SISTEM PERSAMAAN LINIER dan SIMULTAN KALKULUS II SISTEM PERSAMAAN LINIER dan SIMULTAN

PENGERTIAN PERSAMAAN LINIER Perhatikan contoh berikut: CONTOH 1: Andi membeli 3 buku dan 2 pulpen pada toko A harganya Rp35.000,-. Pada toko A yang sama Benny membeli 2 buku dan 3 pulpen harganya Rp40.000,-. Berapakah harga 1 buku dan 1 pulpen pada toko A Jawab: Misalkan harga 1 buku = x rupiah dan harga 1 pulpen = y rupiah. Model yang didapat: 3x + 2y = 35.000 ……….. Pers. (1) 2x + 3y = 40.000 ………… Pers. (2) Sehingga nilai x = 5.000 dan y = 10.000 , sehingga bentuk persamaan linier adalah tunggal artinya tidak ada nilai x dan y yang lain yang memenuhi persamaan (1) dan persamaan (2).

CONTOH 2: Andi membeli 3 buku dan 2 pulpen pada toko A harganya Rp35 CONTOH 2: Andi membeli 3 buku dan 2 pulpen pada toko A harganya Rp35.000,-. Pada toko A yang sama Benny membeli 3 buku dan 2 pulpen harganya Rp35.000,-. Berapakah harga 1 buku dan 1 pulpen pada toko A Jawab: Misalkan harga 1 buku = x rupiah dan harga 1 pulpen = y rupiah. Model yang didapat: 3x + 2y = 35.000 ……….. Pers. (1) 3x + 2y = 35.000 ………… Pers. (2) Karena persamaan (1) = persamaan (2) maka persamaan dianggap 1 persamaan yaitu 3x + 2y = 35.000 . Nilai x dan y yang memenuhi dapat dilihat dalam table. Bentuk persamaan linier yang seperti ini dinamakan banyak jawab. x 1.000 3.000 5.000 7.000 ….. y 16.000 13.000 10.000 ……

CONTOH 3: Andi membeli 3 buku dan 2 pulpen pada toko A harganya Rp35 CONTOH 3: Andi membeli 3 buku dan 2 pulpen pada toko A harganya Rp35.000,-. Pada toko A yang sama Benny membeli 6 buku dan 4 pulpen harganya Rp60.000,-. Berapakah harga 1 buku dan 1 pulpen pada toko A Jawab: Misalkan harga 1 buku = x rupiah dan harga 1 pulpen = y rupiah. Model yang didapat: 3x + 2y = 35.000 ……….. Pers. (1) 6x + 4y = 60.000 ………… Pers. (2) Sehingga persamaan linier tidak mempunyai jawab, artinya tidak ada nilai x dan y

Persamaan Linier Simultan Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. AX = B Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. Vektor x = vektor variabel vektor B = vektor konstanta.

Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi : Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi

Contoh 1 : Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?

Contoh 1 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.

Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas. Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn  0. Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas matrik diubah menjadi augmented matrik :

Operasi Baris Elementer Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himp solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer 1. Kalikan persamaan melalui oleh konstanta bukan nol.. 2. Pertukaran dua persamaan. 3. Menambahkan kelipatan satu persamaan yang lain.

Metode Eliminasi Gauss Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:

Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut: Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

Lakukan operasi baris elementer Penyelesaian :

Latihan Soal: 3𝑥 1 +2 𝑥 2 − 𝑥 3 =5 3𝑥 1 +5 𝑥 2 + 2 𝑥 3 =8 SELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER BERIKUT. 1) 2) 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑥 3 =2 3𝑥 1 +2 𝑥 2 − 𝑥 3 =5 3𝑥 1 +6 𝑥 2 =9 3𝑥 1 +5 𝑥 2 + 2 𝑥 3 =8 2𝑥 1 +8 𝑥 2 + 4𝑥 3 =6 −𝑥 1 +2 𝑥 2 + 3 𝑥 3 =1