Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

CONTOH KASUS

Seorang insinyur Teknik Sipil merancang sebuah rangka statis yang berbentuk segitiga. Ujung segitiga yang bersudut 30° bertumpu pada sebuah penyangga statis, sedangkan ujung segitiga yang lain bertumpu pada penyangga beroda. Rangka mendapat gaya eksternal sebesar 1000 pon. Gaya ini disebar ke seluruh bagian rangka. Gaya F menyatakan tegangan atau kompresi pada anggota rangka. Reaksi eksternal (H2 , V2 , dan V3) adalah gaya yang mencirikan bagaimana rangka berinteraksi dengan permukaan pendukung. Engsel pada simpul 2 dapat menjangkitkan gaya mendatar dan tegak pada permukaan, sedangkan gelinding pada simpul 3 hanya menjangkitkan gaya tegak.

Struktur jenis ini dapat diuraikan sebagai sistem persamaan aljabar lanjar simultan. Diagram gaya-benda-bebas diperlihatkan untuk tiap simpul dalam gambar berikut

Menurut hukum Newton, resultan gaya dalam arah mendatar maupun tegak harus nol pada tiap simpul, karena sistem dalam keadaan diam (statis). Oleh karena itu, untuk simpul 1,  

å FH = 0 = -F1 cos 30° + F3 cos 60° + F1, h = -0. 866F1 + 0 å FH = 0 = -F1 cos 30° + F3 cos 60° + F1, h = -0.866F1 + 0.5 F3 å FV = 0 = -F1 sin 30° - F3 sin 60° + F1, v = -0.5F1 – 0.866 F3 + 1000 å FH = 0 = F2 + F1 cos 30° + F2, h + H2 = F2 + 0.866F1 + 0 + H2 å FV = 0 = F1 sin 30° - F2, v + V2 = 0.5 F1 + V2 å FH = 0 = -F2 - F3 cos 60° + F3, h = -F2 – 0.5 F3 å FV = 0 = F3 sin 60° + F3, v + V3 = 0.866 F3 + V3

Contoh 2 : Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?

Contoh 2 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.

Contoh 3 : Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai berikut : Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus. 1 2 3 4

Contoh 3 : 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu : Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1  3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.

Contoh 3 : Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus. 1 2 3 4

TEOREMA

Persamaan Linier Simultan Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Persamaan Linier Simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. AX = B Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. Vektor x = vektor variabel vektor B = vektor konstanta.

Augmented Matrix matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: Augmented (A) = [A B]

Theorema Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas. Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn  0. Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.

Metode Analitik metode grafis Substitusi Eliminasi Determinan

Metode determinan

Solusi Numerik untuk persamaan- persamaan linier: a. Metode Langsung 1 Solusi Numerik untuk persamaan- persamaan linier: a. Metode Langsung 1. Eliminasi Gauss 2. Eliminasi Gauss-Jordan 3. Invers Matriks 4. Dekomposisi LU 5. Determinan

b. Metode Tak Langsung (Iterasi) 1. Metode Jacobi 2. Metode Gauss-Seidel 3. Metode Newton-Raphson 4. Successive over Relaxation Metode tak langsung biasanya memerlukan waktu yang sangat lama.

ELIMINASI GAUSS

Metode Eliminasi Gauss

ELIMINASI GAUSS NAIF Tanpa mempedulikan pivot bernilai 0 atau tidak.

Algoritma Eliminasi Gauss  Menyatakan persamaan linier sebagai n buah persamaan simultan  Tentukan faktor pengali (1) (2) (3)

m2 a11x1 + m2a12x2 + m2a13x3 =m2b1 Persamaan (1) dikali m2: Hasil perkalian diperkurangkan dari persamaan (2) (4)

a’23 = a23 – m2a13 b’2 = b2 – m2b1 maka: a’22 = a22 – m2a12 a’22x2 + a’23x3 = b’2 ……………(5) Persamaan (2) disubtitusi dgn persamaan (5).

Tentukan faktor pengali untuk persamaan ketiga: Persamaan pertama dikali dengan m3, persamaan ketiga dikurangi persamaan pertama. a’32x2 + a’33x3 = b’3…………………………(6) dimana a’32 = a32 – m3a12 a’33 = a33 – m3a13 b’3 = b3 – m3b1

Persamaan (3) disubtitusi dgn persamaan (6): a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……….(1) a’22x2 + a’23x3 = b’2 ………(5) a’32x2 + a’33x3 = b’3……….(6) Faktor pengali m’3 = a’32/a’22 a’32 – m’3a’22 = 0 a’’33 = a’33 – m’3a’23 b’’3 = b’3 – m’3b’2

a’33x3 = b’3 ………….. (7) Jika persamaan (7) disubtitusi ke persamaan (6), a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……..(1) a’22x2 + a’23x3 = b’2……..(5) a’’33x3 = b’3 …….(7)

Contoh 1: Diberikan sistim persamaan linier: 2x1 + x2 + 3x3 = 11………….(1) 4x1 + 3x2 + 10x3 = 28………….(2) 2x1 + 4x2 + 17x3 = 31………….(3)

Contoh 2: w + x + y + z = 10 2w + 3x + y + 5z = 31 Matriks augmented

II – 2(I) III + 1(I) IV -3(I)

III-2(II) IV+2(II) x - ½

IV – 2(III)

x4 = 4 x3 + x4 = 7; x3 + 4 = 7; x3 = 3 x2 – x3 + 3x4 = 11; x2 – 3 + 12 = 11; x2 = 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 10; x1 + 2 +3 + 4 = 10; x1 = 1

ELIMINASI GAUSS PIVOTING

latihan

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

Persamaan Linier Simultan Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi : Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linier, yaitu: (1). Metode Substitusi, (2). Metode Eliminasi, dan (3). Metode Determinan.

Gauss jordan

Metode Eliminasi Gauss Jordan Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:

Metoda Eliminasi Gauss-Jordan

Contoh 1 : Lakukan operasi baris elementer Selesaikan persamaan linier simultan: Augmented matrik dari persamaan linier simultan Lakukan operasi baris elementer Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1

Contoh 2 -1

Contoh 2-2

Contoh 3 -1 : B2-2B1 B3-3B1 B3-3B1 B2-2B1

Contoh 3-2 ½ B2 B3-3B2 ½ B2 B3-3B2

Contoh 3-3 -2 B3 B1- B2 -2 B3 B1- B2

Contoh 3-4 B2 + 7/2 B3 B1 - 11/2 B3 B2 + 7/2 B3 B1 - 11/2 B3 Solusi x = 1, y=2 dan z=3

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan

INVERS MATRIKS

Invers Matriks

Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan

Metode Iterasi Gauss-Seidel Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:

Metode Iterasi Gauss-Seidel Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. Untuk mengecek kekonvergenan

Catatan Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii). Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

Contoh Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0 Susun persamaan menjadi: (5,1) (4,3/2) (7/2,7/4)

Contoh (13/4 , 15/8) (25/8 , 31/16) (49/16 , 63/32 ) (97/32 , 127/64)

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel