Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Editing by Wiwik Andriyani L N/2KS-1

KOORDINAT KARTESIUS Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y y x

KOORDINAT KARTESIUS Sistem Koordinat 3 Dimensi Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus z y x

KOORDINAT POLAR Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

KOORDINAT POLAR r  O (titik kutub) Sumbu Polar Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi: -  derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r,  + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r,  + n ), untuk n bil. Bulat genap Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius. (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos  , y = r sin  Maka r2 = x2 + y2, tan  = y/x, jika x  0 Catt. menentukan  Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 <  < /2   = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan(y/x).

KOORDINAT POLAR Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a Contoh: Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin  - berpusat di (a,0): r = 2a cos  Jika a=1, maka r = 2 sin  r = 2 cos 

Konversikan persamaan polar r = 2 sin  kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin  x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

TITIK 3D DALAM KOORDINAT TABUNG Koordinat Polar dalam bidang datar r 

TITIK 3D DALAM KOORDINAT TABUNG Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,). (r,,z)  r  r  r

KONVERSI ANTARA KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT KARTESIUS  r (r,,z)

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola (x,y,z)  

Titik-titik 3D dalam koordinat bola ( , ,)  Suatu titik dalam koordinat bola Sudut .

KONVERSI ANTARA KOORDINAT BOLA DAN KOORDINAT KARTESIUS  (x,y,z) z  r

INTEGRAL: KOORDINAT KARTESIUS Riemann Sum dalam triple integral sbb: Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang . , lebar , dan tinggi

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG Bagaimana dengan ukuran-ukuran dalam koordinat tabung r, q, and z? Dengan menganggap kasus 2D dalam koordinat polar  r

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r r r+Dr

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+D r. r r+Dr r r+Dr

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG Sudut q. Ada penambahan sudut sebesar Dq.  Dq 

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r+r dan sudut  

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut 

INTEGRAL: KOORDINAT TABUNG Dengan penambahan D z .

INTEGRAL DALAM KOORDINAT TABUNG Untuk mencari volume benda padat Maka . . .

SOAL 1. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).

SOAL 2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

SOAL 3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat tabung & gambarkan

SOAL 4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola: a. b. c. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

SOAL 5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat bola & gambarkan

TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT Editing by Wiwik Andriyani Lestari Ningsih/2KS-1

TRANSFORMASI KOORDINAT Dalam menyelesaikan integral lipat atas suatu daerah R, dapat diselesaikan dengan menggunakan koordinat lain selain dengan menggunakan koordinat persegi panjang xy. Transformasi dari satu koordinat persegi panjang ke sistem koordinat lainnya.

TRANSFORMASI KOORDINAT Tinjau suatu fungsi T, yang mempunyai domain D (daerah pada bidang xy) dan mempunyai range E (daerah pada bidang uv), sehingga T(x,y)=(u,v). T  transformasi koordinat dari bidang xy ke bidang uv. u dan v adalah fungsi dari x dan y

TRANSFORMASI KOORDINAT y v (x,y) T (u,v) x u

CONTOH T suatu transformasi koordinat yang didefinisikansbb: u=x+2y , v=x-2y. (T(x,y)) a. Tentukan nilai untuk (0,1),(1,2) dan (2,-3) b. Gambarkan pada bidang uv garis vertikal untuk u=2,u=4,u=6,u=8 dan garis horisontal untuk v=- 1,v=1,v=3,v=5. c. Gambarkan hubungan kurva u dan kurva v dalam bidang xy.

TRANSFORMASI KOORDINAT Jika T suatu transformasi koordinat satu-satu, maka bisa dicari invers atau transformasi balikannya dari T, yakni T-1 dari bidang uv ke bidang xy x = F(u,v) y = G(u,v) Jika T suatu transformasi satu-satu maka inversnya T- 1 . Dalam hal ini , T-1(T(x,y)) = (x,y) dan T(T-1(u,v)) = (u,v) untuk setiap (x,y) di D dan setiap (u,v) di E.

CONTOH Tentukan invers dari transformasi T yang didefinisikan pada contoh sebelumnya. Gambarkan kurva pada bidang uv yang memetakan ellips atas T-1

PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPAT Tinjau untuk suatu daerah R dalam bidang xy, substitusi x=f(u,v) dan y=g(u,v). Persamaan ini menyatakan transformasi koordinat W dari bidang uv ke bidang xy. Dalam hal ini menentukan daerah S di bidang uv yang ditransformasi dari R oleh W(menentukan batas integral baru)

MATRIKS JACOBIAN Jika x=f(u,v) dan y=g(u,v), maka Jacobian dari x dan y adalah

CONTOH Tentukan jacobian dari Jika , tentukan jacobian

THEOREMA Jika x=f(u,v) dan y=g(u,v) adalah transformasi koordinat, maka Dimana G(u,v) = F{f(u,v),g(u,v)}

CONTOH Hitung untuk daerah R pada bidang xy yang dibatasi oleh trapezoid dengan titik sudut (0,1), (0,2), (2,0) dan (1,0). Hitung untuk daerah R di kuadran pertama pada bidang xy antara lingkaran yang berjari- jari 1 dan berjari-jari 2.

Transformasi diatas dapat diperluas untuk menyelesaikan integral lipat tiga. Diberikan transformasi x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w) dari sistem koordinat uvw ke sistem koordinat xyz. Jacobian =

THEOREMA Dimana G(u,v,w)=F{f(u,v,w),g(u,v,w),h(u,v,w)} Jika x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w) transformasi koordinat, maka Dimana G(u,v,w)=F{f(u,v,w),g(u,v,w),h(u,v,w)}

CONTOH Tentukan jacobian dari x = 2u + 3v – w, y = u – 5w ,z = u + 4w Dengan menggunakan koordinat silinder, tentukan volume benda di atas bidang xy, yang dibatasi oleh paraboloid dan silinder

CONTOH Dengan menggunakan koordinat bola tentukan volume benda yang bagian atasnya dibatasi oleh bola dan bagian bawah dibatasi oleh kerucut