ANUITAS BERTUMBUH DAN ANUITAS VARIABEL BAB 6 ANUITAS BERTUMBUH DAN ANUITAS VARIABEL

Anuitas Bertumbuh Selama ini besar angsuran diasumsikan sama yaitu A atau PMT (dalam kalkulator finansial atau Excel). Perbedaan antara anuitas biasa, di muka, dan ditunda hanya pada kapan periode pertama dilakukan. Jika besarnya angsuran tidak sama tetapi meningkat dengan tingkat pertumbuhan yang sama, disebut anuitas bertumbuh. Karenanya, kita bisa mempunyai anuitas bertumbuh biasa, anuitas bertumbuh di muka, dan anuitas bertumbuh ditunda, tergantung pada periode pertama arus kas. Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Anuitas Bertumbuh Bila besar pembayaran atau penerimaan setiap periode tidak sama, tetapi tumbuh dan berkembang dengan tingkat pertumbuhan g yang sama selama periode-periode tertentu, maka : dengan i > g, dan : i = tingkat bunga diskonto (tingkat bunga relevan) g = tingkat pertumbuhan n = jumlah periode A0 = besar pembayaran atau penerimaan hari ini A1 = besar pembayaran atau penerimaan 1 periode lagi Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Contoh 6.2 Berapakah nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp 1.000.000 tahun depan, Rp 1.100.000 tahun berikutnya dan terus bertumbuh sebesar 10% setiap tahun selama 10 kali jika tingkat bunga adalah j1 = 12%? Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Perpetuitas Bertumbuh dengan i > g, dan A0 adalah arus kas hari ini A1 adalah arus kas satu periode berikutnya i adalah tingkat bunga diskonto g adalah tingkat pertumbuhan Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Persamaan Perpetuitas untuk Menilai Saham Perpetuitas bertumbuh sangat sering digunakan untuk menilai harga wajar atau nilai intrinsik suatu saham. Persamaan baku dalam literatur investasi untuk menilai harga saham yang memberikan dividen bertumbuh: dengan : P0 = harga wajar (nilai intrinsik) saat ini D1 = perkiraan dividen tahun depan k = tingkat bunga diskonto g = tingkat pertumbuhan Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Contoh 6.4 Berapa harga wajar saham yang diperkirakan memberikan dividen sebesar Rp 220 tahun depan jika tingkat bunga diskonto adalah 15% p.a. dan dividen tahun ini yang baru saja dibayar adalah Rp 200? Jawab: Tingkat pertumbuhan dividen : Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Contoh 6.6 Mana yang lebih menarik, menerima uang pensiun sebesar Rp 120.000.000 hari ini atau Rp 2.200.000 tahun depan dan terus naik sebesar 10% setiap tahun selama seumur hidup? Asumsikan tingkat bunga yang relevan adalah 15% p.a. Jawab: Kita hanya perlu menghitung nilai sekarang dari perpetuitas bertumbuh untuk dibandingkan dengan Rp 120.000.000. Kita memilih yang lebih besar tentunya, karena jumlah itulah yang akan kita terima. Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

A = Rp 2.200.000 g = 10% i = 15% p.a. Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Anuitas Variabel Anuitas yang hampir sama dengan anuitas bertumbuh. Perbedaan: - Anuitas bertumbuh, tingkat pertumbuhan dinyatakan dalam persentase - Anuitas variabel, besar pertumbuhan dinyatakan dalam nilai nominal, misal Rp 1.000.000 Persamaan: Baik anuitas bertumbuh maupun anuitas variabel, tingkat pertumbuhan dan besar pertumbuhan, walaupun jarang dapat pula negatif seperti -10% atau – Rp 100.000 Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Aplikasi Anuitas Variabel Anuitas variabel dapat digunakan untuk: Seorang pengusaha yang menginginkan pelunasan utangnya dengan angsuran yang menurun setiap periodenya. Seorang karyawan yang merasa lebih nyaman dengan angsuran KPR yang meningkat, mengikuti kenaikan gajinya. Menilai obligasi yang pokok utangnya diangsur sama besar setiap periodenya bersama bunga periodik, sehingga jumlah pembayaran mengalami penurunan. Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Contoh 6.7 Utang sebesar Rp 60.000.000 berbunga 10% dilunasi dengan 3 kali angsuran tahunan. Pelunasan pokok utang dalam setiap angsuran adalah sama besar yaitu 1/3 atau Rp 20.000.000. Buatlah skedul pelunasan utang di atas. Jawab: Biaya bunga tahun pertama = 10% x Rp 60 juta = Rp 6 juta Angsuran pertama = Rp 20 juta + Rp 6 juta = Rp 26 juta Saldo utang setelah angsuran pertama = Rp 60 juta – Rp 20 juta = Rp 40 juta Biaya bunga tahun kedua = 10% x Rp 40 juta = Rp 4 juta Angsuran kedua = Rp 20 juta + Rp 4 juta = Rp 24 juta Saldo utang setelah angsuran kedua = Rp 20 juta Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Biaya bunga tahun kedua = 10% x Rp 20 juta = Rp 2 juta Angsuran ketiga = Rp 20 juta + Rp 2 juta = Rp 22 juta Tahun 1 Tahun 2 Tahun 3 Besar angsuran Rp 26 juta Rp 24 juta Rp 22 juta -Rp 2 juta -Rp 2 juta Skedul pelunasan utang dalam contoh di atas memenuhi anuitas variabel dengan: n = 3 tingkat bunga (i) = 10% nilai awal (a1) = Rp 26 juta perbedaan nominal (d) sebesar -Rp 2 juta. Angsuran terakhir mengandung bunga Rp 2 juta, angsuran kedua mengandung bunga dua kalinya, dan yang pertama bunganya tiga kali lipatnya. Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Jadi, PV = -n.d/i = -3.(-Rp 2 juta/10%) = 3 (Rp 20 juta) = Rp 60 juta. Perbedaan yang konstan seperti contoh di atas adalah kunci untuk membuktikan bahwa nilai sekarang adalah Rp 60 juta yaitu: (Rp 22 juta – Rp 2 juta) + (Rp 24 juta – 2 x Rp 2 juta) + (Rp 26 juta – 3 x Rp 2 juta) = 3 x Rp 20 juta. Jadi, PV = -n.d/i = -3.(-Rp 2 juta/10%) = 3 (Rp 20 juta) = Rp 60 juta. dengan: n = banyaknya anuitas d = perbedaan nominal (difference) i = tingkat diskon Kesulitannya adalah untuk arus kas yang tidak sesederhana seperti ini, kita perlu membagi arus kas menjadi dua seri yaitu seri 1 dan seri 2. Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Contoh 6.10 Dengan menggunakan seri 1 dan 2, hitunglah nilai sekarang dari anuitas variabel berikut jika diketahui tingkat bunga 5%. Tahun Arus Kas 1 Rp 2.000.000 2 Rp 1.950.000 3 Rp 1.900.000 4 Rp 1.850.000 5 Rp 1.800.000 6 Rp 1.750.000 7 Rp 1.700.000 8 Rp 1.650.000 9 Rp 1.600.000 10 Rp 1.550.000 Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Jawab: d = -Rp 50.000 n = 10 i = 5% a1 = Rp 2.000.000 Besar arus kas untuk seri 1 adalah = Rp 2.000.000 + + 10 (-Rp 50.000) = Rp 2.000.000 – Rp 1.000.000 – Rp 500.000 = Rp 500.000 PV seri 1 ini dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan anuitas biasa. Sisanya adalah arus kas untuk seri 2. PV seri 2 dapat dihitung seperti contoh 6.7 yaitu (–n.d/i). Berdasarkan hasil ini, kita dapat menyusun skedul seri 1 dan seri 2 dari arus kas di atas menjadi:   Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Tahun Arus kas Seri 1 Seri 2 1 Rp 2.000.000 Rp 500.000 Rp 1.500.000 Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

PV Anuitas Variabel = PV Seri 1 + PV Seri 2 PV = PV = Rp 3.860.867,5 + Rp 10.000.000 PV = Rp 13.860.867,5 Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Persamaan Seri 1 dan Seri 2 Persamaan umum untuk mencari besar anuitas atau A dalam seri 1 adalah : A = dengan a1 = besar pembayaran periode 1 d = perbedaan nominal antarperiode i = tingkat diskonto per periode n = jumlah periode pembayaran persamaan untuk mencari PV seri 2 adalah : PV Seri 2 = Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Persamaan Anuitas Variabel PV = atau Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Anuitas Variabel Meningkat Jika d > 0, pembagian arus kas menjadi seri 1 dan seri 2 masih dapat dilakukan. Contoh 6.12 Hitunglah nilai sekarang dari pembayaran uang pensiun Rp 30 juta tahun depan yang meningkat sebesar Rp 2 juta setiap tahunnya selama 10 kali jika diketahui tingkat diskonto yang relevan adalah 8% p.a. Jawab : i = 8% n = 10 d = Rp 2 juta a1 = Rp 30 juta Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

A = = Rp 30 juta + + 10 (Rp 2 juta) = Rp 75 juta PV = = = Rp 503.256.105 – Rp 250.000.000 = Rp 253.256.105 Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Aplikasi Pada Valuasi Obligasi Arus pembayaran kas sebuah obligasi melibatkan dua tingkat bunga yaitu : a. kupon b. yield Pola pelunasan utang obligasi ada dua. Obligasi yang hanya membayar kupon secara periodik dan utang pokok sebesar nilai nominal saat jatuh tempo. Obligasi yang mengangsur pokok utang sama besar setiap periodik, bersamaan dengan bunga terutangnya. Utang obligasi kelompok kedua akan mengalami penurunan setiap periodenya, dan pembayaran bunga periodik pun semakin mengecil dari periode ke periode. Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Contoh 6.13 Sebuah korporasi mengeluarkan obligasi bernilai US$ 100.000 dengan kupon 4%. Utang obligasi ini akan dilunasi dalam 20 pembayaran sama besar, masing-masing $ 5.000 pada akhir setiap tahun, bersamaan dengan pembayaran bunga terutangnya. Hitunglah harga wajar obligasi jika investor mengharapkan yield sebesar 10% untuk obligasi ini. Jawab : n = 20 i = 10% d = 4% x $ 5.000 = $ 200 a1 = $ 5.000 + 4% ($ 100.000) = $ 9.000 Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Tahun Pelunasan Pokok Biaya Bunga Total 1 $ 5.000 $ 4.000 $ 9.000 1 $ 5.000 $ 4.000 $ 9.000 2 $ 5.000 $ 3.800 $ 8.800 3 $ 5.000 $ 3.600 $ 8.600 4 $ 5.000 $ 3.400 $ 8.400 5 $ 5.000 $ 3.200 $ 8.200 6 $ 5.000 $ 3.000 $ 8.000 7 $ 5.000 $ 2.800 $ 7.800 8 $ 5.000 $ 2.600 $ 7.600 9 $ 5.000 $ 2.400 $ 7.400 10 $ 5.000 $ 2.200 $ 7.200 Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

Tahun Pelunasan Pokok Biaya Bunga Total 11 $ 5.000 $ 2.000 $ 7.000 11 $ 5.000 $ 2.000 $ 7.000 12 $ 5.000 $ 1.800 $ 6.800 13 $ 5.000 $ 1.600 $ 6.600 14 $ 5.000 $ 1.400 $ 6.400 15 $ 5.000 $ 1.200 $ 6.200 16 $ 5.000 $ 1.000 $ 6.000 17 $ 5.000 $ 800 $ 5.800 18 $ 5.000 $ 600 $ 5.600 19 $ 5.000 $ 400 $ 5.400 20 $ 5.000 $ 200 $ 5.200 Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010

PV = = PV = + 40.000   PV = 65.540,69 Bab 6 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010