STATISTIK Ukuran Dispersi atau Ukuran Variasi By : Meiriyama Program Studi Teknik Informatika Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Global Informatika Multi Data Palembang

Ukuran Variasi atau Ukuran Dispersi Adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau Ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya

3 kelompok nilai : Kelompok nilai homogen (tidak bervariasi) Perhatikan 3 kelompok data berikut : (1) 50 50 50 50 50  Rata-rata hitung = 50 (2) 50 40 30 60 70  Rata-rata hitung = 50 (3) 100 40 80 20 10  Rata-rata hitung = 50 3 kelompok nilai : Kelompok nilai homogen (tidak bervariasi) Kelompok nilai relatif homogen (tdk begitu bervariasi) Kelompok nilai heterogen (sangat bervariasi)

Mengapa mempelajari dispersi ? - mengetahui informasi tentang sebaran nilai pada data - untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai

Ukuran variasi atau dispersi Nilai jarak (range) Rata-rata simpangan (mean deviation) Simpangan baku (standard deviation) Koefisien variasi (coefficient of variation)

Nilai jarak NJ = Xn – X1 NJ = Nilai Maksimum – Nilai Minimum

Contoh 6.1 Carilah jarak dari data berikut : 50 40 30 60 70 Penyelesaian : X1 = 30, X2 = 40, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 70 NJ = X5 – X1 NJ = 70 – 30 NJ = 40

Rata-rata simpangan Apabila dipunyai data X1, X2, ……Xn dan Rata-rata Maka simpangan terhadap rata-rata hitung RS = RS =

Contoh 6.2

simpangan baku Simpangan baku merupakan salah satu ukuran dispersi yang diperoleh dari akar kuadrat positif varians. Varians adalah rata-rata hitung dan kuadrat simpangan setiap pengamatan terhadap rata-rata hitungnya. Varians populasi : Varians sampel :

Populasi (6.4) (6.8)

Sampel (6.6) (6.9) (6.11)

Contoh 6.4 Perhatikan 3 kelompok data berikut : (1) 50 50 50 50 50  Rata-rata hitung = 50 (2) 50 40 30 60 70  Rata-rata hitung = 50 (3) 100 40 80 20 10  Rata-rata hitung = 50

Contoh 6.4 Kelompok 1 X X2 (1) (2) X1 = 50 2.500 X2 = 50 X3 = 50

pengukuran dispersi data berkelompok Nilai jarak Untuk data berkelompok ada 2 (dua) cara : NJ = Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama NJ = Tepi atas kelas terakhir – Tepi bawah kelas pertama

Contoh 6.3 Cara 1 : Cara 2 : nilai tengah kelas terakhir Berat badan (kg) Banyaknya Mahasiswa (f) 60 – 62 5 63 – 65 18 66 – 68 42 69 – 71 27 72 - 74 8 Cara 1 : nilai tengah kelas terakhir nilai tengah kelas pertama NJ = 73 – 61 = 12 Cara 2 : Tepi atas kelas terakhir = 74,5 Tepi bawah kelas pertama =59,5 NJ = 74,5 – 59,5 = 15

simpangan baku Populasi Untuk kelas interval ( c )yang sama (6.14)

simpangan baku Populasi Untuk kelas interval ( c )yang tidak sama (6.15)

simpangan baku Sampel Untuk kelas interval ( c )yang sama (6.16)

Contoh 6.5 : 146 147 147 148 149 150 150 152 153 154 156 157 158 161 163 164 165 168 173 176 119 125 126 128 132 135 135 135 136 138 138 140 140 142 142 144 144 145 145 146 Di urutkan menjadi : 119 125 126 128 132 135 135 135 136 138 138 140 140 142 142 144 144 145 145 146 146 147 147 148 149 150 150 152 153 154 156 157 158 161 163 164 165 168 173 176

Upah (ribuan Rp) Sistem Tally f (1) (2) 118 – 126 /// 3 127 – 135 //// 5 136 – 144 //// //// 9 145 – 153 //// //// // 12 154 – 162 163 – 171 4 172 – 180 // 2 Jumlah 40

Contoh 6.5 : Modal Nilai Tengah f Jumlah 40 118 – 126 122 3 127 – 135 131 5 136 – 144 140 9 145 – 153 149 12 154 – 162 158 163 – 171 167 4 172 – 180 176 2 Jumlah 40 X M

Kelas f d d2 fd fd2 118 – 126 3 -3 9 -9 27 127 – 135 5 -2 4 -10 20 136 – 144 -1 1 145 – 153 12 154 – 162 163 – 171 2 8 16 172 – 180 6 18 Jumlah 40 28 (6.14)

Contoh 6.6 : Modal M f Jumlah 40 (6.15) 118 – 126 122 3 127 – 135 131 136 – 144 140 9 145 – 153 149 12 154 – 162 158 163 – 171 167 4 172 – 180 176 2 Jumlah 40

Batas Kelas Modal M f (1) (2) (3) 30 – 39 34,5 4 40 – 49 44,5 6 Contoh 6.6 Batas Kelas Modal M f (1) (2) (3) 30 – 39 34,5 4 40 – 49 44,5 6 50 – 59 54,5 8 60 – 69 64,5 12 70 – 79 74,5 9 80 – 89 84,5 7 90 – 100 94,5 (6.15)

Koefisien Variasi Untuk keperluan perbandingan 2 (dua) kelompok nilai Misalnya : - berat 10 ekor gajah dengan berat 10 ekor semut X 100% , untuk populasi X 100% , untuk sampel

ukuran kemencengan dan keruncingan kurva Apabila kita mempunyai sekelompok data sebanyak n : X1, X2, …..,Xn maka yang disebut momen ke-r (Mr) adalah sbb: Untuk data tak berkelompok Untuk data berkelompok

Untuk data tak berkelompok Untuk data berkelompok Untuk r = 1 , maka M1  merupakan rata-rata hitung r = 2 , maka M2  varians r = 3 , maka M3  kemencengan (skewness) r = 4 , maka M4  keruncingan (kurtosis)

Ukuran Kemencengan Kurva (Skewness) Tingkat Kemencengan menurut Pearson:

Ukuran Kemencengan Kurva (Skewness) TK berdasarkan Momen ketiga Momen koefisien kemencengan

Contoh 6.9 Kelas M f fM d fd fd2 fd3 fd4 118 – 126 122 3 366 -3 -9 27 -81 243 127 – 135 131 5 655 -2 -10 20 -40 80 136 – 144 140 9 1.260 -1 145 – 153 149 12 1.788 154 – 162 158 790 1 163 – 171 167 4 668 2 8 16 32 64 172 – 180 176 352 6 18 54 162 Jumlah 40 5.879 95 -39 563

Ukuran Keruncingan Kurva (kurtosis) Dilihat dari tingkat keruncingannya : Leptokurtis (puncaknya sangat runcing) Platykurtis (puncaknya agak datar/merata) Mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing) Momen koefisien keruncingan Data berkelompok Data tak berkelompok

kurtosis Untuk kelas interval ( c ) sama

Contoh 6.10 > 3  kurva leptokurtis (meruncing) = 3  kurva mesokurtis (normal) < 3  kurva platykurtis (mendatar)