Bab 1 Analisa Vektor

Notasi Vektor Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen vektor satuan sebagai A = Axax + Ayay + Azaz Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A didefinisikan sebagai |A| =A= Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh

Aljabar Vektor Vektor dapat dijumlahkan dan juga dikurangkan A ± B = (Axax + Ayay + Azaz) ± (Bxax + Byay + Bzaz) = (Ax±Bx)ax + (Ay ± By)ay + (Az ± Bz)az Sifat-sifat asosiatif, distributif, dan komutatif berlaku dalam aljabar vektor A + (B + C) = (A + B) + C k(A + B) = kA + kB, (kl + k2)A = kIA + k2A A+B = B+A C = A+B=B+A Komutatif A+(B+C) = (A+B)+C Assosiatif

Komutatif & Assosiatif Komunikatif Contoh : C= A+B=B+A C B A A B C Assosiatif Contoh : D = A+(B+C) = (A+B)+C B A B+C A C A+B C D=A+(B+C) D=(A+B)+C

Perkalian Vektor dengan Skalar Hasil perkalian vektor dengan skalar adalah vektor Besar perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan a (skalar) dari nilai vektor asli Arah vektor yang dihasilkan adalah sama dengan arah vektor asal bila a > 0, dan berlawanan dengan arah vektor asal bila Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum distributif , yaitu a (A +B ) = aA + aB Contoh : B = aA a<0, B berlawanan A B = aA a > 0, B searah A

Perkalian Titik (Dot) Dua Vektor A • B = AB cos  (dibaca sebagai "A titik B") Hasil perkalian titik atau dot product adalah besaran skalar Perkalian titik adalah komutatif Perkalian titik adalah distributif Perkalian titik memenuhi perkalian skalar A.B = B.A A.(B+C) = A.B + A.C A • kB = k(A •B) Contoh : di mana  adalah sudut antara A dan B yang lebih kecil. Dalam bentuk komponen, perkalian titik adalah sama dengan A • B = AxBx + AyBy + AzBz

Perkalian Silang Dua Buah Vektor Hasil perkalian silang atau cross product adalah besaran vektor yang arah nya tegak lurus kedua vektor asal dengan aturan tangan kanan. Perkalian silang tidak memenuhi hukum komutatif Perkalian silang adalah distributif AXB = -BXA AX(B+C) = AXB + AXC Contoh :  = sudut antara A dan B yang lebih kecil. an = Vektor satuan adalah normal terhadap bidang datar A dan B Hasil perkalian silang memenuhi aturan tangan kanan / putaran skrup

A x B = (Axax + Ayay + Azaz) x (Bxax + Byay + Bzaz) Perluasan perkalian silang dalam bentuk komponen-komponen vektor akan menghasilkan, A x B = (Axax + Ayay + Azaz) x (Bxax + Byay + Bzaz) = (AYBZ – AzBz)ax + (AzBx - AxBz)ay + (AxBy – AyBx)az Contoh : Jika A = 2ax + 4ay – 3aZ dan B = ax – ay, carilah A • B dan A x B ! Penyelesaian!

Sistem koordinat Koordinat cartesian tidak cukup !!! Terdapat beberapa kasus yang akan lebih mudah penyelesaiannya dengan menggunakan koordinat tabung dan bola Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan koordinat silindris dan persoalan antena yang memiliki penyelesaian menggunakan koordinat bola. Ilustrasi : Titik P digambarkan dalam 3 buah koordinat Koordinat cartesian = (x, y, z) koordinat silindris = (r, , z ) koordinat bola = (r,,)

Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam Tiga Buah Sistem Koordinat Z Z Z A (r, φ, z) A (r, , z) A (r, ,θ) A (x, y, z) z z z r r Y Y Y y x X X X Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistem koordinat : A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian) A = Arar + Aa + Azaz (Silindris) A = Arar + Aa + Aa(Bola)

Bidang-bidang Permukaan Nilai Konstan untuk Tiga sistem Koordinat . Bidang-bidang Permukaan Nilai Konstan untuk Tiga sistem Koordinat

Arah vektor satuan untuk tiga sistem koordinat Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana koordinatnya bertambah. Semua sistem merupakan sistem tangan kanan: ax x aY = aZ ar x a = az ar x a = a

Transformasi skalar antar sistem koordinat Koordinat cartesian – koordinat silinder vektor dalam Cartesian : A = Axax + Ayay + Azaz Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam Silinder : Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ Untuk mendapatkan komponen sebuah vektor, kita ingat pada pembahasan perkalian titik yang menyatakan bahwa komponennya dapat dicari dengan mengambil perkalian titik ar a az ax. cos -sin ay. sin az. 1 Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ Az = (Axax + Ayay + Azaz) • az

Transformasi skalar antar sistem koordinat Koordinat cartesian – koordinat bola vektor dalam Cartesian : A = Axax + Ayay + Azaz Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam Silinder : Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar A = (Axax + Ayay + Azaz)• a Dengan cara yang sama … ar a az ax. Sin θ Cos Cos θ Cos -Sin ay. Cos θ Sin Cos az. Cos θ -Sin θ Sin θ sin Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar A = (Axax + Ayay + Azaz)• a A θ = (Axax + Ayay + Azaz) • a θ

Diferensial volume pada tiga sistem koordinat Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegak terhadap ar adalah, dS = (r d)(r sin d) = r2 sin d Elemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P. Jadi, dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian) d12 = dr2 + r2d2 + dz2 (Silindris) d12 = dr2 + r2d2 + r2 sin2  d2 (Bola)

Soal-soal dan Penyelesaiannya Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)! Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya? Penyelesaian : Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6. Selanjutnya. C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az Magnituda C adalah Vektor satuannya adalah

Soal 2 Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinat silindris! Penyelesaian : Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b Panda gambar diperoleh : A = -5ay, B = 5ay + 10az Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen antara kedua titik

Soal 3 Proyeksi A pada B = Jadi pada (2,2,1) Proyeksi A pada B = Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya pada vektor B = 5ax – ay + 2az! Penyelesaian : A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar, proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh dengan menyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua serta mengambil perkalian titiknya. Proyeksi A pada B = A B aB Proyeksi A pada B Jadi pada (2,2,1) Proyeksi A pada B =

Soal 4 Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area dari sebuah lembaran tipis    pada selubung bola dengan jari-jari r = r  ( Gambar 1-9). Berapakah luas area yang diperoleh jika  = 0 dan  = ? Penyelesaian : Diferensial elemen permukaan adalah [ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ] dS = r02 sin  d d Selanjutnya, sehingga saat  = 0 dan  = , A = 4r02, yang merupakan luas permukaan bola.