 ; f(xi) = 0.0085217 f’(xi) = ex – 2x  f’(1.319547) = 1.102632 2. 3.

Metode Newton-Raphson (Ex.) Iterasi xi+1 a % 1 1.3436 11.64 2 1.319547 1.8228 3 1,319074 0,036 Jadi akar dari f(x) = ex – 2 – x2 adalah x = 1,319074

Contoh Soal: Pernyataan Masalah: Gunakan Metode Newton-Raphson untuk menaksir akar dari : f(x) = e-x-x menggunakan sebuah tebakan awal x0= 0.

Solusi : Langkah 1: Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x dapat dievaluasikan sebagai :

Lakukan uji syarat persamaan Langkah 2: Lakukan uji syarat persamaan memenuhi syarat persamaan, sehingga akar-akarnya dapat dicari dengan metode Newton-Raphson

f(x4) dekat dengan harga 0 Langkah 3: Lakukan Iterasi dengan : Akar x akan semakin akurat, jika nilai f(x) semakin mendekati 0 Iterasi, i xi f(xi)=e-x-x f’(xi)=-e-x-1 1 2 3 4 0,500000000 0,566311003 0,567143165 0,567143290 0,106530659 1,304510116x10-3 1,96536x10-7 6,43x10-10 -2 -1,60653066 -1,567615513 -1,567143362 -1,567143291 akar x4 f(x4) dekat dengan harga 0

Contoh f(x) = x3 - 3x - 20, maka f1(x) = 3x2- 3 Dengan demikian x k+1 = xk - (x3k - 3xk - 20) / (3x2k - 3). Perkiraan awal xo = 5 Maka: f(5)=53-3.(5)-20 =90 f'(5)=3(5)2-3 =72 xbaru=5-(90/72)=3.75 iterasi Xk Xk+1 f(xk) f'(xk)  F(xk+1) 1 5 3.75 90 72 21.484375 2 3.201754 21.48438 39.1875 3.216661132 3 3.085854 3.216661 27.75369344 0.127469447 4 3.080868 0.127469 25.5674865 0.000229985 3.080859 0.00023 25.47525192 7.53268E-10

Contoh Soal Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0 f(x) = x - e-x  f’(x)=1+e-x f(x0) = 0 - e-0 = -1 f’(x0) = 1 + e-0 = 2

Contoh Soal f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653 x2 = f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil. Sehingga akar persamaan x = 0,567143.

Contoh x - e-x = 0  x0 =0, e = 0.00001

Contoh : x + e-x cos x -2 = 0  x0=1 f(x) = x + e-x cos x - 2 f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x

Metode Newton-Raphson Kelemahan Metode Newton-Raphson 1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan. 2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). 3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang tidak memenuhi persyaratan persamaannya, meskipun ada akar penyelesaiannya. 4. Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua f(x) akan menjadi sulit.

Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut: Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.

Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.

Hasil Tidak Konvergen