VARIABEL RANDOM

Definisi dan Contoh Var random X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R X : S  R Contoh : Menjawab soal multipel choice 2 kali S = {SS, SB, BS, BB} X : VR Banyaknya jawaban benar, maka X = {0,1,2} BB SB BS SS 1 2 R X S

Probabilitas dan Distribusinya P(X=0) =1/4 P(X=1)= 2/4 P(X=2)=1/4 P(X) >= 0 Total Prob = 1 Distribusi Peluang adalah tabel yang berisi nilai dari variabel random dan peluangnya X 1 2 Total P(X) 1/4 2/4 1/2

Karakteristik Dist Rata-rata (Expektasi) dari X E(X)+SD(X) E(X) Variansi (Ukuran Dispersi ) E(X)+SD(X) E(X) E(X)-SD(X) X

Contoh Dari Data Lapangan Distribusi probabilitas penjualan komputer perbulan X 5 6 7 8 Total P(X=x) 20/100 30/100 40/100 10/100 1 X.P(X=x) 1.8 2.8 0.8 6.4 X2.P(X=x) 10.8 19.6 41.8

VARIABEL RANDOM DALAM STATISTIKA DISKRIT BERNOULLI BINOMIAL MULTINOMIAL GEOMERIK HIPERGEOMETRIK POISSON VARIABEL RANDOM NORMAL UNIFORM KONTINU BETA GAMMA EXPONENTIAL WEIBULL CAUCHY DOUBLE EXPONENTIAL KONTINU

Distribusi Binomial Gabungan dari n kejadian bernoulli yang saling independen Kejadian bernoulli : Suatu kejadian dengan dua hasil yang mungkin : Sukses (S) : peluang p atau Gagal (G) dengan peluang 1-p Diperhatikan var random X = banyaknya sukses dalam n trial

Var Rand Binomial Diperhatikan X = banyaknya S dalam n trial ; Harga X yang mungkin : 0,1,2,…,n Ada x kejadian sukses dengan peluang px dan n-x kejadian sukses gagal dengan peluang (1-p)n-x

Lambang X~Bin(n;p) E(X) = np ; rata-rata (mean) nilai X n parameter banyaknya percobaan P adalah parameter peluang sukses ~ simbol untuk distribusi E(X) = np ; rata-rata (mean) nilai X V(X) = npq ; besarnya variansi

Contoh Dari lima saham yang diperdagangkan berapakah peluang : Tepat saham A dan B akan naik Lebih dari 3 saham naik X = jumlah saham naik ; p = 0.5 (fifty-2) X~Bin(5;0.5) ; E(X) = 2.5 P(2 saham naik ) = P(X>=3) = 1-P(X<=2) Memakai tabel binomial kumulatif

Dengan menunjukkan bahwa X = banyaknya yang mendapat nilai A Contoh : jika diamati 15 orang mahasiswa, berapakah probabilitas mendapat 9 orang dengan nilai A ? Berapakah rata yang mendapat nilai A ? Dengan menunjukkan bahwa X = banyaknya yang mendapat nilai A adalah variabel random binomial dengan n = 15 dan p = dihitung langsung menggunakan tabel distribusi binomial

Dist Poisson Var X~Pois(µ) Contoh Banyaknya telepon dalam periode ttt X = jumlah kejadian tertentu dalam satuan unit waktu atau ruang µ = rata-rata kejadian E(X) = V(X) = µ Contoh Banyaknya telepon dalam periode ttt Banyaknya pelanggan pada counter Banayknya kcelakaan Banyaknya mesin rusak dll

Contoh Rata-rata banyaknya kecelakaan disuatu persimpangan jalan raya adalah 2 perminggu. Anggap mengikuti poisson Peluang tidak ada kecelakaan selama 1 minggu Peluang paling banyak 3 kecelakaan dlm 2 minggu

Distribusi Normal Fungsi Probabilitas 0,5 X

Sifat-Sifat Masalah Simetris terhadap rata-rata µ Rata-rata = median = modus σ sebagai titik belok kurva 34 % data dalam jarak 1 σ 68 % data dalam jarak 2 σ 97 % data dalam jarak 3 σ Masalah Menghitung P(a<X<b) Dengan integral analitis : terlalu sukar Dengan metode numerik : tidak praktis : tapi sekarang ada kalkulator Membuat tabel yang khusus : tabel normal standar

Normal Standart Transformasi Diperoleh distribusi normal yang khusus sehingga tabelnya efisien

Tabel normal standart z Z zo zo 1 2 … 7 8 9 0,0 0,5000 0,5004 0,5080 z Z zo zo 1 2 … 7 8 9 0,0 0,5000 0,5004 0,5080 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5348 0,5478 0,5675 0,5714 0,5754 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,6064 0,6103 0,6141 . 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8980 0,8997 0,9015 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9972 0,9973 0,9974

Permasalahan Probabilitas di bawah luasan kurva c d X f(X)

Contoh Penghitungan P(Z<1,96)=0,975 P(-1,645<Z<1,96)=P(Z<1,96)-P(Z<-1,645) = 0,975-0,05 1,96 Z 1,96 Z -1,645

Contoh Penghitungan P(Z>2,33) = 1-P(Z<2,33) = 1- 0,99 Z 2,33

Contoh Nyata Produk resistor berdistribusi N(5;1). Jika resistor yang terpakai dengan hambatan 4,5 s/d 5,5. Hitunglah produk resistor yang terpakai X~N(5;1) 5 4,5 5,5

Contoh Nyata Hasil ujian mahasiswa berdistribusi normal dengan mean = 72 dan variansi = 81 dan diketahui bahwa 5% mendapat nilai A, tentukan nilai terendah mahasiswa yang mendapat nilai A. X 72 5% a = minimal nilai A

Distribusi Exponential P(waktu kedatangan < X ) = 1-e-λX ; X>0 X : Sebarang nilai dari variabel random X Λ : rata-rata jumlah kedatangan perunit waktu 1/λ : rata-rata waktu antar kedatangan Contoh : Sopir datang di jembatan tol Nasabah datang pada mesin ATM

Contoh Contoh : Kedatangan customer 30 per jam. Berapa peluang waktu kedatangan antar customer lebih dari 5 menit ? Λ = 30 f(X) X  = 0.5  = 2.0