BAB I VEKTOR DAN MATRIKS

Kompetensi Vektor dan Matriks Mahasiswa mampu: Memberikan contoh macam-macam vektor dan Matriks Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan perkalian vektor ataupun matriks @copyright by Naniek - 2007

Pengantar Untuk mengawali belajar Aljabar Linear dan Matriks perlu diingat kembali pengertian dari vektor serta matriks, macam-macam vektor serta matriks kemudian melakukan operasi aljabar atas vektor dan matriks. Vektor dan matriks melandasi dalam belajar Aljabar, karena permasalahan-permasalah yang ada dibawa dulu dalam bentuk vektor atau matriks, kemudian diselesaikan secara aljabar, misalnya dipakai untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear, Transformasi Linear. @copyright by Naniek - 2007

PENDAHULUAN VEKTOR MATRIKS

VEKTOR Tidak secara lengkap terdefinisi sampai besar dan arahnya ditentukan Contoh : pergerakan angin  menunjukkan laju dan arah Laju angin dan arah angin membentuk besaran vektor yang disebut : KECEPATAN Vektor dapat disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah @copyright by Naniek - 2007

VEKTOR B A Ekor panah disebut ttk pangkal Arah panah menentukan arah vektor Panjang panah menentukan Ujung panah disebut ttk ujung Maka vektor v = V = AB B A @copyright by Naniek - 2007

w v z VEKTOR EKUIVALEN Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama v = w = z w v z @copyright by Naniek - 2007

w v v w w v OPERASI VEKTOR VEKTOR NOL PENJUMLAHAN VEKTOR Vektor yang panjangnya nol Dinyatakan dengan O PENJUMLAHAN VEKTOR w v v w + w v @copyright by Naniek - 2007

VEKTOR NEGATIF Adalah vektor yang besarnya sama tetapi arahnya terbalik/berlawanan v - v @copyright by Naniek - 2007

- w v w v w v PENGURANGAN VEKTOR Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai : v – w = v + (-w) - w v w - v w v @copyright by Naniek - 2007

PERKALIAN VEKTOR Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya (k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0 v 2v @copyright by Naniek - 2007

MACAM-MACAM VEKTOR Vektor adalah larik berdimensi satu Vektor a dengan cacah n elemen ditulis : biasa disebut vektor kolom atau vektor saja dengan notasi ditulis: a = (ai) @copyright by Naniek - 2007

MACAM-MACAM VEKTOR VEKTOR NOL VEKTOR BASIS adalah vektor dengan semua elemennya bernilai nol VEKTOR BASIS adalah vektor dengan anggota ke I bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol @copyright by Naniek - 2007

SIFAT OPERASI VEKTOR Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan k serta l adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku : u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) u + 0 = 0 + u = u U + (-u) = 0 k (lu) = (kl) u K (u+v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu 1.u = u @copyright by Naniek - 2007

NORMA SUATU VEKTOR Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai Norma u dan dinyatakan dengan ||u|| Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di dlm ruang berdimensi 3 maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah norma vektor karena @copyright by Naniek - 2007

HASIL KALI TITIK Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean u.v didefinisikan sebagai : @copyright by Naniek - 2007

MENCARI SUDUT ANTAR VEKTOR Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka Θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0 Θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 Θ =π/2 jika dan hanya jika u.v = 0 @copyright by Naniek - 2007

Kompetensi Macam-macam Matriks Operasi Matriks

Kompetensi Mahasiswa mampu: Mendefinisikan matriks Memberikan contoh macam-macam matriks Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan perkalian matriks. @copyright by Naniek - 2007

Pengantar Mengawali belajar aljabar linear dan matriks perlu diingatkan kembali pengertian matriks, macam-macam matriks, serta operasi aljabar atas matriks. Hal ini karena persoalan nantinya dibawa kedalam bentuk matriks, kemudian bagaimana menyelesaikannya. @copyright by Naniek - 2007

MATRIKS Adalah larik berdimensi dua (karena mempunyai baris dan kolom) Susunan elemen-elemen yg disusun menurut baris & kolom serta merupakan satu kesatuan. Baris=m Kolom=n @copyright by Naniek - 2007

MACAM-MACAM MATRIKS Matriks Nol O=(0) Matriks Bujur Sangkar Adalah matriks dengan semua elemennya bernilai nol. O=(0) Matriks Bujur Sangkar Adalah suatu matriks dimana cacah baris dan cacah kolomnya sama A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n j = 1, 2, 3, . . . n @copyright by Naniek - 2007

MACAM-MACAM MATRIKS Matriks Persegi Panjang Matriks Diagonal Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom tidak sama. A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n j = 1, 2, . . m Matriks Diagonal Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i ≠ j aij = real untuk i = j @copyright by Naniek - 2007

MACAM-MACAM MATRIKS Matriks Satuan (identitas) Adalah matriks bujursangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i ≠ j Matriks Segitiga Atas Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real A = ( aij ), dengan aij = 0 untuk i > j aij =  untuk i ≤ j,  ε Real @copyright by Naniek - 2007

MACAM-MACAM MATRIKS Matriks Transpose Matriks Simetris Adalah matriks dimana susunan elemen-elemen berkebalikan antara posisi baris dan kolom A=(aij); AT =(aji) Matriks Simetris Adalah matriks dimana susunan elemen-elemen antara matrik dengan transpose nya sama A=AT; maka A adalah matriks simetris @copyright by Naniek - 2007

OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKS Operasi Perkalian Skalar Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan Operasi Perkalian @copyright by Naniek - 2007

PERKALIAN DENGAN SKALAR = @copyright by Naniek - 2007

PENJUMLAHAN MATRIKS 2 2 4 1 A = B = A + B 3 6 3 6 + = 6 3 + = 12 6 @copyright by Naniek - 2007

PENGURANGAN MATRIKS 2 2 4 1 A = B = A - B 3 6 3 6 - = -1 -2 - = @copyright by Naniek - 2007

PERKALIAN MATRIKS A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p Maka : A x B = (aij) x (bjk) @copyright by Naniek - 2007

PERKALIAN MATRIKS 1 1 1 -4 -4 -4 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 B = A = 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 B = A = 4 4 4 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 1 1 1 2 2 2 2 x + x + x = 9 x + x + x = 16 x + x + x = 3 A x B = x + x + x = 13 x + x + x = 8 x + x + x = 14 @copyright by Naniek - 2007

Program MATLAB (1) >> a=[ 2 4 3 6; -12 9 -32 50; 1 4 8 12; 10 3 9 -12] % membentuk matriks a = 2 4 3 6 -12 9 -32 50 1 4 8 12 10 3 9 -12 >> b=diag(a) % Membentuk matriks diagonal dari matriks a b = 2 9 8 -12 @copyright by Naniek - 2007

Program MATLAB (2) >> I=eye(4) % Membentuk matriks satuan berukuran 4 I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 >> c=triu(a) % Membentuk matriks segitiga atas dari a c = 2 4 3 6 0 9 -32 50 0 0 8 12 0 0 0 -12 @copyright by Naniek - 2007

Program MATLAB (3) >> d=tril(a) % Membentuk matriks segitiga bawah dari matriks a d = 2 0 0 0 -12 9 0 0 1 4 8 0 10 3 9 -12 >> e=a' % Membentuk transpose matriks e = 2 -12 1 10 4 9 4 3 3 -32 8 9 6 50 12 -12 @copyright by Naniek - 2007

Program MATLAB (4) >> f=a+e % Mencari jumlahan matriks f = 4 -8 4 16 -8 18 -28 53 4 -28 16 21 16 53 21 -24 @copyright by Naniek - 2007

Program MATLAB (5) >> g=a*f % Mencari perkalian matriks g = 84 290 70 163 552 3804 238 -1587 196 476 272 108 -140 -914 -152 796 >> j=inv(a) % Mencari invers matriks j = -0.8878 0.1113 0.3557 0.3756 1.2050 -0.0991 -0.4995 -0.3100 0.0783 -0.0312 0.0344 -0.0566 -0.3799 0.0446 0.1973 0.1097 @copyright by Naniek - 2007

Rangkuman Dua buah matriks dapat di jumlahkan atau dikurangkan jika matriks tersebut mempunyai ukuran sama. Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika jumlah kolom matriks A = dengan jumlah baris matriks B Jumlahan matriks berlaku hukum komutatif Perkalian dua buah matriks belum tentu hukum komutatif berlaku. Operasi pembagian dalam matriks tidak ada definisi @copyright by Naniek - 2007

Soal-soal (1) 1. Tulislah contoh matriks persegi panjang berukuran 5 x 3 2. Jika diketahui matriks bujur sangkar berukuran 5, berilah contoh matriks sbb: Matriks bujur sangkar Matriks diagonal Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah 3. Berilah dua buah contoh matriks simetris @copyright by Naniek - 2007

Soal-soal (2) 4. Jika diketahui A = ; B = Hitunglah: A + BT; BT – A; AB; BA. @copyright by Naniek - 2007