BUNGA MAJEMUK

A. Pengertian Bunga Majemuk Jawab : Bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke nilai pokok pada akhir setiap periode

Rumus S = P (1+i)n i = jm/m Notasi : S = nilai akhir P = nilai pokok awal n = jumlah periode perhitungan bunga m = frekuensi perhitungan bunga jm = tingkat bunga nominal dengan periode perhitungan m kali per tahun i = tingkat bunga per periode perhitungan bunga

Faktor (1+i)n disebut faktor majemuk (Compound) Proses perhitungan S dari P disebut mencari nilai akan datang (future value) Proses perhitungan P dari S disebut mencari nilai sekarang (present value)

Contoh Aplikasi Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% p.a. apabila bunga dihitung semesteran ?

Jawab : Periode Nilai Pokok Awal Bunga Majemuk Nilai akhir 1 Rp1.000.000 Rp1.000.000 x 0,05 = Rp50.000 Rp1.050.000 2 Rp1.050.000 x 0,05 = Rp52.500 Rp1.102.500 3 Rp1.102.500 x 0.05 = Rp55.125 Rp1.157.625 4 Rp1.157.625 x 0.05 = Rp57.881,25 Rp1.215.506,25

Latihan Soal : 1. Berapa nilai S dari P = Rp1.000.000 dengan tingkat bunga j2 = 18% selama 5 tahun? 2. Pada ulang tahun yang ke-20, Trinita memperoleh hadiah uang sebesar Rp10.000.000 sebagai hasil dari tabungan ayahnya semenjak Trinita dilahirkan. Berapa besarnya uang yang ditabungkan ayahnya pada saat ia lahir jika tingkat bunga tabungan tidak berubah yaitu j2=6%? 3. Tuan Tino menyimpan uangnya sebesar Rp5.000.000 dalam sebuah bank yang memberikan bunga sebesar 18% pertahun dimana bunga dihitung bulanan. Berapa besarnya bunga yang dihasilkan selama tahun pertama?

Jawaban Soal 1 Dik : P = Rp1.000.000 i = 18% / 2 = 9% = 0.09 n = 5 x 2 = 10 periode S = P (1+i)n S = Rp1.000.000 (1+0,09)10 S = Rp1.000.000 (2,367363675) S = Rp2.367.363,675

Cont… Soal 2 S = Rp10.000.000 i = 6% / 2 = 3% = 0,03 n = 20 x 2 = 40 periode S = P(1+i)n 10.000.000 = P(1+0,03)40 P = Rp10.000.000/(1+0.03)40 P = Rp3.065.568,4

Cont… Soal 3 P = Rp5.000.000 i = 18% / 12 = 1,5% = 0,015 n = 12 periode S = P(1+i)n S = Rp5.000.000 (1+0,015)12 S = 5.978.090,875 I = S – P I = Rp5.978.090,875 – Rp5.000.000 I = Rp 978.090,875

B. Bunga Efektif dan Bunga Nominal Tingkat bunga nominal adalah tingkat bunga yang dikenakan pada kreditur atau yang dijanjikan oleh debitur. Tingkat bunga efektif adalah tingkat bunga yang meningkat dengan semakin meningkatnya frekuensi penggandaan bunga dalam suatu periode.

Rumus j1 = (1+i)m – 1 atau, 1+ j1 = (1+i)m Dimana : j1 merupakan tingkat bunga dengan periode perhitungan bunga sekali setahun (tahunan)

Contoh Aplikasi Hitunglah j4 yang ekuivalen dengan : a) j12 = 12% b) j2 = 10%

Jawab : a) (1+i)4 = (1+(0,12/12))12 i = (1+0.01)3 – 1 i = 1,030301 – 1 Maka j4 = 0,030301 x 4 = 0,121204 = 12,12%

Cont… b) (1+i)4 = (1+(0,1 / 2))2 i = (1+0.05)1/2 – 1 i = 1,024695 – 1 Maka j4 = 0,024695 x 4 = 0,09878 = 9,88%

Latihan Soal : Hitunglah tingkat bunga j1 yang ekuivalen dengan : b) j365 = 24%

Jawab : a) (1+i)1 = (1+(0,13 / 26))26 i = 1,138459553 – 1 Maka J1 = 0,138459553 x 1 = 0,138459553 = 13,85%

Cont… b) (1+i)1 = (1+(0,24 / 365))365 i = 1,271148893 – 1 Maka J1 = 0,271148893 x 1 = 0,271148893 = 27,11%

C. Menghitung Nilai Sekarang Proses mencari nilai sekarang (present value) disebut Pendiskontoan (discounting)

Rumus Dari Persamaan : S = P (1+i)n Maka, untuk mencari P ??? P = S / (1+i)n = S (1+i)-n

Contoh soal Pada tanggal 1 Januari 2009, sebidang tanah ditawarkan pada harga Rp180.000.000 secara tunai atau dengan membayar Rp100.000.000 hari ini ditambah Rp50.000.000 satu tahun lagi dan Rp50.000.000 dua tahun lagi. Jika diketahui j1=16% alternatif pembayaran mana yang paling menguntungkan?

Alternatif I : Rp180.000.000 sekarang Alternatif II: Dihitung nilai sekaranngnya (present value) = Rp100.000.000 + Rp50.000.000(1,16)-1 +Rp50.000.000(1,16)-2 = Rp100.000.000 +Rp43.103.448+Rp37.158.145 = Rp180.261.593

D. Menghitung Tingkat Bunga dan Jumlah Periode Dengan menurunkan persamaan untuk mencari Tingkat Bunga ( i ) : Bagaimana mencari i ??? P (1+i)n = S (1+i)n = S / P (1+i) = (S / P)1/n i = (S / P)1/n – 1

Dengan menurunkan persamaan untuk mencari Jumlah Periode ( n ) : Bagaimana mencari n ??? P (1+i)n = S (1+i)n = S / P log (1+i)n = log S / P n log (1+i) = log S / P n = log S / P log (1+i)

Soal Latihan Frans sekarang menginvestasikan uang sebanyak Rp50.000.000 dengan tingkat bunga 24% per tahun yang dihitung bulanan a) Berapa besar uang Frans bila ia hendak mengambilnya pada : - Akhir tahun pertama - Akhir tahun kedua - Akhir tahun ketiga b) Apabila Frans ingin uangnya menjadi Rp150.000.000 berapa lama ia harus menunggu ? c) Apabila uang tersebut ia depositokan dengan bunga majemuk yang dihitung bulanan selama 3 tahun, ia akan memperoleh Rp130.000.000. Berapakah tingkat bunga yang diberikan deposito itu ?

Jawab : Dik : j12 = 24 i = 2% P = Rp50.000.000 a) Jumlah uang Frans jika diambil pada : Akhir tahun pertama (n=12) S = P (1+i)n S = Rp.50.000.000 (1+2%) S = Rp 63.412.089,73

b) Akhir tahun kedua (n=24) S = P (1+i)n S = Rp50.000.000 (1+2%)24 S = Rp80.421.862,47 c) Akhir tahun ketiga (n=36) S = Rp 50.000.000 (1+2%)36 S = Rp101.994.367,2

Cont… B. Bila Frans ingin uangnya menjadi Rp150.000.000, maka ia harus menunggu selama : n = log S/P log (1+i) n = log Rp150.000.000 / Rp 50.000.000 log (1+2%) n = 55,48 bulan

Cont… C. Tingkat bunga deposito i = (S / P)1/n – 1 i = (Rp130.000.000 / 50.000.000)1/36-1 i = 2,69 % atau 32,28% per tahun

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 Aturan 72 Hasil kali return tahunan dan jumlah tahun untuk membuat nilai awal menjadi dua kali lipat adalah selalu 72. P menjadi 2P jika dan hanya jika i * n= 72 P menjadi 2P i * n= 72 n = atau i = Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010 Jika diketahui tingkat bunga bersih deposito adalah 8%, maka diperlukan waktu 9 tahun untuk membuat nilai awal P menjadi 2P. Jika investor ingin portofolionya berlipat dua dalam 6 tahun, return tahunan yang diperolehnya adalah 12%. Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

E. Continuous Compounding Perhitungan bunga akan semakin besar apabila periode perhitungan lebih pendek dari setahun, sebulan, kemudian, mingguan atau harian. Bagaimana jika periode perhitungan menjadi lebih pendek lagi seperti per detik? Misalkan suatu pertumbuhan portofolio saham, pertumbuhan penduduk, penyebaran penyakit HIV/AIDS, atau pertumbuhan pemakai narkoba

Cont… Sebenarnya kita masih dapat menggunakan persamaan bunga majemuk yaitu S = P (1+i)n, akan tetapi dengan n (periode waktu) yang mendekati tidak terhingga (∞ ), maka persamaan diatas menjadi : Rumus : S = Pert. Untuk menurunkan r yang ekuivalen dengan j1 ( i ) tertentu, kita dapat menggunakan persamaan r = ln (1+ j1) atau r = ln (1+i)

Latihan Soal 1 Pada tahun 1990, penderita penyakit HIV / AIDS adalah 220.000 orang. Jika tingkat pertumbuhan penderita per tahun adalah 30%, berapa jumlah penderita pada tahun 2020 ? Gunakan continuous compounding. 2 Sebuah deposito sebesar Rp10.000.000 dapat memberikan pendapatan bunga sebesar Rp5.600.000 selema 36 bulan. Hitunglah tingkat bunga nominal tahunannya berdasarkan continuous compounding.

Jawab : Soal 1 r = 30% t = 30 tahun P1990 = 220.000 P2020 = P1990 . e(0,3)(30) = 220000 . e(0,3)(30) = 1.782.678.464 orang

S = Pert. Soal 2 : S = Rp15.600.000 P = Rp10.000.000 t = 3 Rp 15.600.000 = Rp 10.000.000 ert 1,56 = ert ln 1,56 = ln ert 0,444685821 = 3r r = 0,148228607 = 14,82%

Soal Test 1) Anda ditawarkan 1 lot kepemilikan saham PT. ANDIKA dengan pilihan sebagai berikut : 1. Membayar secara tunai Rp18.000.000 2. Membayar secara tunai Rp10.000.000 sebagai tanda jadi dan kemudian membayar 5 juta masing-masing diakhir tahun 1 dan akhir tahun 2, dengan bunga 16% dihitung bulanan. Manakah pilihan yang paling menguntungkan untuk anda mengambil keputusan saat ini? Mengapa?

2). Pada awal tahun 2003, Xenia mendapatkan hadiah undian sebesar Rp25 2) Pada awal tahun 2003, Xenia mendapatkan hadiah undian sebesar Rp25.000.000 dari sebuah bank. Uang itu kemudian diinvestasikan dalam obligasi yang memberikan bunga 12% p.a. dihitung bulanan. Xenia mengharapkan investasinya menjadi Rp100.000.000 pada akhir tahun 2010. Untuk mencapai jumlah itu ia bersedia untuk menambah investasinya pada awal tahun 2005 sebesar Rp5.000.000 dan sekali lagi pada awal tahun 2007. Berapa tambahan investasi yang harus ia lakukan pada awal tahun 2007 untuk memenuhi harapannya?