Akbar Darmawan (11.6524) Ezra Priska Donny Anggoro (11.6646) Kelompok 4 Present Model Berpangkat Tidak Penuh (model anova): pengujian hipotesis untuk model klasifikasi 2 arah tanpa dan dengan interaksi Akbar Darmawan (11.6524) Ezra Priska Donny Anggoro (11.6646) Fradina Sri Oktaviani ( 11.6670) Jacob Da Costa (11.6720) Karmila Putri (11.6738) Sulastin Savitri (11.6914) Wa Ode Hasmayuli (11.6948)

DUA FAKTOR DESAIN TANPA INTERAKSI: EFEK FIX contoh, seorang ahli kimia mungkin ingin mempelajari pengaruh baik tekanan dan temperatur pada viskositas perekat, seorang insinyur akan mempelajari pengaruh kecepatan mesin dan lainya. Untuk memahami perbedaan antara desain dua faktor, perlu untuk menjelaskan interaksi. Contoh harus menggambarkan ide. Misalkan dalam mempelajari dan suhu dipelajari pada dua tingkat. Misalkan bahwa respon rata-rata teoritis untuk kombinasi tekanan suhu delapan adalah:

Arti sketsa ini ditunjukkan pada Gambar 6. 1 Arti sketsa ini ditunjukkan pada Gambar 6.1. Perhatikan perilaku tidak konsisten dari respon terhadap perubahan tekanan untuk dua temperatur ditunjukkan oleh crossover(penyeberangan) dalam sketsa. Pada tekanan 1, 3, dan 4 rata-rata respon untuk suhu 2 melebihi dari suhu 1, namun, sebaliknya adalah benar pada tekanan 2. Inkonsistensi seperti ini menunjukkan adanya "interaksi" antara tekanan dan temperatur. Jika tidak ada interaksi ada, maka berubah dari suhu 1 sampai 2 suhu memiliki efek yang sama persis pada viskositas pada setiap tingkat tekanan. Misalnya, jika viskositas untuk suhu 2 melebihi dari suhu 1 oleh empat unit pada tekanan 1. Maka akan melakukannya pada setiap tekanan lain juga. Hal ini menghasilkan sebuah sketsa di mana segmen garis untuk dua suhu paralel.

Crossover baris menunjukkan interaksi antara tekanan dan temperature Gambar 6.1 Data dari ketiga kelompok digabungkan baru diurutkan mulai dari yang terkecil ke terbesar 2. Lalu di beri ranking

Gambar 6.2 mengilustrasikan ide. (a) Sebuah desain yang seimbang pada dua faktor dengan interaksi yang dibuktikan dengan efek Crossover, (b) Sebuah desain yang seimbang dua faktor dengan interaksi yang dibuktikan dengan garis nonparallel tanpa Crossover, (c) Sebuah desain yang seimbang dua faktor tanpa interaksi sebagaimana dibuktikan oleh segmen garis paralel

Gambar 6.2

MODEL TAMBAHAN Jika ada interaksi, model ini dikatakan aditif. Secara matematis, hal ini ini berarti bahwa respon dapat dinyatakan sebagai jumlah dari efek karena faktor I, efek karena faktor II, dan efek akibat pengaruh acak. Di sini diasumsikan bahwa factor I dipelajari di tingkat a, faktor II pada tingkat b, dan tepat satu respon diukur pada masing-masing kombinasi perlakuan ab. Model untuk desain dua faktor tanpa interaksi

Berikut menunjukkan efek karena fakta bahwa respon diukur pada tingkat i dari faktor I; menunjukkan efek karena fakta bahwa respon diukur pada tingkat j faktor II; menunjukkan efek karena random pengaruh pada respon. Dalam bentuk diperluas, model ini menjadi

Sistem ini dinyatakan dalam bentuk matriks seperti: Dimana

Dan

TESTABLE HYPOTHESES

Matriks ab x ( a+b+1 )

Asumsi Nampak bahwa dari kolom ke-2 sampai a+1 adalah independen linear dan terjumlah pada kolom 1. Serta dari kolom a+2 sampai a+b+1 adalah independen linear yang terjumlah pada kolom 1. Oleh karena itu rank matriks X (a+b+1)- 2=a+b-1 yang berarti “less than full rank” Testable Hypotheses mengasumsikan bahwa : H0 : Cβ = 0 dimana C adalah rank m ≤ a+b-1

Hipotesis Dua hipotesis yang penting yaitu : Ho : τ1 = τ2 = ... = τa : Tidak ada perbedaan pada efek yang terkait pada level dari faktor I Ho : β1 = β2 = ... = βb : Tidak ada perbedaan pada efek yang terkait pada level dari faktor II Untuk melihat bahwa testable, pertama perlu melihat bahwa kontras dari τ dan β dapat diestimasi. Untuk itu, kita gunakan matriks X’X.

Matriks X’X Tampak bahwa matriks ini mempunyai dua ketergantungan antar kolom terhadap X. Oleh karena itu suatu matriks (a+b+1) x (a+b+1) memiliki rank a+b-1 Matriks tersebut digunakan untuk menentukan perkiraan kontras dari τ.

Theorema 6.4.1 Pada desain dua faktor yang tidak berinteraksi, setiap kontras dari τ dapat diestimasi (estimable) Bukti : ω = a1τ1 + a2τ2 + ... + anτn = [ 0 a1 a2 ... an 0 0 ... 0 ]β = a’β Menyatakan kontras. Berdasarkan teorema 5.4.1, a’β dapat diestimasi (estimable) jika terdapat solusi pada sistem (X’X)z = a.

Berdasarkan Theorema 5.4.1 Sistem tersebut memiliki solusi jika r [ X’X | a ] = r ( X’X ) dengan

...lanjutan Karena ω adalah kontras, 𝑎𝑖 =0. Oleh karena itu baris ke-2 sampai ke a+1 akan terjumlah pada baris ke-1, begitu juga baris ke- a+2 hingga a+b+1. Sehingga rank dari [X’X|a] adalah a+b+1-2=a+b-1= r[X’X|a] maka terbukti.

Kontras dari 𝛽 ′ 𝑠 Argumentasi yang sama akan menunjukkan bahwa setiap kontras β dapat diestimasi (estimable). Untuk menunjukkan bahwa Ho testable, ingat bahwa hal itu setara dengan τ1 – τ2 = 0 τ1 + τ2 - 2τ3 = 0 τ1 + τ2 + τ3 - 3τ4 = 0 ⋮ τ1 + τ2 + τ3 + ⋯ + τ a-1 – (a-1) τ a = 0 Ini adalah bentuk kontras ortogonal yang independen linear dan juga dapat diestimasi. Berdasarkan definisi 6.1.1, Ho merupakan testable. Dalam bentuk matriks kita menguji Ho : Cβ = 0

... lanjutan dimana C adalah matriks (a-1) x ( a+b+1 ) sebagai berikut :

Sum of Squares Regresi Seperti pada satu faktor, testable hypotheses dapat dicari dengan berbagai metode, misalnya F ratio, reparameterisasi menjadi full rank, atau membagi ke dalam subvektor β. Secara khusus, Sum of Squares Regresi untuk model penuh (full model) ditemukan maka Sum of Squares Regresi untuk model yang mengasumsikan τ1 + τ2= ... = τa, ditemukan. Perbedaan antara keduanya adalah SSreg (hypothesis) digunakan untuk menguji Ho.

Sum of Squares Regresi (2) Ingat bahwa Sum of Squares Regresi untuk Full model adalah sebagai berikut : SSreg (full) = y’X (X’X)c X’y = b’X’y Karena Sum of Squares Regresinya invarian terhadap berbagai solusi persamaan normal, maka solusi dari sistem ( X’X )b =X’y dapat digunakan untuk menghitung SSfull. Secara teori, satu solusi dapat ditemukan dengan menghitung ( X’X )c X’y dimana ( X’X )c adalah conditional inverse dari X’X.

Kendala ( Constraints ) Karena tidak mudah menemukan nilai eksplisit ( X’X )c untuk desain ini, maka akan digunakan pendekatan lain. “kendala” akan diterapkan untuk memecahkan sistem persamaan normal. Kendala adalah batasan yang ditempatkan pada elemen dari solusi vektor "b" yang dikenakan semata-mata untuk tujuan mempercepat solusi dari persamaan normal. Secara umum, jumlah kendala yang diperlukan adalah p - r dimana p merupakan jumlah kolom dari X, dan r adalah rank-nya. Pada kasus ini, jumlah kendala yang diperlukan adalah ( a+b+1 ) – ( a+b-1 ) = 2 Seperti yang anda lihat, kendalanya 𝑖=1 𝑎 𝜏𝑖 = 𝑗=1 𝑏 𝛽𝑗 =0

Untuk mengetahui kenapa kendala diperlukan, ingat bahwa X’y adalah sebagai berikut : y.. menyatakan jumlah respons, yi. menyatakan jumlah respon pada level ke-i dan faktor I, dan y.j menyatakan jumlah respons pada level ke-j dari faktor II.

menyelesaikan sistem ( X’X )b = X’y Sisi kiri dari persamaan menjadi

menyelesaikan sistem ( X’X )b = X’y Bila kita menerapkan kendala, kita dapatkan 𝑎𝑏 𝜇 =𝑦.. 𝑏 𝜇 +𝑏 𝜏 =𝑦𝑖. 𝑎 𝜇 +𝑎 𝛽 𝑗=𝑦.𝑗 lalu disederhanakan menjadi 𝜇 = 𝑦 .. 𝜏 𝑖= 𝑦 𝑖. − 𝑦 .. 𝛽 𝑗= 𝑦 .𝑗 − 𝑦 .. Oleh karena itu, kita definisikan nilai 𝜏 𝑖 dan 𝛽 𝑗 dengan 𝜇 = 𝑦 .. 𝜏 𝑖= 𝑦 𝑖. − 𝑦 .. 𝛽 𝑗= 𝑦 .𝑗 − 𝑦 ..

Karena diketahui 𝑖=1 𝑎 𝜏𝑖 = 𝑗=1 𝑏 𝛽𝑗 =0 (exercise 30 hal.301) Sehingga adalah solusi yang cukup dari persamaan normal ( exercise 31 hal.301 ). Solusi ini digunakan untuk menemukan SSreg (full) . Secara umum, SSreg (full) = 𝑏’𝑋’𝑦= 𝑦.. 2 𝑎𝑏 + 𝑖=1 𝑎 𝑦𝑖 𝑦 𝑖. − 𝑦 .. + 𝑗=1 𝑏 𝑦.𝑗 𝑦 .𝑗 − 𝑦 ..

...lanjutan Kemudian direduksi secara aljabar ( disederhanakan ) menjadi SSreg (full) = 𝑖=1 𝑎 𝑦 2 𝑖. 𝑏 +( 𝑗=1 𝑏 𝑦 2 .𝑗 𝑎 )− 𝑦 2 .. 𝑎𝑏 Untuk menemukan bentuk sederhananya, kita asumsikan bahwa 𝜏 1 = 𝜏 2 =…=𝜏𝑎=𝜏. Dan menghasilkan 𝑦𝑖𝑗= 𝜇 ∗ + 𝛽 𝑗 + 𝜀 𝑖𝑗 i = 1, 2, ... , a b=1, 2, ... , b dimana 𝜇 ∗ = 𝜇+ 𝜏 . ini merupakan one-way classification model dengan N=ab, nj=a, dan k=b.

Dari section 6.2 ( Hal. 245 ), terlihat bahwa Sum of Squares Regresi dari model tersebut adalah SSreg (reduced) = 𝑖=1 𝑏 𝑦 2 .𝑗 𝑎 Sum of Squares yang terkait dengan hipotesis Ho : 𝜏 1 = 𝜏 2 =…=𝜏𝑎 adalah SSreg (Hyposhesis) = SSreg (full) - SSreg (reduced) = 𝑖=1 𝑎 𝑦 2 𝑖. 𝑏 +( 𝑗=1 𝑏 𝑦 2 .𝑗 𝑎 ) − 𝑦 2 .. 𝑎𝑏 – 𝑖=1 𝑏 𝑦 2 .𝑗 𝑎 = 𝑖=1 𝑎 𝑦 2 𝑖. 𝑏 − 𝑦 2 .. 𝑎𝑏

Derajat Bebas untuk Ho Jumlah derajat bebas yang terkait dengan full model adalah sama dengan rank dari X (a+b-1), sedangkan jumlah derajat bebas dari reduced model adalah b, Sehingga jumlah derajat bebas yang terkait dengan hipotesis pada level of Factor I adalah (a+b-1)-b=a-1. Sum of Squares Regresi memiliki ab-(a+b-1)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1) derajat bebas. F ratio yang digunakan untuk menguji Ho adalah Fa-1, (a-1)(b-1) = [ 𝑖=1 𝑎 𝑦 2 𝑖. 𝑏 − − 𝑦 2 .. 𝑎𝑏 ] (𝑎−1) 𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠 (𝑎−1)(𝑏−1)

Derajat Bebas untuk H’o Dengan metode yang sama, dapat juga menunjukkan F ratio yang digunakan menguji H’o : H0 : β1 = β2 = ... = βb adalah Fb-1, (a-1)(b-1) = [ 𝑖=1 𝑎 𝑦 2 𝑖. 𝑏 − − 𝑦 2 .. 𝑎𝑏 ] (𝑎−1) 𝑆𝑆𝑅𝑒𝑠 (𝑎−1)(𝑏−1)

Table 6.7 Anova table for the two – factor design with no interaction and one response measured at each of the ab treatment combinations Source of variation Degrees of freedom Sum of squares Mean squares F Regression a + b – 1 SSreg/(a+b-1)   Reduced model b Hypothesis a – 1 Residual ( a – 1) ( b-1) Total (uncorrected) ab

Table 6.8 Tabel ANOVA untuk desain dua – faktor tanpa interaksi dan satu respon diukur pada masing-masing kombinasi perlakuan ab berdasarkan total yang dikoreksi. Source of variation Degrees of freedom Sum of squares Mean squares F Reg (hypothesis I ) a – 1   Reg (hypothesis II) b – 1 Residual ( a – 1 ) ( b – 1 ) Corrected total ab - 1

Contoh 6.4.1 Sebuah studi kelarutan dua preparat enzim yang paling sering dikemas dilakukan. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui pengaruh jenis kapsul dan cairan biologis pada waktu yang dibutuhkan penghancuran kapsul. Dua cairan biologis, lambung dan duodenum, dan dua jenis kapsul, A dan B, yang digunakan dalam penelitian ini. Empat sampel identik untuk persiapan diperoleh. Dua dipilih secara acak untuk dikemas dalam jenis kapsul A, yang lain yang dikemas dalam tipe B. Satu dari masing-masing jenis kapsul kemudian dipilih secara acak dan dilarutkan dalam cairan lambung, yang lain dilarutkan dalam jus duodenum.

Data tersebut diperoleh Jenis Cairan ( Faktor I ) Jenis kapsul ( Faktor II) Lambung Duodenum   39.5 31.2 y.1 = 70.7 47.4 44.0 y.2 = 91.4 y1. = 86.9 y2. = 75.2 y.. = 162.1

Penyelesaian :

Cont . . .

ANOVA dengan format dari table 6.8 ditunjukkan dalam tabel 6.9

Keputusan = Karena Fhit (5.70,17.846)≤39.86 maka Ho diterima. Kesimpulan = Dengan tingkat kepercayaan 10%, dapat disimpulkan bahwa τ1 = τ2 (Tidak ada perbedaan dalam respon antara dua cairan biologis) β1 = β2 ( Tidak ada perbedaan dalam respon antara dua jenis kapsul )

6.5 RANCANGAN ACAK BLOK LENGKAP : EFEK TETAP Salah satu tes biasanya disajikan dalam program statistik dasar adalah uji t berpasangan. Ini adalah tes yang digunakan untuk membandingkan dua cara perlakuan pada keberadaan suatu variabel asing. Sebuah variabel asing adalah variabel yang hadir dan yang dapat mempengaruhi respon tapi itu tidak menarik langsung ke peneliti. Sebagai contoh, dalam membandingkan masa ketahanan dari 2 cat, lokasi di mana cat yang digunakan dapat dianggap sebagai variabel asing. Lokasi bukan fokus penelitian, tapi jelas mempengaruhi masa hidup cat dan efeknya perlu dikontrol. Dalam mempelajari kemampuan dari dua jenis tabir surya yang berbeda untuk melindungi individu dari pembakaran, variabel "jenis kulit" mungkin dipandang sebagai variabel asing.

Ketika membandingkan perlakuan dengan ≥ 2 di hadapan sebuah variabel asing, rancangan acak lengkap digunakan. Variabel asing digunakan untuk membentuk blok sebanyak b di mana blok adalah kelompok dari unit eksperimental yang hampir sama seperti kemungkinan relatif terhadap variabel asing atau variabel yang diblokkan. Sebuah perlakuan secara acak ditugaskan untuk unit percobaan dalam setiap blok. Dan hasilnya adalah kombinasi kemungkinan perlakuan-blok ab , masing-masing terkait dengan satu unit eksperimental. Model untuk desain tersebut adalah yij = μ + τi + βj + εij i = 1, 2 , . . . , a j= 1, 2, . . . , b

τ disini, merupakan efek pengobatan dan βj efek blok τ disini, merupakan efek pengobatan dan βj efek blok. Terlihat model ini tampaknya sama dengan yang disajikan pada bagian terakhir. Namun, Ada perbedaan penting. Pengacakan disni terjadi hanya sekali. Kami menetapkan secara acak perlakuan untuk unit percobaan dalam blok, kita tidak menetapkan secara acak blok ke unit percobaan. Setiap unit didapat secara alami menjadi salah satu dari b blok tergantung pada nilai dari variabel asing. Akibatnya, satu-satunya hipotesis nol yang dapat diuji adalah H0 : τ1 = τ2 = . . .= τa

Hipotesis ini diuji persis seperti dalam desain dua - faktor tanpa interaksi. Tidak ada tes yang tepat untuk menentukan keefektifan dari pemblokkan. Karena itu H0 : β1 = β2 = . . . = βb tidak dapat diuji dengan menggunakan uji F(uji tes biasa). Namun, penggunaan pemblokkan dapat dinilai. Biasanya ini dilakukan dengan menghitung relative efisiensi dari rancangan acak lengkap dibandingkan dengan dengan desain klasifikasi satu - cara. Bentuk umum dari efisiensi sebagai berikut RE =

Dimana S2 adalah mean square residual diperoleh dari ANOVA asli dan SSblocks = Dalam desain dua faktor tanpa interaksi jumlah ini kuadrat disebut SSreg (hypothesesII). Setiap nilai RE yang melebihi 1 menunjukkan bahwa pemblokkan efektif sampai batas tertentu. Namun, ada cara yang lebih mudah untuk menilai efektivitas pemblokkan. Suatu Fratio “pseudo” yang mengambil bentuk yang sama seperti yang digunakan untuk menguji perbedaan antara tingkat faktor II dalam desain dua faktor tanpa interaksi sehingga dapat dibentuk : Fpseudo =

Jika Fpseudo <1, Kemudian RE <1 Arnold, Letner, dan Hinklemen, [2] telah menunjukkan bahwa Fpseudo dan RE yang berhubungan linier melalui persamaan. RE = c + (1 - c). Fpseudo Dimana c = b (a - 1) / (ab - 1). Sangat mudah untuk melihat bahwa c ≤ 1 dan Jika Fpseudo <1, Kemudian RE <1 Jika Fpseudo = 1, Kemudian RE = 1 Jika Fpseudo> 1, Kemudian RE> 1 Oleh karena itu meskipun Fpseudo rasio tidak dapat digunakan untuk melakukan uji Format F pada perbedaan antar blok, namun itu dapat digunakan untuk menilai efektivitas block persis cara yang sama seperti efisiensi ukuran relatif biasa.

Contoh 6.5.1 Departemen jalan raya sedang mempelajari empat jenis ofpaving untuk kemungkinan penggunaan di jalan raya antarnegara. Karena diketahui bahwa lokasi dalam negara dapat mempengaruhi hasil karena perbedaan dalam pola cuaca dan lalu lintas, lokasi diperlakukan sebagai variabel asing. Bagian TGhree jalan raya di berbagai bagian negara yang dipilih untuk eksperimen. Setiap bagian merupakan suatu blok. Masing-masing dibagi menjadi empat potongan dan empat jenis paving ditugaskan secara acak untuk membagi dalam setiap blok. Ide ini diilustrasikan pada Gambar 6.3

Jenis Paving secara acak ditugaskan untuk membagi setiap bagian dari jalan raya Block 1   Block 2 Block 3 Type 1 Type 2 Type 3 Type 4

Satu tahun setelah paving, jumlah pemakaian untuk setiap potongan dipastikan. Kami ingin menguji H0 : τ1 = τ2 = τ3 = τ 4 (Tidak ada perbedaan dalam jumlah pemakaian antara empat jenis paving) Diperoleh data berikut (nilai yang lebih tinggi merupakan pemakaian yang lebih besar):

Location (Blocks) Paving Type   1 2 3 4 42.7 39.3 48.5 32.8 50 38 49.7 40.2 51.9 46.3 53.5 51.1

Penyelesaian :

Hipotesis : H0 : τ1 = τ2 = τ3 = τ 4 ( tidak ada perbedaan dalam pemakaian keempat jenis paving) H1 : Minimal ada 2 perbedaan dalam pemakaian keempat jenis paving Taraf signifikansi :10% Titik kritis : F(0.1;(b-1),(a-1)(b-1))=F(0.1;2,6)= 3.46 Wilayah Kritis : Ho ditolak apabila Fratio > 3.46 Statistik uji :

Table 6.10

Kemudian karena Fpseudo (8 Kemudian karena Fpseudo (8.47)>1 dan RE>1 maka data disimpulkan pemblokkan (penglokasian) efektif. Lokasi cenderung mempengaruhi jumlah pemakaian jenis paving. Namun dapat melihat keefektifan dari blok Seperti dalam dua - faktor desain tanpa interaksi, perbedaan antara tipe paving dapat diuji, namun, tidak ada tes untuk perbedaan antara lokasi hanya dapat dilihat keefektifan dalam penglokasian.

Dalam model statistik, persamaan di atas dapat dijelaskan menjadi dua kondisi. Model Efek Tetap Model Efek Acak Peneliti telah menentukan terlebih dahulu level faktornya. Model ini membawa ke hipotesis nol bahwa tidak terdapat perbedaan diantara efek2 a buah perlakuan yang terdapat dalam eksperimen. Kesimpulan hanya berlaku untuk a buah perlakuan yang terdapat dalam eksperimen. Peneliti memilih secara acak a level dari populasi level faktor, maka dikatakan bahwa faktornya acak/random. hipotesis nol yang berbunyi tidak ada perbedaan di antara efek2 semua perlakuan didalam populasi di mana sebuah sampel telah diambil sebanyak a perlakuan. Kesimpulan berlaku untuk populasi perlakuan berdasarkan sebuah sampel terdiri a buah perlakuan yang diambil dari populasi itu.

6.6 DESAIN 2 FAKTOR DENGAN INTERAKSI: FIXED EFFECT kegagalan level pada Faktor I untuk bertindak secara konsisten terhadap level pada Faktor II, dan sebaliknya.

Table 6.11 Theotrical cell means untuk sebuah eksperimen dengan 2 level pada masing-masing faktor Faktor I 1 2 Faktor II 3 6

THE GENERAL TWO FACTOR MODEL Model 2 faktor dengan interaksi adalah: i =1, 2,....., a j =1, 2,.....,b k =1, 2,.....,n Hipotesis ini akan diuji: Ho : Tidak ada interaksi H’o : Tidak ada perbedaan antar efek dari level pada faktor I H’’o : Tidak ada perbedaan antar efek dari level pada faktor II

Untuk menguji hipotesis, gunakan model Table 6 Untuk menguji hipotesis, gunakan model Table 6.12 Layout data untuk desain 2 faktor, a=b=n=2 dimana Faktor I 1 2 Faktor II y111 y112 y211 y212 y121 y122 y221 y222

PENGUJIAN PADA INTERAKSI Tujuan:menguji ada atau tidak nya interaksi Asumsi: tidak ada interaksi dari masing-masing efek interaksi, adalah nol setidaknya salah satu dari interaksi tidak nol Timbul masalh karena fakta bahwa efek interaksi tidak estimable. Sehingga, hipotesis dimana,

Excercise 6.6.1 Pertimbangkan data hipotetis berikut dan anggap bahwa dalam setiap kasus j=1,2 Untuk setiap parameter set, berlaku Faktor I 1 2 Faktor II 6 5 Parameter Set I Parameter Set I

Untuk memahami definisi dari teori no interaction , lakukan “reparameterisasi” model 2x2 dengan mendefenisikan i=1,2 j=1,2 Dalam bentuk reparameterisasi,model menjadi i=1,2 j=1,2 k=1,2

Example 6.6.2 Desain 2x2 dengan 4 sel mean Agar level Factor I konsisten di seluruh level Faktor II, selisih antar sel antara level 1 dan 2 pada Faktor I harus sama setiap barisnya. Artinya, kita harus memiliki Sama halnya, agar level Factor II konsisten di seluruh level Faktor I, selisih antar sel antara level 1 dan 2 pada Faktor II harus sama setiap kolomnya. Artinya Faktor I 1 2 Faktor II

Jika kasus 2x2 memenuhi persamaan berikut ,maka tidak ada interaksi Jumlah mean pada satu diagonal utama dari tabel mean sama dengan jumlah mean pada diagonal lainnya.

Molin 280-284

Definisi 6.6.1 Jika model 2 dua faktor Jika tanpa interaksi jika hanya jika untuk semua i,j, i’ dan j’

Secara khusus, tidak ada interaksi ada jika hanya jika Untuk semua i,j,i’ dan j’ Pada umumnya, kriteria umumnya ab(a-1)(b-1) persamaan yang semua tetapi (a-1)(b-1) berlebihan. Contoh, pada model 2 x 2 definisi menghasilkan empat persamaan yang semuanya aljabar setara dengan persamaan tunggal. pada model 3 x 3, umumnya ada 36 persamaan menghasilkan yang hanya empat yang unik.

dilihat bahwa untuk menguji ada interaksi didasarkan pada parameter model asli. Dengan hipotesis nol adalah dimana C adalah matriks dipilih secara tepat dari satu dan nol dimensi (a-1)(b-1) x ( a + b+ ab + 1 ). sebagai contoh dimana a=b = n=2

contoh 6.6.3 pada model dua faktor dengan a=b = n=2, Hipotesis nol dari model tanpa interaksi adalah dalam bentuk matrik, menjadi

Dimana

khususnya kami ingin reparameterize sedemikian rupa bahwa istilah interaksi reparameterized akan diduga. Oleh karena itu, interaksi dapat diuji dengan mempertimbangkan nilai numberik dari istilah- istilah ini secara langsung. Kasus 2 x 2 memberikan panduan untuk teknik umum yang digunakan. Model dua faktor

Model dapat dinyatakan melalui parameter ini sebagai Atau Dimana

ini dapat menunjukan bahwa setiap parameter baru adalah estimable(dapat diduga). karena itu masuk akal untuk mengharapkan bahwa hipotesis nol untuk tidak ada interaksi dapat dinyatakan secara sederhana dalam hal ini didefinisikan ulang parameter. khususnya ini dapat dilihat bahwa model tanpa interaksi ada jika dan hanya jika untuk setiap i dan j.

Teorema 6.6.1 menyatakan hasil ini dalam pengertian umum, secara umum, kita mendefinisikan

Teorema 6.6.1 Jika reparameterize model dua faktor sebagai Dimana

Bukti Asumsikan bahwa tanpa interaksi ada. Ini ditunjukan bahwa untuk semua i, j, i’, j’. karena itu dengan membagi ab, itu dapat disimpulkan bahwa jika tanpa interaksi ada. kemudian menjadi

menurut definisi, tidak ada interaksi yang ada seperti yang diinginkan. untuk membuktikan sebaliknya, menganggap bahwa untuk semua i dan j. kemudian menjadi untuk semua i, j, i’, j’. dengan mensubtitusi untuk semua i, j, i’, j’ menurut definisi, tidak ada interaksi yang ada

hipotesis nol tidak ada interaksi dalam desain dua faktor sering ditampilkan sebagai seperti pada teorema 6.6.1, ini tidak benar asalkan dipahami bahwa model yang mendasari adalah model reparameterized hanya mengembangkan yang dimaksud adalah kami . Khususnya ini sangat penting untuk mengerti bahwa istilah interaksi bukan merupakan parameter yang terkait hanya dengan kombinasi perlakuan ke ij. melainkan adalah ukuran gabungan yang berisi informasi awalnya terkait dengan sel ke ij ; kolom ke i, ; baris ke j, dan desain keseluruhan

dengan mendefinisikan seperti yang telah dilakukan, pembatasan tertentu telah diinduksi. khususnya ini dapat ditunjukan bahwa

untuk mendapatkan tes untuk interaksi, merupakan hal yang konstruktif untuk mempertimbangkan model yang relatif kecil secara rinci. itu akan mudah untuk melihat bagaimana untuk memperluas hasil dari masalah yang umum. untuk mencapai tujuan ini jika model dua faktor

Lanjutan Desain matriks untuk model ini adalah matriks 6n x 12 dari satu dan nol. (Anda akan diminta untuk menemukan matriks ini dalam latihan 58). Perkalian ini akan menunjukkn bahwa X’X adalah matriks 12x12 yang diberikan oleh :

Vektor X’y adalah dimana :

Persamaan normalnya diberikan oleh atau

Jika kita menempatkan kendala pada estimator parallel yang diinduksi kan pada parameter akan menghasilkan persamaan yang pertama atau Persamaan kedua kemudian disederhanakan menjadi atau Dengan cara yang sama, hasil persamaan ketiga

Dengan substitusi ke dalam persamaan keempat, dapat dilihat bahwa Singkatnya, estimator untuk

Contoh 6.6.4 Asumsikan bahwa setelah melakukan percobaan yang dijelaskan dalam Contoh 6.4.1, akhirnya diputuskan untuk mengulangi percobaan dengan menggunakan lima observasi untuk setiap kombinasi perlakuan. Dengan cara ini, perbedaan yang tidak terdeteksi pada percobaan sebelumnya mungkin dapat terdektesi. dan tes untuk interaksi dapat dilakukan, Data yang diperoleh D:\STIS\Tingkat II\semester 4\Pengantar Model Linier\Theorem 6Molin Hal 284-289.docx

Karena ini semua agak jauh dari nol, data menunjukkan adanya interaksi Karena ini semua agak jauh dari nol, data menunjukkan adanya interaksi. Hal ini juga dapat dilihat dengan mempertimbangkan cara sel. Interaksi atau tidak konsisten dalam perilaku jenis kapsul seluruh cairan digambarkan dalam Gambar 6.4.

Gambar 6.4

Untuk mendeteksi keberadaan interaksi analitis, perlu di uji dengan Prosedur yang digunakan untuk mengembangkan tes dengan interaksi sama seperti yang digunakan pada beberapa kesempatan lain. Jumlah kuadrat regresi untuk model penuh, ditemukan, sebuah model yang berkurang ditemukan dengan asumsi bahwa tidak ada interaksi, dan jumlah regresi kuadrat untuk model berkurang, ditemukan, perbedaan antara kedua jumlah kuadrat, kita digunakan untuk menguji

Tanpa Interaksi Sebagian besar pekerjaan yang diperlukan untuk mencapai hal ini telah dilakukan. Jumlah regresi kuadrat untuk model penuh Dimana : D:\STIS\Tingkat II\semester 4\Pengantar Model Linier\Theorem 6Molin Hal 284-289.docx

Dalam model reduced diasumsikan bahwa tidak ada interaksi Dalam model reduced diasumsikan bahwa tidak ada interaksi. Jumlah regresi kuadrat untuk model ini berasal dari subab 6.4 yaitu Dengan pengurangan diperoleh D:\STIS\Tingkat II\semester 4\Pengantar Model Linier\Theorem 6Molin Hal 284-289.docx

Derajat bebas yang terkait dengan jumlah kuadrat ab, a + b-1 dan ab a + b +1 = (a-1) (b-1), masing-masing. Rasio F digunakan untuk menguji Ho Tabel anovanya adalah D:\STIS\Tingkat II\semester 4\Pengantar Model Linier\Theorem 6Molin Hal 284-289.docx

Contoh 6.6.5 D:\STIS\Tingkat II\semester 4\Pengantar Model Linier\Theorem 6Molin Hal 284-289.docx

Jika interaksi terdeteksi dalam desain dua faktor, disarankan agar faktor dibandingkan baris demi baris atau kolom dengan kolom menggunakan prosedur klasifikasi satu arah. Untuk mengilustrasikan, kita analisis data contoh 6.6.4 Contoh 6.6.6 Kita lanjutkan penelitian dengan menguji untuk melihat apakah perbedaan dalam rata-rata waktu yang dibutuhkan untuk kedua jenis kapsul larut dalam asam lambung. Data sebagai sebagai berikut :

Anova untuk desain ada dalam Tabel 6. 2 Anova untuk desain ada dalam Tabel 6.2. Anova untuk data ini ditemukan dalam tabel 6.15. Berdasarkan distribusi F, . Karena nilai P ini besar, tidak dapat menyimpulkan bahwa perbedaan dalam rata-rata waktu yang dibutuhkan untuk kedua jenis kapsul larut dalam asam lambung. Analisis untuk jus duodenum yang tersisa sebagai latihan 60.

Jika tidak ada interaksi terdeteksi dalam desain dua faktor, maka tes dapat dilakukan untuk membandingkan tingkat faktor I dan faktor II yang secara keseluruhan daripada baris demi baris atau kolom dengan kolom. Tes semacam ini disebut tes untuk efek utama. Hipotesis nol yang diuji adalah   (Rata-rata, tidak ada perbedaan antar level pada factor I) (Rata-rata, tidak ada perbedaan antar level pada factor II)

Aturan ini hampir sama dengan yang disajikan dalam Bagian 6.4 dengan . Satu-satunya perbedaan yaitu cara mengerjakkan residual sum of square. Dalam model sebelumnya, diasumsikan bahwa tidak ada interaksi. Jika asumsi ini salah, setiap variasi karena interaksi diabaikan dan termasuk sebagai bagian residual sum of square. Di sini kita telah mengisolasi beberapa variasi karena interaksi namun dirasa itu diabaikan. Hal ini, namun, tetap terpisah dalam analisis sehingga sisa "jumlah kuadrat" benar-benar merupakan variasi respon acak atau dijelaskan. Para tabel ANOVA untuk pengujian untuk interaksi serta efek utama disajikan pada Tabel 6.16.

Contoh 6.6.7 Sebuah studi penguraian bungkus daun dilakukan. Dua puluh - empat bungkus daun disusun dan secara acak terbagi menjadi empat lingkungan yang berbeda selama tiga periode eksposur yang berbeda. Penelitian ini menghasilkan data ini dengan respon yang berat bungkus daunnya berkurang dalam gram (total sel di dalam tanda kurung).

Kita akan menguji hipotesis nol yang tidak memiliki interaksi pada level . Diketahui :

Berdasarkan jumlah tersebut, analisis penuh seperti yang ditunjukkan pada Tabel 6.17 Titik kritis untuk berdasarkan distribusi F6,12 adalah 3.00. Karena gagal tolak untuk H0 yang no interaction. Sekarang kita tahu uji untuk efek utama. H0 no difference antar level faktor I dapat ditolak (). bagaimanapun, no interaction terdeteksi anatar level faktor II (). Ini harus jelas bahwa presetting pada tingkat pada tes untuk interaksi membuat interpretasi data ini lebih mudah. Pada kenyataannya, hal ini tidak begitu jelas dipotong. P value untuk uji interaksi terletak antara 0,05 dan 0,10. Beberapa ahli statistik mungkin akan menginterpretasikan ini sebagai indikasi preseace interaksi dan menginterpretasikan data dengan dasar baris dengan baris.

Kesimpulan yang kita dapat dari bab 6 ini : Pertama, dalam desain dua faktor yang telah disajikan dalam bagian ini, diasumsikan bahwa ada n pengamatan per sel. Artinya, ukuran sel identik. Ini merupakan bagian penting dari desain. Jika hal ini tidak benar dari analisis ini cukup berbeda dari yang disajikan di sini. Kedua, dalam bab ini kita telah diperkenalkan hanya konsep-konsep dasar yang mendasari bidang model linier. Banyak jenis model linear digunakan dalam statistik diterapkan. Sum of square, mean square, dan rasio F digunakan untuk menganalisis model lain dapat diturunkan dengan menerapkan teknik yang dikembangkan dalam Bagian 6.1 untuk model linier umum. Analisis rinci dari commonly encountered models lainnya ditemukan di banyak teks book pada disain eksperimental.

Ketiga, semua desain yang dianggap pada bagian ini adalah model efek tetap. Hal ini diasumsikan bahwa tingkat faktor yang diteliti sengaja dipilih oleh peneliti karena mereka memiliki kepentingan tertentu . Model di mana tingkat yang dipilih secara acak dari satu set yang lebih besar dari tingkat yang mungkin dianggap secara singkat dalam Bab 7.