Sistem Persamaan Non-Linear 2 Analisa Numerik Sistem Persamaan Non-Linear 2
Secant Algoritma 3.4 Secant f(x), x-1 = a, x0 = b for n = 0, 1, 2, ... until satisfied do xn+1 = [f(xn)xn-1 – f(xn-1)xn] / [f(xn) – f(xn-1)] end for Perhatikan f(xn) – f(xn-1) dpt. 0 round off error Ubah penulisan xn+1 = [f(xn)xn-1 – f(xn-1)xn] / [f(xn) – f(xn-1)] menjadi Metoda Newton, cukup 1 ttk. x0
Iterasi Titik Tetap Iterasi titik tetap (fixed-point iteration) Cari Cara : f(x) = 0 x = g(x) Pembentukan x = g(x) Cari interval I = [a, b] di mana utk. setiap x ∈ I, g(x) terdefinisi dan g(x) ∈ I. Cari g(x) yg. kontinu pada I = [a, b]. g(x) harus differensiabel pada I, dan ada K < 1 yg. memenuhi |g’(x)| ≤ K utk. semua x ∈ I.
Contoh
Contoh Contoh : f(x) = x – 2 sin x = 0 x = 2 sin x Jd. g(x) = 2 sin x. Ada akar antara /3 dan 2/3 Jk. /3 ≤ x ≤ 2/3, mk. √3 ≤ g(x) ≤ 2 Jk. /3 ≤ x ≤ √3 dan 2 ≤ b ≤ 2/3, mk. syarat 1 dan 2 dipenuhi. g’(x) = 2 cos x, turun dari 1 ke –1 pada saat naik dari /3 ke 2/3. Jd. syarat 3 dipenuhi. Jd. iterasi konvergen pada I = [/3, 2/3] jk. x0 ∈ (/3, 2/3)
Newton dimana adalah vektor berukuran N (∈ RN). Algoritma 5.3 Diberikan taksiran harga For m = 0, 1, 2, ... until satisfied do end do
Newton Perhatikan SPL Algoritma 5.31 Diberikan , taksiran awal For m = 0, 1, 2, ... until satisfied do Dekomposisi Cari end do Contoh :
Kelemahan Metoda Newton Taksiran awal dapat buruk. Mendapatkan ‘yang benar’. Metoda Damped Newton : Tolak jk. residu (‘kesalahan’) naik ( ) Cari dimana residunya lebih kecil dari
Damped Newton Algoritma Diberikan , taksiran awal For M = 0, 1, 2, ... until satisfied do end do Dlm. implementasi jk. i tdk. ada then error exit di mana jmax diberikan oleh user, misal jmax = * *