LOGIKA LOGIKA LOGIKA

Logika mempelajari hubungan antar pernyataan-pernyataan yang berupa kalimat-kalimat atau rumus-rumus, sehingga dapat menentukan apakah suatu pernyataan bernilai benar. Benar tidaknya suatu pernyataan lebih mengarah pada bentuknya; bukan pada arti kalimat.

PROPOSISI Pernyataan yang mempunyai nilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan tersebut disebut Proposisi. Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh-contoh Proposisi : a. 6 adalah bilangan genap b. Soeharto adalah Presiden Indonesia yang pertama. c. 2 + 2 = 4 d. Ibukota propinsi Jawa Barat adalah Semarang. e. 12 > 19 f. Hari ini adalah hari Kamis Anik

Contoh-contoh bukan Proposisi: a. Jam berapa kereta api Argo Bromo berangkat ? b. Isilah gelas tersebut dengan air! c. X > 3

Lambang Proposisi: Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,…. Contoh : p: 6 adalah bilangan genap q: 2 + 2 = 4 r : Hari ini adalah hari Kamis

PROPOSISI MAJEMUK Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika yang digunakan adalah : dan (and), atau (or), tidak (not),Eksklusif Or (XOR).

Proposisi Majemuk : Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian. Proposisi atomik : Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain. Ingat !! : Proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik.

Tabel Penghubung Proposisi Simbol Arti Dibaca  Negasi Tidak / bukan  Konjungsi Dan  Disjungsi Atau  Implikasi (kondisi tunggal) Jika...maka...atau... hanya jika...  Biimplikasi (kondisi ganda) ...Jika dan hanya jika ...

Konjungsi Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi p  q , adalah proposisi p dan q. Contoh : p:Hari ini hujan q:Murid-murid tidak sekolah pq : Hari ini hujan dan murid-murid tidak sekolah.

Disjungsi Misalkan p dan q adalah proposisi. Disjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi pq , adalah proposisi p atau q. Contoh : p:Hari ini hujan q:Hari ini dingin pq : Hari ini hujan atau hari ini dingin.

Negasi ( Ingkaran ) Misalkan p dan q adalah proposisi. Ingkaran atau negasi dari p, dinyatakan dengan notasi p, adalah proposisi tidak p. Contoh : p: Hari ini hujan p: Tidak benar hari ini hujan.

Contoh : p: Pemuda itu tinggi q: Pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik. Pemuda itu tinggi dan tampan. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan. Tidak benar pemuda itu pendek atau tidak tampan. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan.

Jawab: p q P q ~p ~q ~ (~pV ~q) pV~p) ~ (~p q)

IMPLIKASI (Proposisi Bersyarat) Simbol  adalah simbol implikasi dibaca “jika p maka q” atau “ p hanya jika q” atau “p mengakibatkan q” “Jika p , q” atau “p syarat cukup untuk q” “q syarat perlu untuk p” . contoh kalimat implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi p  q. Proposisi p disebut hipotesis (anteseden), sedangkan q disebut konklusi (konsekuen).

Biimplikasi (dwi syarat) Simbol  adalah simbol bi-implikasi dibaca : “p jika dan hanya jika q” “p adalah syarat perlu dan cukup untuk q” “Jika p maka q, dan sebaliknya”. Jika terdapat proposisi majemuk “m jika dan hanya jika n”, maka dapat ditulis dalam bentuk simbol m  n atau dalam bentuk (m  n)  (m  n).

TABEL KEBENARAN Konjungsi p  q bernilai bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah. p q p  q T F

Disjungsi p  q bernilai salah, jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar. F

Selain itu nilai kebenarannya salah. Proposisi bersyarat p  q mempunyai nilai kebenaran benar apabila nilai kebenaran hipotesis sama dengan nilai kebenaran konklusi atau nilai kebenaran hipotesis bernilai salah. Selain itu nilai kebenarannya salah. p q pq T F

Selain itu nilai kebenarannya salah. Proposisi bi-implikasi p  q, mempunyai nilai kebenaran benar (T) apabila nilai kebenaran p dan q sama. Selain itu nilai kebenarannya salah. p q pq T F

3. EKUIVALENSI DUA PROPOSISI Dua buah proposisi dikatakan ekuivalen secara logika apabila kedua proposisi tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika proposisi p ekivalen secara logika dengan proposisi q, maka ekivalensi tsb. dapat ditulis sebagai p  q atau dapat menggunakan lambang bi-implikasi seperti p  q.

4.Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika No Hukum Bentuk ekuivalensi 1 Komutatif p  q  q  p p  q  q  p 2 Asosiatif (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) 3 Distributif p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 4 Identitas p  True  p p  False  p

5 Ikatan/ dominan p  True  True p  False  False 6 Negasi p  ~p  True p  ~p  False 7 Negasi Ganda ~ (~p)  p 8 Hukum Idempoten p  p  p p  p  p

9 Hukum De Morgan ~ (p  q)  ~p  ~q ~ (p  q)  ~p  ~q 10 Penyerapan p  ( p  q )  p p  ( p  q )  p 11 Bi-implikasi (p  q)  (p  q)  (q  p) 12 Implikasi  (p  q)  ~ p  q

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI Tautologi adalah proposisi majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya. Kontradiksi selalu mempunyai nilai kebenaran yang salah untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya.

Contoh 1 : Dengan menggunakan tabel kebenaran buktikan bahwa a. ( p  q )  q adalah tautologi! b. ( p  q )  ~p adalah kontradiksi! p q ( p  q ) ( p  q )  q T F

b. p q ( p  q ) ( p  q )  ~p T F

Konvers, Invers dan Kontraposisi. Jika terdapat implikasi p  q Maka : konversnya adalah : q  p inversnya adalah :  p   q kontraposisinya adalah :  q   p Contoh : Jika n adalah bilangan prima  3, maka n adalah bilangan ganjil. Tentukan konvers, invers & kontraposisinya !

Jawab: Misal p : n adalah bilangan prima  3 q : n adalah bilangan ganjil Implikasi: p  q jika n adalah bilangan prima  3 maka n adalah bilangan ganjil. Konvers : q  p jika n adalah bilangan ganjil maka n adalah bilangan prima  3.

Invers : p   q jika n bukan bilangan prima  3 maka n bukan bilangan ganjil Kontraposisi : q  p jika n bukan bilangan ganjil maka n bukan bilangan prima  3.

INFERENSI INFERENSI

Metode-metode Inferensi * Modus Ponens kaidah [p(pq)]  q , dengan p(pq) sbg Hipotesis dan q sbg konklusi. pq (jika benar) p (jika benar) (maka benar) q dibaca jadi / karena itu

* Modus Tollen kaidah [q(pq)]  p , dengan q(pq) sbg Hipotesis dan p sbg konklusi. pq (jika benar) q (jika benar) (maka benar) p dibaca jadi / karena itu

* Silogisme Hipotesis kaidah [(pq)(qr)]  (pr) , dengan (pq) dan (qr) sbg Hipotesis dan pr sbg konklusi. pq (jika benar) qr (jika benar) (maka benar) pr dibaca jadi / karena itu

* Silogisme Disjungsi kaidah [(p  q) p]  q , dengan (pq) dan p sbg Hipotesis dan q sbg konklusi. (pq) (jika benar) p (jika benar) (maka benar) q dibaca jadi / karena itu

kaidah (p  q)  p , dengan (p  q) sbg Hipotesis dan p sbg konklusi. * Simplifikasi kaidah (p  q)  p , dengan (p  q) sbg Hipotesis dan p sbg konklusi. (p  q) (jika benar) (maka benar) p dibaca jadi / karena itu

Apakah argumen berikut VALID ?? “Jika air laut surut setelah gempa dilaut,maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang” SOLUSI: Misal p : air laut surut setelah gempa di laut q : tsunami datang.

7.2.3. Penambahan Disjungtif Contoh 1.12 Ali menguasai bahasa Pascal. Ali menguasai bahasa Pascal atau Basic 7.2.4. Penyederhanaan Konjungtif Contoh 1.13 Ali menguasai bahasa Pascal dan bahasa Basic Ali menguasai bahasa Pascal

Silogisme Disjungtif : Silogisme merupakan bentuk inferensi (penyimpulan ) tidak langsung yang dilakukan dengan cara menyimpulkan dua hipotesis yang dihubungkan dengan cara tertentu. Silogisme Disjungtif : peristiwa memilih diantara dua pilihan. Jika kita harus memilih diantara p atau q dan misalnya kita tidak memilih p tentulah pilihan kita adalah q.

Silogisme Hipotesis Jika nilai kebenaran dari implikasi p  q dan q  r adalah benar, maka implikasi p  r bernilai benar pula. Contoh 1.15 Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 9 maka bilangan tersebut habis dibagi 3. Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 3 maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 9 maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 3

7.2.6. Dilema Dilema mempunyai bentuk campuran antara silogisme disjungtif dan silogisme hipotesis. Contoh : Menurut ramalan, tahun depan negara kita akan mengalami kemarau panjang atau banjir. Jika kemarau panjang hasil pertanian gagal. Jika banjir hasil pertanian gagal. Tahun depan hasil pertanian gagal.

7. Inverensi Logika 7.1. Validitas suatu argumen Argumen adalah rangkaian pernyataan-pernyataan. Pernyataan terakhir disebut kesimpulan, sedangkan pernyataan sebelumnya disebut hipotesa (kesimpulan sementara) atau premis.

p1 p2 : pn q HIPOTESIS ARGUMEN disebut KONKLUSI/ KONSEKUEN

Hipotesa atau premis dan kesimpulan disebut argumen. Jika dari suatu argumen semua hipotesanya benar dan kesimpulannya juga benar maka dikatakan argumen tersebut valid (Shahih). Sebaliknya jika hipotesa bernilai benar dan kesimpulan nya salah, maka argumen tersebut tidak valid (palsu).

Contoh Apakah argumen berikut VALID ?? “Jika air laut surut setelah gempa dilaut,maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang” SOLUSI: Misal p : air laut surut setelah gempa di laut q : tsunami datang.

tuntunan untuk menentukan apakah suatu argumen dikatakan valid atau invalid. 1. Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat 2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan. 3. Tandai baris kritis, yaitu baris yang nilai kebenaran hipotesa bernilai T (benar). 4. Jika semua kesimpulan pada baris kritis benar, maka argumen bernilai valid, jika ada kesimpulan pada baris kritis salah maka argumen invalid.

END