Metode Distribusi Momen (Momen Distribution) Soelarso.ST.,M.Eng UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA

→ Untuk analisis struktur statis tak tentu Croos Kani Takabeya Syarat : Defleksi yang terjadi kecil Bahan mengikuti hukum Hooke (    ) Prinsip Superposisi Setiap besaran gempa (RA, SF, BM) atau besaran deformasi (∆, θ) akibat beberapa beban yang bekerja serentak sehingga dapat diperoleh dengan melakukan superposisi nilai-nilai gaya atau deformasi akibat beban-beban yang bekerja sendiri-sendiri

θ = PL2 / 2EI δ = PL3 / 3EI θ = wL3 / 6EI δ = wL4 / 8EI θ = wL3 / 24EI DISPLACEMENTS P δ θ L θ = PL2 / 2EI δ = PL3 / 3EI w (N/m’) δ L θ = wL3 / 6EI δ = wL4 / 8EI δ L θ = wL3 / 24EI δ = wL4 / 30EI δ L θ = ML / EI δ = ML2/ 2EI M

M = PL / 4 θL = θR = PL2 / 16EI δ = PL3/ 48EI M = Pab / L θL = Pb (L2 - b2) / 6EIL M = Pab / L θR = Pa (L2 - a2) / 6EIL P b θL θR a L δ θL θR w (N/m) L θL = θR = wL2 / 24EI δ = 5wL4/ 384EI M = wL2 / 8

θL = 7wL3 / 360EI θR = 8wL3 / 360EI θL = ML / 6EI → far end w (N/m) θL θR L θL = 7wL3 / 360EI θR = 8wL3 / 360EI θL = ML / 6EI → far end θR = ML / 3EI → near end M θL θR L M θR L θR = ML / 4EI

FIXED END MOMENTS (FEM) B b a L P A MA = + Pab2 / L2 MB = - Pa2b / L2 B L/2 L P A MA = + PL/ 8 MB = - PL / 8 w (N/m) L B A MA = + wL2 / 12 MB = - wL2 / 12

MA = + 5 wL2 / 192 MB = - 11wL2 / 192 MA = + wL2 / 30 MB = - wL2 / 20 w (N/m) L B A L/2 w (N/m) L B A MA = + wL2 / 30 MB = - wL2 / 20 MA = M(-1+(4a/L)-(3a2/L2)) MB = M (a/L) (2-(3a/L)) M L B A a

∆ L B A MA = +6EI∆/L2 MB = +6EI∆/L Jika salah satu ujungnya sendi M=MA-(MB/2) dengan MA dan MB hasil jepit-jepit (1-7) diatas M

PERJANJIAN TANDA MOMEN Tanda Momen Cross + - Batang Titik buhul

Tanda momen BMD M− M+ M− M+

Langkah-langkah penyelesaian SF, DF, COF Kunci seluruh titik buhul dari rotasi FEM Pilih salah satu titik buhul untuk dilepas, hitung momen tak-imbang pada buhul tersebut Hitung momen distribusi pada batang-batang yang bertemu pada buhul tersebut Hitung momen induksi (COF momen) ke ujung yg jauhi batang Kunci lagi buhul yang dilepas (step 4) dan pilih buhul lain untuk dilepas. Ulangi step 4, 5 dan 6 untuk seluruh buhul sehingga selesai 1 putaran Ulangi step 4-7 untuk beberapa putaran hingga nilai momen tak-imbang ≈0 Jumlah seluruh momen pada masing-masing buhul hasil dari masing-masing putaran

Jepit : SF = 4EI/L ; Sendi : SF = 3EI/L P ton Q t/m A B C EI2 SF1 SF2 L1 L2 COF2 COF1 DF1 DF2 Jepit : SF = 4EI/L Sendi : SF = 3EI/L Jepit : SF = 4EI/L ; Sendi : SF = 3EI/L B : DF1 = SF1/(SF1+SF2) ; DF2 = SF2/(SF1+SF2) COF1 =1/2 ; COF2 = 0

A → Di anggap sebagai sendi CONTOH 12’ 24’ 3’ 4’ 3EI 10EI 6 k 18 k 20 k 2 k/ft 3 k/ft A B C 2EI D E Stiffnes Factor A → Di anggap sebagai sendi Sendi : SF =3EI/L Jepit : SF = 4EI/L

Corry Over Factor COFBA =0 COFBC = COFCB = COFCD = 0,5 Distribution Factor DFBA = 9/(9+20) = 0,310 B 1 DFBC = 20/(9+20) = 0,690 DFCB = 20/(20+8) = 0,714 C 1 DFCD = 8/(20+8) = 0,286 D DFDC = 8/8 = 1,000

FEMBC = +((3x242)/12) + ((20x24)/8) = +156 k.ft Fixed and Moment FEMBA = -(3x122)/8 = -54 k.ft FEMBC = +((3x242)/12) + ((20x24)/8) = +156 k.ft FEMCB = FEMBC = - 156 k.ft FEMCD = +(18x4x82)/122 = +32 k.ft FEMDC = -(18x8x42)/122 = -16 k.ft FEMDC = +6x3 = +18 k.ft

Distribusi momen Joint B C D Member BA BC CB CD DC DE SF 9 20 8 - DF 0,310 0,690 0,714 0,286 1,000 FEM BaL -54 +156 -156 +32 -16 +18 -31,62 -70,38 -35,19 -1 -2 +57,19 +114,39 +45,81 +22,91 -17,73 -39,46 -19,97 -11,45 -22,91 +11,13 +22,27 +8,92 +4,46 -3,45 -7,68 -3,84 -2,23 -4,46 +2,17 +4,33 +1,74 +0,87 -0,67 -1,50 -0,75 -0,43 -0,87 +0,42 +0,84 +0,34 +0,17 -0,13 -0,29 -0,14 -0,08 -0,17 +0,08 -0,16 +0,06 +0,03 Jumlah -107,60 +107,60 -73,67 +73,67 -18

SFD (Shear Force Diagram) BMD (Bending Momen Diagram) Contoh Soal 12’ 24’ 3’ 4’ 3EI 10EI 6 k 18 k 20 k 2 k/ft 3 k/ft A B C 2EI D E Hitung : SFD (Shear Force Diagram) BMD (Bending Momen Diagram)

A → Dianggap sebagai Jepit/fixed = 4EI/L Penyelesaian Stiffness Factor SFAB = 4(3EI) / 12 → 3 SFBC = 4(10EI) / 24 → 5 SFCD = 4(2EI) / 12 → 2 Carry Over Factor (COF) COFBA=COFBC=COFCB=COFCD = ½ Distribusi Factor A : DF = 1,00 (“fixed” atau hanya ada 1 batang yan melalui buhul) B : DFBA = 3/(3+5) = 0,375 DFBC = 5/(3+5) = 0,625 C : DFCB = 5/(5+2) = 0,714 DFCD = 2/(5+2) = 0,286 D : DC = 1,00 (overstek DE seperti beban momen 6 x 3 = 18 kft) A → Dianggap sebagai Jepit/fixed = 4EI/L

Fixed end Moment (FEM) FEMAB = -FEMBA = +(3x122)/12 = + 36 kft FEMBC = -FEMCB = +((2x242)/12) + ((20x24)/8) = + 156 kft FEMCD = +(18 x 4 x 82)/122 = + 32 kft FEMDC = -(18 x 8 x 42)/122 = - 16 kft FEMDE = +(6 x 3) = +18 kft

Distribusi Momen Joint A B C D Member AB BA BC CB CD DC DE SF 3 5 2 - DF 1,000 0,375 0,625 0,714 0,286 FEM Bal +36,00 -36,00 -45,00 +156,00 -75,00 -156,00 +88,00 +32,00 +35,46 -16,00 -2,00 +18,00 Co -22,50 +22,50 -18,00 -9,75 +44,00 -16,42 -37,50 +27,49 -1,00 +11,01 +17,73 -17,73 -0,41 +0,41 +0,57 -0,57 +0,96 -0,96 -0,68 +0,68 -0,28 +0,28 +0,38 -0,38 Total -107,69 +107,69 -73,66 +73,66

+ ― SFD ― + BMD A B C D E A B C D E 3EI 10EI 6 k 18 k 20 k 2 k/ft +9,025 -26,975 +35,420 +11,420 -8,580 -32,580 +16,635 -1,365 +6 + ― SFD BMD -107,69 +113,340 +13,58 -73,66 -7,08 -18,00 + ― =(9,025*3,008)-(3*3,008*(3,008/2))

KONDISI SIMETRI dan ANTI SIMETRI 1. Simetri ; Jumlah bentang ganjil A B C D L1 L2 £ 2. Simetri ; Jumlah bentang genap A B D E L1 L2 £ C A B L1 L2 C C = Jepit

Struktur cukup ditinjau separo, dengan modifikasi SF batang tengah 3. Antisimetri ; Jumlah bentang ganjil A B C D L1/2 L2 M £ 4. Antisimetri ; Jumlah bentang genap £ M M L1/2 L1/2 L2 L2 L1/2 L1/2 A B C D E M L2 A B C Struktur cukup ditinjau separo, dengan modifikasi SF batang tengah

SOAL 32 k 40 k 8’ 12’ 10’ 20’ A B C D 2EI 1,5EI Hitung FEM ????

Penyelesaian : Cara 1. A dianggap “JEPIT” → distribusi factor = 1 Kekakuan Relatif SFAB = 2I/20 = I/10 x 40 = 4 SFBC = 2I/20 = I/10 x 40 = 4 SFCD = 1,5I/12 = I/8 x 40 = 5 Faktor Distribusi A → AB = 4/4 = 1 BA = 4/(4+4) =1/2 B BC = 4/(4+4) =1/2 CB = 4/(4+5) =0,44 C CD = 5/(4+5) =0,56 Momen Primer MFAB = +1/8 x 32x20 = +80 kft MFBA = -80 kft MFBC = +(40 x 8x122)/202 = +115,2 kft MFCB = -(40 x 12x82)/202 = -76,8kft MFCD = MFDC = 0

Distribusi Momen Joint A B C D Batang AB BA BC CB CD DC SF 4 5 DF 1 0,5 0,44 0,56 - FEM Bal +80 -80 -17,60 +115,2 -76,8 +34,13 +42,67 Co -8,80 +8,80 -40,0 +11,47 +17,06 +3,91 +4,89 +21,34 +5,74 -5,74 +4,40 -3,18 +1,96 -2,55 -3,19 +2,44 -0,01 +0,01 -0,02 Jumlah -125,62 +125,62 -44,73 +44,73 +22,36

Cara 2. A dianggap “SENDI” Kekakuan Relatif SFAB = 3 x 2/20 = 3 SFBC = 4 x 2/20 = 4 SFCD = 4 x 1,5/12 = 5 Faktor Distribusi A → AB = 0 BA = 3/(3+4) =0,43 B BC = 4/(3+4) =0,57 CB = 4/(4+5) =0,44 C CD = 5/(4+5) =0,56 Momen Primer MFAB = +1/8 x 32x20 = +80 kft MFBA = -80 kft MFBC = +(40 x 8x122)/202 = +115,2 kft MFCB = -(40 x 12x82)/202 = -76,8kft MFCD = MFDC = 0

Distribusi Momen Joint A B C D Batang AB BA BC CB CD DC SF 3 4 5 DF - 0,43 0,57 0,44 0,56 FEM Bal +80 -80 -15,09 +115,2 -20,11 -76,8 +34,13 +42,67 Co -40,0 +9,83 +17,06 +13,41 -10,06 +4,47 +5,59 +21,34 Jumlah -125,61 +125,61 -44,77 +44,75 +22,38

Hasil hitungan Momen A B C D A B C D 32 k 40 k 8’ 12’ 10’ 2EI 1,5EI -125,62 +125,62 -44,73 C +44,73 +22,36 D Hasil hitungan Momen

Hitungan Reaksi 32 k -125,62 +125,62 -44,73 +44,73 +22,36 16 6,28 9,72 22,28 24 4,04 +28,04 5,594 +11,96 Hitungan Reaksi 40 k

SFD BMD C A B D A B C D 28,04 9,72 (+) (+) (-) 5,95 (-) 11,96 -22,28 125,62 D (-) 44,75 A B (-) 44,75 (+) (+) C (-) 97,20 98,73 BMD 9,71 x 10 28,044 x 8 (+) D 22,37

5,59 C A B NFD 5,59 D