DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET LANJUTAN

Yang dibahas : Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson Distribusi Multinomial

Distribusi Hipergeometrik Distribusi Hipergeometrik sangat serupa dengan distribusi binomial. Perbedaannya: Binomial mengharuskan ketidakbergantungan dari satu percobaan ke percobaan berikutnya. Jadi sampling harus dilakukan dengan dikembalikan (replaced) Hipergeometrik tidak mengharuskan ketidakbergantungan, jadi sampling dilakukan tanpa mengembalikan outcome yg sudah keluar.

1. Jawab : n= 3, N=7, S= 4, x=2

2. Sebuah anggota komite terdiri 5 orang, dengan 3 adalah wanita dan 2 laki-laki. Misalkan 2 orang dari 5 anggota tersebut dipilih untuk mewakili delegasi dalam sebuah konvensi. a) Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan acak didapat 2 wanita b) Berapa probabilitas kalau 1 laki-laki 1 wanita. Jawab : a) n =2 N =5 r =3 x=2 3! 2! P (2) = C32 C20 = 2! 1! 2! 0! = 3/10 C52 5! 2! 3! = 0,3

3! 2! • P(1) = C3 1 C21 = 1! 2! 1! 1! = 6/10 =0,6 C52 5! 2! 3! Jadi probabilitas terpilih 1 orang wanita dan 1 orang pria = 0,6 3. Pengurus himpunan mahasisiwa ada 15 orang. 10 orang pria dan 5 wanita. Sampel 5 orang anggota dipilih secara acak untuk menghadiri seminar. Hitung apabila : Semua wanita Semua pria Paling sedikit 1 pria 2 wanita, 3 pria dan bila 1 wanita dan 1 pria tertentu harus ikut

15 = 3003, yang masing-masing mempunyai peluang yang 5 sama Jawab: n = 5, N = 15, r = 5, x = 5 Banyaknya sampel yang bisa dibentuk ialah 15 = 3003, yang masing-masing mempunyai peluang yang 5 sama a) Sedangkan sampel terdiri 5 wanita = 5 10 = 1 cara, maka P(5w) = 1/3003 5 0 10 5 b) P(5L) = 5 0 = 12/143 15 5 c) P(L > 1 ) = P(1L)+P(2L)+P(3L)+P(4L)+P(5L) = 1- P(0L) = 1 – P(5w) = 3002/3003

d) Seorang pria dan seorang wanita harus ikut, berarti tinggal 9 pria dan 4 wanita yang harus dipilih untuk membentuk sampel yang terdiri dari 1 wanita dan 2 pria sehingga : n=3, N=13, r=4, x= 1, maka : P(2w dan 3L ; 1w dan 1L harus ikut) = 4 9 1 2 = 72/143 13 3

4. N= 40, r= 3 P(x= 1)

5.

6.

7. Paket yang terdiri dari 40 item, dinyatakan ditolak jika paket mengandung item cacat 3 atau lebih. Prosedur sampling yang diterapkan adalah dengan mengambil sampel 5 item, jika ditemui yang cacat, maka keseluruhan paket ditolak. (a) berapakah probabilitasnya bahwa jika ternyata paket mengandung 3 item cacat, bisa ketemu 1 cacat di sampel 5 item yang dipilih? (b) jika X menyatakan banyak item yang cacat, hitunglah mean dan variansi, (c) pergunakan teorema Chebysev untuk menaksir interval μ ± 2σ.

Jawab: a) Banyak item cacat terambil x=1, banyak total item N=40, sampel yang diambil n=5, total item cacat di populasi k=3. Probabilitas 1 item cacat terambil dari 5 yang diambil: h(x=1;N=40,n=5,k=3) = Jadi sampling plan ini tidak baik, sebab hanya mampu mendeteksi cacat dengan probabilitas 30%. b) Nilai mean x yaitu rata-rata jumlah sampel cacat yang terambil dan variansinya adalah:

c) Standard deviasinya σ = 0. 558, sehingga interval μ ± 2σ adalah: c) Standard deviasinya σ = 0.558, sehingga interval μ ± 2σ adalah: .375 ± 2(0.558) = -0.741 s/d 1.491. Teorema Chebysev menyatakan terdapat probabilitas 75% dari sampel 5 yang diambil tersebut akan mengandung jumlah item yang cacat sebanyak -0.741 dan 1.491. Jadi berarti 3 dari 4 kesempatan, dari 5 buah sampel item yang diambil mengandung komponen yang cacat kurang dari 2.

8. Sebuah dealer otomotif menerima lot berukuran 10 dengan hanya 5 diantaranya yang mendapat pemeriksaan kelengkapan. 5 kendaraan diambil secara random. Diketahui ada 2 kendaraan dari lot berukuran 10 yang tidak lengkap. Berapa kemungkinan sekurangnya ada 1 kendaraan dari 5 kendaraan yang diperiksa ternyata tidak lengkap? Sehingga, P(1) + P(2) = 0.556 + 0.222 = 0.778.

Pemeriksaan kendaraan X = jumlah kendaraan dalam sample berukuran 5 yang ternyata tidak lengkap Distribusi Hipergeometrik N = 10, D = 2, n = 5 X P(X = x) P(X <= x) Pemeriksaan kendaraan 0.222222 0.222222 1 0.555556 0.777778 0.6 2 0.222222 1 0.5 3 1 0.4 4 1 5 1 Probability 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 # kendaraan tidak lengkap

1.

2.

3.

Distribusi Poisson Simoon Denis Poisson, ilmuwan Perancis (1781-1840) melakukan perhitungan hampir sama dengan distribusi binomial, hanya poisson untuk menghitung : n > 100 (n besar) dan p < 0,05 (p kecil) Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu. Variabel random Poisson menghitung kemunculan pada interval waktu yang kontinyu.

1.

2.

3.

4. Tuan Bimo menjual mobil mewahnya dengan memasang iklan pada sebuah surat kabar yang mencapai 100000 pembaca. Dengan anggapan nilai probabilitas, bahwa seorang yang membaca iklan tersebut berminat akan membeli mobil p =1/50000. Jika dari 100000 pembaca ada 2 orang yang berminat membeli mobil( p= 0,00002) dan x= banyaknya pembaca yang berminat. Berapa P(X=0), P(X=1) ,P(X=2), P(X=3) dan P(X=4) ?

Jawab: n = 100000 (n terlalu besar) p= 1/50000 (p terlalu kecil) = np = (100000)(1/50000) = 2 (rata-rata) Diharapkan 2 orang pembaca akan menanyakan keadaan mobil.

Atau dengan tabel poisson dengan  = 2 x P(x) = x e- x! 0 P(0)= 0,1353 P(1)= 0,2707 P(2)= 0,2707 P(3)= 0,1804 P(4)= 0,0902 P(5)= 0,0361 P(6)= 0,0002 P(0)= 0,1353 = 20 (2,718)-2 P(9) = 29 (2,718) –2 = (512) (0,135363) 9! 362880 Atau dengan tabel poisson dengan  = 2

5. Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang atau tiga orang karyawan? n = 200 ; p = 1/1000 = 0.001 ;  = np = (200)(0.001) = 0.2 P e ( ) . ! 2 1 3 = - 0.8187 0.1637 0.0164 0.0011

X = jumlah karyawan yang memilih pesawat telepon tertentu Poisson Distribution mean = 0.2 Pesawat Telepon X P(X = x) P(X <= x) 0.818731 0.818731 0.9 1 0.163746 0.982477 0.8 2 0.016375 0.998852 0.7 3 0.001092 0.999943 0.6 4 0.000055 0.999998 0.5 5 0.000002 1 Probability 6 1 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 # jumlah karyawan yang memilih pesawat telpon tertentu

2 1 9 8 7 6 5 4 3 . X P ( x ) m =

1.

2.

Distribusi Multinomial Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah sukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh hasil (outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok (sukses dan gagal). Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok. Fungsi distribusi probabilitas multinomial: Nilai ekspektasi dan variansi :

Contoh soal 1. Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika. Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat (dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi aritmatika). Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5% rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak?

2. 3.

4.

5. Sebuah airport memiliki 3 buah landas pacu (runway), dan probabilitas sebuah runway dipilih oleh pesawat yg akan mendarat adalah: runway -1 : 2/9 runway -2 : 1/6 runway -3 : 11/18 Berapakah probabilitas 6 pesawat yg datang secara acak di distribusikan ke dalam runway-runway tsb spt berikut: runway -1 : 2 pesawat runway -2 : 1 pesawat runway -3 : 3 pesawat Jawab. Pemilihan runway acak dan independen, dengan p1=2/9, p2=1/6 dan p3=11/18. Probabilitas untuk x1=2, x2= 1 dan x3=3 adalah