DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA INTEGRAL VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

INTEGRAL GARIS Suatu objek bergerak dari titik P1 ke P2 sepanjang l Jika suatu gaya diberikan kepada objek tersebut, maka besarnya kerja yang dilakukan adalah F cos  l, atau dalam notasi vektor adalah F . l

Jika gaya yang diberikan berubah besar dan arahnya, dan objek bergerak tidak lurus, maka : Maka integral garis dari F sepanjang lintasan C dari P1 ke P2 adalah :

Dalam koordinat kartesian, lintasan dapat diurai dalam :

Contoh Htiunglah nilai C adalah garis lurus dari titik (0,0) ke (1,2) C adalah lintasan parabola dengan persamaan y=2x2 dari titik (0,0) ke (1,2)

Pada lintasan ini y = 2x dy = 2 dx

Pada lintasan ini y = 2x2 dy = 4x dx

Ketidaktergantungan Integral pada lintasan Jika integral garis mempunyai nilai yang sama untuk batas yang ditentukan ( P1 dan P2) tanpa melihat bentuk lintasan, maka F disebut medan vektor konservatif

Syarat Konservatif

Skalar Potensial Medan Vektor konservatif dapat diekspresikan dalam gradien dari medan skalar (skalar potensial) sehingga : F =  dimana :

Contoh : Tunjukkan bahwa medan vektor F = y2 i + 2xy j adalah konservatif. Hitung besarnya integral garis untuk lintasan C sebagai berikut : C adalah garis lurus dari titik (0,0) ke (1,2) C adalah lintasan parabola dengan persamaan y=2x2 dari titik (0,0) ke (1,2) Tentukanlah skalar potensial dari medan vektor tersebut

Pada lintasan ini y = 2x dy = 2 dx

Pada lintasan ini y = 2x2 dy = 4x dx

Pencarian skalar potensial

INTEGRAL LUAS Diberikan permukaan S dalam ruang, untuk S yang terbuka (bermuka dua), vektor tegak lurus S memiliki dua arah, arah positif dan negatif Sebuah vektor satuan n disebarang titik dari S disebut satuan normal positif jika arahnya keatas dalam kasus ini.

Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari permukaan S dapat dibayangkan adanya sebuah vektor permukaan dS yang besarnya sama dengan dS dan arahnya sama dengan n (normal) sehingga vektor permukaan dS adalah : dS = n dS

Sehingga integral permukaan (fluks) akibat sebuah skalar fungsi (medan vektor Q) pada sebuah permukaan S adalah :

Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat dua dari proyeksinya.

Misalkan Sampel mempunyai proyeksi R pada bidang xy, xz dan yz maka integral permukaan :

Untuk permukaan f(x,y,z)=C, maka  f merupakan vektor tegak lurus permukaan f(x,y,z)=C

Contoh Hitunglah integral permukaan dengan Q = xy i - x2 j + (x+z) k dan S adalah bagian bidang 2x + 2y + z = 6 yang terletak dikuadran pertama

INTEGRAL VOLUME Integral Volume (ruang) akibat sebuah medan(A) pada sebuah permukaan tertutup didalam ruang yang menutupi sebuah volume V adalah :

Contoh Diberikan A = 45 x2y dan V merupakan volume ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang 4x + 2y + z = 8, x=0 y=0 z=0 hitunglah integral volumenya