VI. ESTIMASI PARAMETER Estimasi Parameter : Metode statistika yang berfungsi untuk mengestimasi/menduga/memperkirakan nilai karakteristik dari populasi atau parameter populasi berdasarkan nilai karakteristik sampel atau statistik sampel. Syarat : sampel harus dapat mewakili populasi  sampling dilakukan secara acak. Contoh : Hasil pemilu dihitung secara cepat (Quickcount) dengan sampel untuk tiap wilayah pemilihan, valid jika pengambilan sampel dilakukan secara acak. Cara estimasi : Estimasi Titik Parameter populasi diestimasi dengan karakteristik sampel (Statistik) Mean populasi =  = Variansi populasi = 2 = s2 standar deviasi =  = s

2. Estimasi Interval Nilai parameter populasi diestimasi pada kisaran tertentu. Misal X1,X2,X3,…Xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan  adalah parameter populasi maka estimasi interval untuk  adalah : P(B≤  ≤A)=1- Disebut dengan Interval konfidensi/kepercayaan untuk  dari B sampai A yang dihitung pada probabilitas 1-. Bila parameter yang diestimasi adalah H dan distribusi populasi yang digunakan  (misal distribusi Z, t-student, chi-kuadrat, atau F), galat (error)=  dan statistik dari data sampel adalah k, maka kisaran parameter H pada suatu interval kepercayaan (1-) dapat diestimasi dengan persamaan probabilitas: P(h-  ≤ H ≤ h  )= 1- …….(1) Dengan : h-  = titik minimum (limit kepercayaan bawah) h   = titik maksimum (limit kepercayaan atas) 1- = koefisien kepercayaan (1-) 100% = interval kepercayaan  = tingkat kesalahan yang masih ditolerir atau persentase nilai yang tidak dapat diestimasi.

Parameter yang umum diestimasi: Ukuran pemusatan : mean=, Selisih mean = 1 - 2 =  Estimasi mean dan selisih mean dapat dilakukan dengan : Distribusi Z : Jika sampel yang diamati berasal dari populasi yang variansinya (2) dan standar deviasinya () diketahui. Jika sampel yang berasal dari populasi yang variansinya (2) dan standar deviasinya () tidak diketahui ukuran sampel besar (n30). Distribusi t-student (Distribusi t) Jika sampel berasal dari populasi yang tidak diketahui variansinya (2) dan standar deviasinya () ukuran sampel kecil (n30). 2. Ukuran penyebaran : Variansi = 2, Rasio variansi dua populasi = F Estimasi nilai variansi dilakukan dengan distribusi chi-kuadrat (X2), sedangkan estimasi nilai ratio variansi dua populasi dengan distribusi Fisher (F).

A. Estimasi Mean Populasi Estimasi mean populasi sampel besar dengan distribusi Z Misal x1,x2,x3….xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan mean  tidak diketahui dan variasi 2, dan = mean sampel maka : Mean ( )= Var (( )=2/n Menurut teorama limit pusat jika n besar variabel random mendekati distribusi normal Maka rumus 1 akan berubah menjadi : Jika nilai Z diganti menjadi : Biasanya 2 tidak diketahui, tetapi karena n besar maka 2 dapat diasumsikan sama dengan s2.

Sehingga: Contoh : Suatu sampel produk ikan dalam kaleng sebanyak 400 buah mempunyai rata-rata umur simpan 23,4 bulan dan standar deviasi s=6,2 bulan. Berapakah kisaran umur simpan produk ikan dalam kaleng tersebut pada interval kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui : n besar maka digunakan distribusi Z dengan =s =23,4 bulan dan s=6,2 1-=95%=0,95  = 0,05 /2 = 0,025 Z0,025 = 1,96. Maka: Kesimpulan: pada tingkat kepercayaan 95% maka umur simpas produk ikan dalam kaleng adalah antara 22,79 – 24,01 bulan.

2. Estimasi mean populasi dengan sampel kecil. Digunakan untuk data sampel dengan variansinya (2) dan standar deviasinya () tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (n<30). Jika adalah transformasi t dari sampel x1X1,X2,X3,…Xn. Jika sampel diambil dari populasi berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1) ditulis t(n-1). Distribusi ini tidak tergantung pada µ dan  populasi. Grafik distribusi t lebih memencar dibanding distribusi Z jika n semakin besar semakin mendekati distribusi Z. P(-tα/2(v) ≤T ≤ t α/2(v))=1-α Jika nilai t diganti menjadi :

B. Estimasi interval proporsi p suatu populasi Jika X adalah variabel random binomial (n;p) maka variabel random X/n mempunyai mean = p dan variasi untuk n besar harga Mendekati distribusi normal. Pada interval konfidensi 1-α untuk p adalah: Untuk estimasi proporsi jumlah sampel harus besar. C. Estimasi Variansi populasi normal Transformasi S2 dihitung dari suatu sampel random x1X1,X2,X3,…Xn yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan variansi 2 berdistribusi X2 dengan derajat bebas = n-1.

Tabel V : harga X2 (k;α) sehingga P(X2 >X2 (k;α) =α Untuk 0<α<1 maka : Untuk estimasi standar deviasi  digunakan :

Contoh : Ingin diteliti interval variansi (2) dan standar deviasinya () dari panjang buncis yang akan dikalengkan. Sampel acak sebanyak 20 buah dan diperoleh S2=0,01 inch dan S = 0,1 inch. Hitunglah interval variansi (2) dan standar deviasinya () yang sebenarnya dari buncis tersebut pada tingkat kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui n=20 1-α=95% s2=0,01 α=5% s=0,1 α/2=0,025 Dari tabel V diperoleh : X2 (19;0,025)=32,85 dan X2 (19;0,975) =8,91 maka : P(0,0058≤2≤0,0213)=95% Atau P(0,076≤≤0,146)=95% Kesimpulan : Pada tingkat kepercayaan 95% variansi panjang buncis adalah 0,0058 sampai dengan 0,0213 inch sedangkan standar deviasinya berkisar antara 0,076 sampai 0,146 inch.

B. Estimasi parameter dua populasi normal B.1. Estimasi selisih mean dua populasi normal Membandingkan nilai mean dua populasi. Sampel besar : Jika variansi dan standar deviasi kedua populasi diketahui. Sampel besar : . Jika variansi dan standar deviasi kedua populasi tidak diketahui, tetapi n besar (n30) sehingga  didekati dengan s

c. Sampel besar : Jika variansi dan standar deviasi tidak diketahui dan diasumsikan sama sehingga dihitung variansi gabungan = Sp2

Contoh : Seorang peneliti ingin membandingkan daya simpan dodol durian yang dibuat menggunakan cara lama dan cara baru. Hasil penelitian dengan diperoleh data : Lakukan estimasi selisih mean umur simpan dodol pada interval kepercayaan 95%. Apakah dapat disimpulkan bahwa produk yang dibuat dengan cara baru meningkatkan daya simpan dodol ? Cara lama Cara Baru n =50 n = 60 Rata-rata = 1271 hari Rata-rata = 1416 hari s= 148 hari s= 261 hari

B.2. Estimasi selisih mean dua populasi norma untuk sampel kecil. Distribusi t student dengan k = n1 + n2 - 2 Jika variansi kedua populasi sama Jika variansi kedua populasi tidak sama

Dengan derajat bebas didekati dengan perhitungan, jika k tidak bulat dibulatkan ke atas.

Contoh : Ketebalan hasil cetakan nugget dua buah mesin pencetak akan diteliti. Dari pengambilan sampel secara random dari kedua mesin tersebut diperoleh data : Lakukan estimasi selisih mean ketebalan nugget pada interval kepercayaan 95%. Apakah dapat disimpul- kan bahwa produk yang dibuat dengan mesin yang berbeda mempunyai ketebalan yang sama ? Mesin A Mesin B n =12 n = 11 Rata-rata = 18,75 mm Rata-rata = 18,61 mm s2= 0,21 s2= 0,34

C. Estimasi Selisih proposi dua populasi normal Distribusi Z Contoh : Hasil survei menunjukkan bahwa pada tahun 2002 di Kecamatan Sedayu dari 400 KK terdapat 164 petani sedangkan hasil survei saat ini diketahui dari 200 KK yang hanya 128 KK yang bekerja sebagai petani. Lakukan estimasi selisih proporsi KK yang pekerjaannya sebagai petani dari tahun 2002 dan pada saat ini pada tingkat kepercayaan 90%. Apakah dapat disimpulkan bahwa proporsi KK petani mulai menurun?

D. Estimasi Ratio variansi dua populasi normal Distribusi F  Uji Homogenitas Variansi Standar Deviasi

Contoh : Sebuah perusahaan ingin membeli alat pengukur kelembaban udara. Sebuah suplier menawarkan dua merk yang berbeda, untuk menentukan pilihan dilakukan percobaan pengukuran kelembaban udara disuatu ruang yang sama dan diperoleh data sebagai berikut : Lakukan estimasi ratio variansi kedua Alat tersebut pada tingkat kepercayaan 90%. Mana yang dipilih ? Alat A Alat B n = 6 n = 5 Rata-rata = 0,667 mHg Rata-rata = 0,607 mHg s2= 0,010858 s2=0,000346

Diketahui bahwa konsumsi ikan dapat mencegah penyakit jantung koroner Diketahui bahwa konsumsi ikan dapat mencegah penyakit jantung koroner. Berdasarkan hasil penelitian diketahui kadar kolesterol darah dari kelompok konsumen yang mengkonsumsi ikan setiap hari (A) dan dari konsumen yang tidak mengkonsumsi ikan setiap hari (B). Data : Lakukan estimasi selisish kadar kolesterol kedua kelompok konsumen tersebut pada tingkat kepercayaan 99%. Apakah dapat disimpulkan bahwa konsumsi ikan dapat menghambat peningkatan kadar kolesterol darah ? Kelompok A Kelompok B Jumlah sampel 159 79 Rata-rata kadar kolesterol 146 mg/dl 158 mg/dl Standar deviasi 66 dl 75 dl