Ortogonal

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR

Ortogonal Himpunan vektor {v1, v2, ….., vk} dalam Rn disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika : Basis standar {e1, e2, ….., en} dalam Rn adalah himpunan ortogonal. vi . vj = 0 ketika i ≠ j untuk i, j = 1, 2,….., k

Contoh : Tunjukkan bahwa {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal dalam R3 jika : Jawab : Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal v1 . v2 = 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0 v2 . v3 = 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0 v1 . v2 = 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0 Kesimpulan : {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal

Teori 1. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan vektor bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor tersebut adalah bebas linier. Bukti : Jika c1, c2, …., ck adalah skalar sehingga : c1v1+ …+ ckvk=0 kemudian (c1v1+ …+ ckvk) . vi = 0 . vi = 0 Atau hal yang sama : c1(v1. vi)+ ….. +ci(vi. vi)+ ……+ ck(vk. vi) = 0 Karena {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan ortogonal, semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol kecuali (vi. vi), sehingga persamaan dapat diringkas menjadi : ci(vi. vi) = 0

Dengan hipotesa : vi ≠ 0 sehingga vi Dengan hipotesa : vi ≠ 0 sehingga vi. vi ≠ 0, oleh karena itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah ci. Hal ini juga berlaku untuk semua i = 1, ….. k, sehingga disimpulkan bahwa {v1, v2, ….., vk} adalah bebas linier. Basis Ortogonal Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari Rn adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal. Contoh soal : Cari basis ortogonal dari subruang W dari R3 yaitu :

Subruang W adalah bidang yang berada pada R3, dari persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri dari vektor dengan bentuk : Jadi vektor u = ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah satu vektor tersebut. dan v = adalah basis W, namun tidak

Anggap dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka u Anggap dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0. Dengan menyelesaikan SPL : x-y+2z = 0 x+y = 0 Didapatkan : x = -z dan y = z Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk : adalah vektor dalam W yang ortogonal

Jika diambil bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W , sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W=2. Teori 2. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah basis ortogonal dari subruang W dari Rn dan w merupakan vektor dalam W, maka skalar unik c1,…., ck dapat ditulis : w = c1v1+ …+ ckvk Menghasilkan : dengan mudah dapat dibuktikan untuk i = 1, ……, k

Contoh soal : Carilah koordinat dari B = {v1, v2, v3} dengan Jawab : yang menjadi basis ortogonal

Jadi : w = c1v1+ c2v2 + c3v3 = 1/6 v1 + 5/2 v2+ 2/3 v3 Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B adalah :

Ortonormal Definisi : himpunan vektor dalam Rn adalah himpunan ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari Rn adalah basis dari W dan merupakan himpunan ortonormal. Catatan : Jika S= {q1,….., qk} adalah himpunan vektor ortonormal, kemudian q1. q2 = 0 untuk i≠ j dan Kenyataannya bahwa setiap qi merupakan vektor satuan dengan kata lain : qi . qi = 1. Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika :

Tunjukkan bahwa S = {q1,q2} adalah himpunan ortonormal dalam R3 jika : Contoh soal : Tunjukkan bahwa S = {q1,q2} adalah himpunan ortonormal dalam R3 jika : Jawab : Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap vektor himpunan ortogonal tersebut. ortonormal

Contoh soal: Bangun basis ortonormal untuk R3 dari vektor-vektor : Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v1, v2, dan v3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi setiap vektor diperoleh : Jadi {q1, q2, q3} merupakan basis ortonormal untuk R3 ,

Teori 3. Jika {q1, q2 .….., qk} basis ortonormal dari subruang W dari Rn dan w adalah vektor dalam W, maka : w = (w. q1 )q1 + (w. q2 )q2 +………+ (w. qk ) qk Matrik ortogonal Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom berbentuk himpunan ortonormal disebut: matrik ortogonal. Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentuk himpunan ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan hanya jika Q-1 = QT

Contoh soal : Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah ortogonal dan carilah matrik inversnya ! Jawab : Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar dari R3 jelas merupakan ortonormal, sehingga A adalah ortogonal dan

Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut : Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan

Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal. Q-1 adalah ortogonal Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut ini memiliki arti yang sama : Q adalah ortogonal. Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen baris merupakan himpunan ortonormal. Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal. Q-1 adalah ortogonal det Q = Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka Jika Q1 dan Q2 adalah matrik ortogonal nxn, maka demikian juga untuk Q1Q2 meru

Komplemen ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari Rn Komplemen ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari Rn. Sebuah vektor v dalam Rn ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang ortogonal dengan W disebut komplemen ortogonal dari W ditulis sebagai: = {v dalam Rn: v.w = 0 untuk semua w dalam W} v W l = dan W = w l

Teori 9. Ambil W subruang dari Rn. Jika W = span (w1, ……, wk), maka v berada dalam jika dan hanya jika v. wi untuk semua i= 1, …….,k Teori 10. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal dari ruang kolom A adalah ruang null AT adalah subruang dari Rn. = {0}

Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang : baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari Rn kolom (A) dan null (AT): komplemen ortogonal dari Rm Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n null (A) null (AT) TA baris (A) kolom (A) Rn Rm

Contoh soal : Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari : dan buktikan bahwa : Jawab : Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :

Baris (A) = span (r1, r2, r3) dengan : r1 = {1 0 1 0 -1}, r2 = {0 1 2 0 3}, r3 = {0 0 0 1 4} Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0 diperoleh : baris (A) = baris (R)

Null (A) = span (u, v) dengan : Untuk menunjukkan menunjukkan setiap vektor r ortogonal dengan u dan v. Selanjutnya, dapat dilihat bahwa : r3 = r1 + 2r2 dan r5 = -r1 + 3r2 + 4r4 u = dan v = cukup dengan

Dengan demikian r3 dan r5 tidak memberikan kontribusi apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r1, r2 dan r4 adalah bebas linier dan merupakan vektor satuan. Jadi basis kolom A = span{a1, a2, a3} dengan : Perhitungan null(AT) dilakukan dengan reduksi baris :

Jika y didalam null(AT) dengan y1 = - y4, y2 = -6 y4 dan y3 = -3y4 , maka dapat diperoleh hasil : null(AT) = Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut ortogonal dengan a1, a2, a3 sehingga terbukti bahwa :

2. Ambil W adalah subruang R5 yang dibangun oleh : Tentukan basis dari Jawab : subruang W dibangun oleh w1,w2 dan w3 sama dengan ruang kolom dari :

Teori 10 menyatakan Sehingga dapat dihitung : y didalam y1= –3 y4 – 4 y5, y2= – y4 – 3 y5 dan y3= –2 y5 Sehingga diperoleh : Ada 2 vektor basis untuk jika dan hanya jika :

Proyeksi ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari Rn dan {u1, u2. … Proyeksi ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari Rn dan {u1, u2 .….., uk} merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v dalam Rn, maka proyeksi ortogonal v pada W didefini-sikan sebagai : Komponen v ortogonal ke W adalah vektor : v u proyu(v) perpu(v) v u2 p2 p p1 W u1

Contoh soal : Jika W bidang dalam R3 dengan persamaan x-y+2z=0 dan komponen v yang ortogonal ke W ! Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk : Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan

Diperoleh vektor basis W : u1= Proyeksi ortogonal v pada W adalah : dan u2 = v perpw(v) proyw(v) W

Dan komponen v ortogonal pada W adalah : perpw(v) = v – projw(v)= Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa projw(v) berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan bidang. Demikian pula halnya dengan perpw(v) adalah ortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari vektor normal terhadap W.

Dekomposisi ortogonal Teori 11 Dekomposisi ortogonal Teori 11. Jika W merupakan subruang dari Rn dan v adalah vektor dalam Rn , maka ada vektor-vektor unik w dalam W dan Teori 12. Jika W merupakan subruang dari Rn, maka : dim W + dim dalam dapat dituliskan : v = w + = n

Faktorisasi QR Teori 13. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagai QR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang invertible. Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a1,…,an adalah kolom bebas linier dari matrik A dan q1,…,qn adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan menggunakan metode Gramm-Schmidt. Untuk setiap i = 1,…..,n : Wi = span (a1,…,ai ) = span (q1,…,qi ) Sehingga jika terdapat skalar r1i,r2i…,rii dapat dituliskan : ai = r1iq1 + r2iq2 + …..+riiqi untuk i= 1, ……, n

Diperoleh hasil : a1 = r11q1 a2 = r12q1 + r22q2 an = r1nq1 + r2nq2 + … Diperoleh hasil : a1 = r11q1 a2 = r12q1 + r22q2 an = r1nq1 + r2nq2 + …..+rnnqn Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut :

Cari faktorisasi QR dari : Jawab : Contoh soal : Cari faktorisasi QR dari : Jawab : Subruang W dibangun oleh x1,x2 dan x3 sama dengan ruang kolom dari matrik A. {x1,x2, x3} adalah himpuan bebas linier, sehingga merupakan basis dari W. Ambil v1 = x1, selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt dihitung komponen x2 yang ortogonal pada W1= span (v1)

Untuk menghilangkan pecahan pada v2 dilakukan perkali-an skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian v2 dirubah menjadi : Selanjutnya dihitung komponen x3 ortogonal pada W2 = span (x1 ,x2) = span (v1 ,v2)= span basis ortogonal menggunakan

Kembali dilakukan penskalaan ulang : Akhirnya diperoleh basis ortogonal Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan normalisasi setiap vektor untuk W

A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga QTQ = I. Oleh karena itu : QTA=QTQR = IR=R Diperoleh hasil akhir :

Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrik diagonal D sehingga diperoleh : QTAQ = D Teori 14. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal , maka A adalah matrik simetri Bukti : Karena Q-1 = QT diperoleh QTQ = I = QQT sehingga : QDQT = QQTAQQT = IAI = A Tetapi juga : AT= (QDQT)T = (QT)T DTQT = QDQT = A Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri .

Latihan soal : V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + 3a3b3 Tentukan proyeksi ortogonal a= (1,2,1), b= (1,1,1) V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + a3b3 W subruang linier yang dibangun oleh {(-1,1,1), (1,1,1)} dan v = (1,2,3) Tentukan proyeksi ortogonal v pada W