Distribusi Probabilitas Dr Adi Setiawan

Distribusi Probabilitas Variabel acak (random variable) : variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas Variabel acak diskrit : variabel acak yang memiliki nilai yang dapat dicacah (countable) Variabel acak kontinu : variabel acak yang memiliki nilai yang tak terhingga banyaknya sepanjang sebuah interval yang tidak terputus

Jika sebuah eksperimen probabilitas mempunyai keluaran yang mungkin dari variabel acak diskrit x1, x2, , xn dan didaftarkan nilai probabilitas yang berkaitan yaitu P(X = x1) = p(x1), , P(X = xn) = p(xn) maka akan terbentuk distribusi probabilitas diskrit dari variabel acak X Aturan suatu fungsi merupakan suatu fungsi probabilitas : 1 Nilai-nilai dari suatu fungsi probabilitas adalah angka-angka yang berada dalam interval antara 0 dan 1 sehingga 0  p(x)  1 2 Jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas adalah 1 sehingga

Contoh 1 : Percobaan melantunkan satu mata uang tiga kali. Ruang sampel S = {MMM, MMB, MBM , BMM , BMB, BBM, MBB, BBB }. Apabila diinginkan untuk meneliti banyak ' muka ' yang muncul pada tiap titik sampel maka hasil numerik 0, 1, 2 atau 3 akan dikaitkan dengan titik sampel. Misalkan X(s) = banyak muka dalam s dengan sS. Fungsi X : S  R dengan X(s) = x . Bilangan 0, 1, 2 dan 3 merupakan pengamatan yang mungkin.

Kejadian Sederhana X MMM MMB MBM BMM BBM MBB BMB BBB 3 2 1 Tabel berikut ini menyatakan probabilitas mendapatkan X "muka”. Tabel tersebut juga dinamakan fungsi probabilitas dari variabel acak X

Tabel fungsi probabilitas X 0 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function /distribution function) didefinisikan sebagai Hal itu berarti bahwa fungsi distribusi kumulatif adalah jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x Fungsi distribusi dari Contoh 1 dapat dinyatakan sebagai :

Ukuran-ukuran statistik deskriptif untuk suatu distribusi probabilitas diskrit  dapat ditentukan dengan prinsip-prinsip yang telah dijelaskan pada bab 2 Ukuran yang merupakan ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan : Mean dari distribusi : Variansi dari distribusi :

Berdasarkan contoh 1 diperoleh mean dari distribusi adalah 

dan variansi dari distribusi adalah

Secara teoritis, kurva distribusi probabilitas populasi diwakili oleh polygon frekuensi relatif yang dimuluskan  fungsi kepadatan probabilitas (probability density function – pdf) f(x)  Luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh sumbu-x antara garis x = a dan x = b menyatakan bahwa probabilitas bahwa X terletak antara x = a dan x = b yaitu

Agar sebuah fungsi dapat menjadi sebuah fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak kontinu : 1 Fungsi kepadatan probabilitas f(x)  0  2 Luas total daerah di bawah kurva f(x) adalah 1 yaitu Jika X variabel acak kontinu maka berlaku

Contoh 2 : Dalam suatu proses produksi obat-obatan, suatu bahan kimia harus dipanaskan dalam oven terlebih dahulu sebelum dapat diproses selanjutnya Oven dapat dipergunakan setiap selang waktu 5 menit Karena variasi waktu dalam persiapannya, bahan kimia tersebut tidak selalu tersedia pada saat yang bersamaan dengan saat oven siap pakai Jadi jika terlambat bahan kimia tersebut harus menunggu sampai waktu oven siap kembali digunakan Jika X variabel acak kontinu yang menyatakan waktu tunggu bahan kimia sampai bisa dipanaskan dalam oven maka himpunan nilai X yang mungkin adalah { 0  x  5 }

Salah satu fungsi kepadatan probabilitas bagi X adalah Probabilitas waktu tunggu bahan kimia selama 1 sampai 3 menit adalah Probabilitas waktu tunggu bahan kimia tersebut lebih dari 3,5 menit adalah

Jika variabel acak X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas f(x) maka fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak X dapat dinyatakan sebagai Hubungan antara fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi dapat dinyatakan sebagai :

Mean distribusi : Variansi distribusi : Contoh 2 (lanjutan) Fungsi distribusi : untuk 0  x  5

Mean distribusi adalah dan variansi distribusinya adalah

Nilai Harapan (Nilai Harapan Matematik) Nilai harapan (expected value) atau nilai harapan matematik dari variabel acak X dinyatakan sebagai E(X) didefinisikan sebagai jika X variabel acak diskrit dan nilai tersebut ada Jika X variabel acak kontinu maka nilai harapan didefinisikan sebagai

Di samping itu juga berlaku sifat :

Contoh 4 Pemakaian mesin produksi tertentu yang berjalan lancar (tanpa kerusakan) memberikan keuntungan Rp 5 juta, sedangkan jika terdapat gangguan ringan memberikan keuntungan hanya Rp 1 juta Namun jika gangguannya berat, terjadi kerugian Rp 2 juta Pengalaman menunjukkan probabilitas mesin berjalan normal adalah 0,6, berjalan dengan gangguan ringan 0,3 sedangkan gangguan berat hanya 0,1 Harapan keuntungan yang diperoleh dari pemakaian mesin produksi tersebut dapat dihitung sebagai berikut : Variabel acak diskrit X adalah keuntungan (dalam juta) dengan nilai x1 = 5, x2 = 1 dan x3 = -2 dengan probabilitas masing-masing p(x1) = 0,6, p(x2) = 0,3 dan p(x3) = 0,1

Harapan keuntungannya adalah = 5 (0,6) + 1 (0,3) + (-2) (0,1) = 3,1 Jadi harapan keuntungan pemakaian mesin produksi tersebut adalah Rp 3,1 juta

Di samping itu variansi dari keuntungan tersebut adalah : = 25 (0,6) + 1 (0,3) + 4 (0,1) = 15,7, sehingga dan simpangan bakunya adalah