Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Fasor Fasor, Impedansi, Metoda Analisis

Fasor dan Impedansi

Mengapa Fasor?

Di kawasan waktu bentuk gelombang sinus dinyatakan sebagai Sudut fasa Frekuensi sudut Amplitudo Analisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan operasi diferensial dan integral, karena hubungan arus-tegangan elemen-elemen adalah

Bentuk gelombang sinus sangat luas digunakan. Energi listrik, dengan daya ribuan mega watt, disalurkan menggunakan bentuk gelombang sinus. Siaran radio juga dipancarkan dengan menggunakan bentuk gelombang sinus. Pekerjaan analisis rangkaian, dimana peubah rangkaiannya berbentuk gelombang sinus, akan sangat dipermudah jika operasi-operasi diferensial dapat dihindarkan.

Dalam matematika ada sebuah fungsi yang turunannya berbentuk sama dengan fungsi itu sendiri, yaitu Fungsi Eksponensial Jika sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial, maka operasi diferensial dan integral akan terhindarkan

Identitas Euler Hal itu dimungkinkan karena ada hubungan antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial yaitu Identitas Euler Bagian nyata pernyataan kompleks ini yang digunakan untuk menyatakan sinyal sinus Ini adalah fungsi eksponensial kompleks Berikut ini kita akan melihat ulang bilangan kompleks

Bilangan Kompleks

Pengertian Tentang Bilangan Kompleks Tinjau Persamaan: Akar persamaan adalah: Bilangan tidak nyata (imajiner) x Tak ada nilai untuk negatif

Bilangan kompleks didefinisikan sebagai dengan a   dan b   bagian nyata dari s Re(s) = a bagian imajiner dari s Im(s) = b Im (sumbu imajiner) a s = a + jb jb Re (sumbu nyata)

Representasi Grafis Bilangan Kompleks Im S = a + jb jb (sumbu nyata) (sumbu imajiner) Re Im S = a + jb  | S | jb a S = |S|cosθ + j|S|sinθ θ = tan1(b/a) Bilangan kompleks bagian nyata dari S |S|cosθ = Re (S) |S| sinθ = Im (S) bagian imaginer dari S

Contoh -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Re Im 4 3 2 1 -1 -2 -3 3 + j4 = 5cos + j5sin  5

Operasi-Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Penjumlahan Pengurangan + - Perkalian Pembagian

Contoh diketahui: maka:

Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar Fungsi eksponensial bilangan kompleks didefinisikan sebagai dengan e adalah fungsi eksponensial riil dan Ini identitas Euler Dengan identitas Euler ini bilangan komleks yang dituliskan sebagai: dapat dituliskan sebagai: Penulisan bilangan kompleks di atas adalah penulisan dalam bentuk sudut siku yang juga dapat dituliskan dalam bentuk polar yaitu:

Contoh |S| = 10 sudut fasa: θ = 0,5 rad S = 10 e j0,5 S = 3 + j4 Bentuk Polar Bentuk Sudut Siku S = 3 + j4 Bentuk Sudut Siku S = 5e j 0,93 Bentuk Polar S = 3  j4 Bentuk Sudut Siku S = 5e  j 0,93 Bentuk Polar

Kompleks Konjugat Re Im Re Im S = a + jb S* = p + jq S* = a  jb Bilangan kompleks S mempunyai konjugat S* Konjugat dari S = a + jb adalah S* = a - jb Suatu bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai hubungan-hubungan berikut:

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

A e j(t+) = A {cos(t + θ) + j sin(t + θ)} = V Fasor Sinyal Sinus di kawasan waktu : Mengingat relasi Euler, fungsi ini bisa dipandang sebagai bagian riil dari suatu bilangan kompleks A e j(t+) = A {cos(t + θ) + j sin(t + θ)} = V v = Re(V) = Re ( A e j t e j θ ) sehingga dapat ditulis dalam bentuk: Re dan e j tidak ditulis lagi Jika seluruh sistem (rangkaian) mempunyai  bernilai sama maka ejt bernilai tetap sehingga tak perlu selalu dituliskan dan sinyal sinus V = A e j θ dapat ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks : Inilah yang disebut Fasor hanya amplitudo A dan sudut fasa θ yang diperhatikan karena  diketahui sama untuk seluruh sistem

Penulisan dan Penggambaran Fasor Karena hanya amplitudo dan sudut fasa saja yang diperhatikan maka V |A|  Im Re a jb

Penulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor Contoh Penulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor menjadi: Pada frekuensi  = 500 menjadi: Pada frekuensi  = 1000

Fasor Negatif dan Fasor Konjugat  Im Re A A*  a jb  a jb maka negatif dari A adalah dan konjugat dari A adalah

Operasi-Operasi Fasor Jika diketahui : maka : Perkalian Pembagian Penjumlahan dan Pengurangan

Contoh Diketahui: maka : Re I3 -4 -3 Im 216,9o 5

Impedansi

Impedansi di Kawasan Fasor Impedansi suatu elemen rangkaian di kawasan fasor adalah perbandingan antara fasor tegangan dan fasor arus elemen tersebut fasor tegangan fasor arus impedansi Catatan: Ada pengertian impedansi di kawasan s yang akan kita pelajari kemudian

Resistor iR + vR  Kawasan waktu Kawasan fasor resistansi resistor di kawasan waktu bernilai sama dengan impedansinya di kawasan fasor Impedansi

Induktor + iL vL  Kawasan waktu Kawasan fasor hubungan diferensial hubungan linier Impedansi

Kapasitor + vC  ` iC Kawasan waktu Kawasan fasor hubungan diferensial hubungan linier Impedansi

Impedansi dan Admitansi Impedansi: Z Admitansi: Y = 1 / Z Perhatikan: relasi ini adalah relasi linier. Di kawasan fasor kita terhindar dari perhitungan diferensial.

Impedansi Secara Umum Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yang berbentuk kompleks, akan tetapi impedansi bukanlah fasor. Impedansi dan fasor merupakan dua pengertian dari dua konsep yang berbeda. Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinus Impedansi adalah pernyataan elemen.

Kaidah Rangkaian dan Diagram Fasor

Hubungan Seri R + VR  I + VL  jL + VC  R j/C + VR  I

Kaidah Pembagi Tegangan j/C jL + VL  + VC  I

Kaidah Pembagi Arus Itotal I3 R jL j/C I1 I2

Diagram Fasor

Arus dan Tegangan pada Induktor Misalkan L = 0,5 H , iL(t) = 0,4cos(1000t) A Di kawasan waktu: 100 iL(t) vL(t) VA detik Re Im VL Arus 90o di belakang tegangan IL Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)

Arus dan Tegangan pada Kapasitor Misalkan C = 50 pF , iC(t) = 0,5cos(106 t) mA Re Im Di kawasan waktu: 10 iC(t) V mA vC(t) IC arus 90o mendahului tegangan VC detik Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)

Beban Kapasitif Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t +10o) V i(t) = 5cos(314t + 40o) A arus mendahului tegangan Re Im V I

Beban Induktif Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t + 20o) V i(t) = 5cos(314t  40o) A I V Re Im arus tertinggal dari tegangan

Beban RLC Seri, kapasitif 100 +  20F 50mH vs(t) = 250 cos500t V Transformasi rangkaian ke kawasan fasor 100 j100 j25 Vs= 2500oV +  I V Re Im Beban RLC seri ini bersifat kapasitif |ZC| > |ZL| arus mendahului tegangan Jika kita kembali ke kawasan waktu i(t) = 2 cos(500t + 36,87o) A

Fasor Tegangan Tiap Elemen 100 j100 j25 Vs= 2500oV +  VL = jXL I VR = RI Vs Re Im VC = jXC I I Fasor tegangan rangkaian mengikuti hukum Kirchhoff

Beban RLC seri, induktif 100 j25 j100 Vs= 2500oV +  I V Re Im Pada beban kapasitif |ZL| > |ZC| arus tertinggal dari tegangan

Beban RLC Paralel 100 j25 j100 Vs= 2500oV +  I I V Re Im

Teorema Rangkaian

Prinsip Proporsionalitas Y = fasor keluaran, X = fasor masukan, K = konstanta proporsionalitas yang pada umumnya merupakan bilangan kompleks

Prinsip Superpossi Prinsip Superposisi selalu berlaku di kawasan waktu dan berlaku di kawasan fasor bila frekuensi sama

Contoh 20cos4t V 8 3cos4t A io 3H 200o _ 8  j6 Io1 j12 8 30o + _ 8 3cos4t A io 3H 200o + _ 8  j6 Io1 j12 8 30o  j6 Io2 j12

Teorema Thévenin A ZT VT +  B RT A B vT +  Kawasan waktu Kawasan fasor

Contoh Rangkaian Ekivalen Thévenin +  j100 10 100 0,190o A 2045o V ` A B +  VT ZT A B

Metoda Analisis

Metoda Keluaran Satu Satuan + vx  +  14cos2t V 12 A B C D 9 3 ix 3/2 H 1/6 F 1/18 F j9 j3 +  140 V 12 A B C D 9 3 Ix j3 I1 I2 I3 I4

Metoda Superposisi 20cos4t V + _ 9 3cos2t A io 3H 200o + _ 9  j6 Io1 j12 9 30o  j12 Io2 j6 Karena sumber berbeda frekuensi maka fasor Io1 dan Io2 tidak dapat langsung dijumlahkan. Kembali ke kawasan waktu, baru kemudian dijumlahkan

Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin +  18cos2t V i 6 2 1H A B 2H 1/8 F +  180o V 6 2 A B j4 j2 j4 I +  180o V 6 2 A B j4 +  VT I A B j4 ZT j2

Metoda Reduksi Rangkaian   i1 = 0.1cos100t A v = 10sin100t V 200F 1H 50 ix? A B Sumber tegangan dan sumber arus berfrekuensi sama,  = 100. Tetapi sumber tegangan dinyatakan dalam sinus, sumber arus dalam cosinus. Ubah kedalam bentuk standar, yaitu bentuk cosinus melalui kesamaan sinx = cos(x90) A B   I1 = 0.10o A V= 1090oV j50 j100 50 Ix sumber tegangan tersambung seri dengan resistor 50  paralel dengan induktor j100  Iy A I2 j50 j100 50 I1 = 0.10o A Simpul B hilang. Arus Iy yang sekarang mengalir melalui resistor 50, bukanlah arus Ix yang dicari; Iy kali 50 adalah tegangan simpul A, bukan tegangan simpul B tempat Ix keluar Iy j50 j100 50 I1  I2

Metoda Tegangan Simpul   I1 = 0,10o A V= 1090oV j50 j100 50 Ix=? A B

Metoda Arus Mesh   I = 0,10o A V=1090oV j50 50 A B I1 I2 I3

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Fasor Course Ware Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Fasor Fasor, Impedansi, Metoda Analisis Sudaryatno Sudirham