RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

DEFINISI Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka sebuah tupel-n-terorde (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan dari n bilangan real (a1, a2,…, an). Himpunan dari semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rn.

DEFINISI Dua vektor u = (u1, u2,…,un) dan v = (v1, v2,…, vn) di dalam Rn dinamakan sama jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn Jumlah u + v didefinisikan oleh : u + v = (u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn) dan jika k adalah sebarang skalar, maka kelipatan skalar ku didefinisikan oleh : ku = (ku1, ku2,…, kun) Operasi penambahan dan perkalian skalar di dalam definisi ini dinamakan operasi-operasi standar pada Rn. Kita mendefinisikan vektor nol (zero vector) di dalam Rn sebagai vektor 0 = (0,0,…,0) Jika u = (u1, u2,…,un) adalah sebarang vektor di dalam Rn, maka negatif (atau invers aditif) dari u dinyatakan oleh –u dan didefinisikan oleh -u = (-u1, -u2,…,-un)

DEFINISI Jika u = (u1, u2,…,un) dan v = (v1, v2,..,vn) adalah sebarang vektor di dalam Rn, maka perkalian dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh u.v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

DEFINISI Kita mendefinisikan norma Euclidis (atau panjang Euclidis) dari sebuah vektor u = (u1, u2,…, un) di dalam Rn menurut 𝒖 = (𝒖.𝒖) 1/2 = 𝑢 1 2 + 𝑢 2 2 +…+ 𝑢 𝑛 2

Jarak Euclidis di antara titik u = (u1,u2,…,un) dan titik v = (v1, v2,…,vn) di dalam Rn didefinisikan oleh d(u,v)= 𝒖−𝒗 = ( 𝑢 1 − 𝑣 1 ) 2 + ( 𝑢 2 − 𝑣 2 ) 2 +…+ ( 𝑢 𝑛 − 𝑣 𝑛 ) 2

Notasi vektor dalam matriks pada Rn

RUANG VEKTOR UMUM Definisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda pada mana didefinisikan dua operasi, yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan real). Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w di dalam V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita menamakan V sebuah ruang vektor (vector space) dan benda-benda di dalam V kita namakan vektor : Jika u dan v adalah benda-benda di dalam V, maka u + v berada di dalam V. u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w

Ada sebuah benda 0 di dalam V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di dalam V. Untuk setiap u di dalam V, ada sebuah benda –u di dalam V yang dinamakan negatif dari u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0. Jika k adalah sebarang bilangan real dan u adalah sebarang benda di dalam V, maka ku berada di dalam V k(u + v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu k(lu) = (kl)(u) 1u = u Vektor 0 di dalam Aksioma 4 dinamakan vektor nol (zero vector) untuk V.

SUBRUANG Definisi : Sebuah subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan sebuah subruang (subspace) dari V jika W itu sendiri adalah sebuah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Teorema 4. Jika W adalah sebuah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah sebuah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku. Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam W, maka u + v berada di dalam W. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di dalam W, maka ku berada di dalam W.

KEBEBASAN LINIER Definisi : Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linier dari vektor-vektor v1, v2,…,vr jika vektor tersebut dapat dinyatakan di dalam bentuk w = k1v1 + k2v2 + … + krvr dimana k1, k2,…, kr adalah skalar.

Definisi : Jika v1, v2,…,vr adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang vektor V dan jika tiap-tiap vektor di dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari v1, v2,…,vr maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor ini merentang V/membangun V/span V.

Jika S = [v1, v2,…,vr} adalah sebuah himpunan vektor, maka persamaan vektor k1v1 + k2v2 +… + krvr = 0 mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni : k1 = 0, k2 = 0,…, kr = 0 Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan sebuah himpunan yang bebas linier (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan sebuah himpunan yang tak bebas linier (linearly dependent).

BASIS DAN DIMENSI DEFINISI : Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1,v2,…,vr} adalah sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor di dalam V, maka S dinamakan sebuah basis untuk V jika S bebas linier; S merentang V

Sebuah ruang vektor tak nol V dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor {v1,v2,…,vn} yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu, maka V dinamakan berdimensi tak berhingga (infinite dimensional).

DIMENSI Definisi : Dimensi dari sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor di dalam sebuah basis untuk V.

Teorema 12. Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama.

RANK DAN NULLITAS Definisi : Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank (rank) dari A.   Dimensi ruang kosong dari A disebut dengan nullitas dari A dan ditulis dengan null(A).

Teorema : Jika A matriks sebarang, rank(A) = rank(AT). Jika A matriks sebarang dengan n kolom, maka : rank(A) + null(A) = n.

TEOREMA Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain. A dapat dibalik (invertible) Ax = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial. A ekuivalen baris dengan In. Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x 1. det(A) ≠ 0 A mempunyai rank n. Vektor-vektor baris dari A bebas linier. Vektor-vektor kolom dari A bebas linier.