4. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER

4.3 Sistem Persamaan Non-Linier Metode penyelesian sistem persamaan non-linier terdiri dari metode iterasi Titik Tetap dan metode Newton-Raphson. Bentuk umum sistem persamaan non-linier adalah sebagai berikut. (4.23) Solusi sistem persamaan menghasilkan nilai x1, x2, …, xn yang memenuhi seluruh persamaan.

Metode Iterasi Titik Tetap Prosedur iterasi titik tetap untuk sistem persamaan linier yang terdiri dari, misalnya, 3 persamaan adalah Metode iterasi titik tetap seperti pada persamaan (4.24) disebut metode Jacobi. Untuk meningkatkan kecepatan konvergensi, maka nilai hampiran variabel yang didapat langsung digunakan untuk mentukan nilai hampiran variabel selanjutnya. (4.24)

Sehingga persamaan (4.24) menjadi (4.25) Metode iterasi titik tetap seperti pada persamaan (4.24) disebut metode Seidel. Syarat konvergensi sistem persaman non-linier 3 variabel adalah

Conton 4.9 Selesaikan sistem persamaan non-linier berikut dengan metode iterasi Seidel. f1(x, y ) = x2 – xy – 10 = 0 f2(x, y ) = y + 3xy2 – 57 = 0 Gunakan s = 0,000005 dan tebakan awal x0 = 1dan y0 = 4 Penyelesaian Prosedur iterasi titik tetap

r xr yr |rhx| |rhy| 1 4 2.25 -51 0.55555556 1.0784314 2 -0.09681 812.4375 24.2405063 1.0627741 3 0.012297 -24293.28 8.87288929 1.0334429 -0.00041 728844.389 30.8741472 1.0333312 5 1.37E-05 -21865274 31.0014395 1.0333334 6 -4.6E-07 655958286 30.9999208 1.0333333 7 1.52E-08 -1.968E+10 31.0000026 Iterasi divergen

Prosedur iterasi titik tetap lainnya

r xr yr |rhx| |rhy| 1 4 - 2.44949 2.68558866 0.59175171 0.4894314 2 1.849778 3.12850694 0.32420752 0.141575 3 2.052549 2.95782257 0.09878989 0.0577061 ⋮ 11 2.00001 2.99999204 1.9139E-05 1.042E-05 12 1.999997 3.00000272 6.5424E-06 3.561E-06 13 2.000001 2.99999907 2.2364E-06 1.217E-06 Iterasi konvergen

Latihan Selesaikan sistem persamaan non-linier berikut dengan metode iterasi Seidel. f1(x, y ) = x + x2y – 3 = 0 f2(x, y ) = y2 + xy – 5 = 0 Gunakan s = 0,000005 dan tebakan awal x0 = 2dan y0 = 1

b) Metode Newton Raphson Misal sistem persamaan non-linier terdiri dari dua pers. Prosedur iterasi Newton-Raphson menggunakan persamaan, (4.26) (4.27)

Contoh 4.10 Selesaikan sistem persamaan non-linier berikut dengan metode iterasi Newton-Raphson. f1(x, y ) = u = x2 + xy – 10 = 0 f2(x, y ) = v = y + 3xy2 – 57 = 0 Gunakan s = 0,000005 dan tebakan awal x0 = 1dan y0 = 4 Penyelesaian u0 = x02 + x0y0 – 10 = 12 + (1)(4) – 10 = –5 v0 = y0 + 3x0y02 – 57 = 4 + (3)(1)(42) – 57 = –5

Dari persamaan (4.26) = 2,176471 Dari persamaan (4.27) = 1,6960784

r xr yr |rhx| |rhy| 1 4 2.176471 1.6960784 0.540541 1.358382 2 1.820924 3.4062873 0.195256 0.502074 3 1.996841 2.9898841 0.088097 0.139271 1.999996 3.0000352 0.001578 0.003384 5 2.03E-06 1.17E-05 6 3.51E-11 6.09E-11

Latihan Selesaikan sistem persamaan non-linier berikut dengan metode iterasi Newton-Raphson. f1(x, y ) = x + x2y – 3 = 0 f2(x, y ) = y2 + xy – 5 = 0 Gunakan s = 0,000005 dan tebakan awal x0 = 2dan y0 = 1