Morphologi

Tujuan Memberikan pemahaman kepada mahasiswa mengenai kegunaan morphologi matematika dalam pengolahan citra, konsep dasar morphology (himpunan dan operasi logika), serta operasi-operasi dasar morphology pada citra biner (dilasi, erosi, opening, closing, dan transformasi hit-or-miss).

Gambaran Umum Morphologi matematika adalah alat untuk mengekstrak komponen citra yang berguna untuk representasi dan deskripsi bentuk region, seperti boundaries, skeletons, dan convex hull. Morphologi juga digunakan untuk pra-pemrosesan dan paska-pemrosesan, seperti filtering, thinning, dan pruning.

Teori Himpunan Misal A adalah himpunan dalam Z2. Jika a=(a1,a2) adalah elemen dari A, maka dituliskan a  A. Jika a bukan elemen A, dituliskan a A. Himpunan dispesifikasikan dengan tanda kurung {.} yang didalamnya berisi elemen-elemen himpunan. Elemen himpunan adalah koodinat piksel yang merepresentasikan objek atau fitur lain dalam citra. Pada citra biner, himpunan adalah anggota dari ruang integer Z2 2-D, dimana setiap elemen dari himpunan adalah tuple (vektor 2-D ) berupa koordinat (x,y) dari titik hitam (atau putih, tergantung konvensi yang digunakan) dalam citra.

Teori Himpunan Citra digital gray-scale dinyatakan sebagai himpunan yang komponen-komponennya berada dalam Z3. Dua komponen menyatakan koordinat piksel, dan komponen ketiga menyatakan tingkat keabuan. Jika tiap elemen dari himpunan A adalah juga elemen dari himpunan B, maka A adalah subset dari B, dan dituliskan AB. Union himpunan A dan B, dinyatakan dengan C=AB, adalah himpunan dari semua elemen anggota A, B, atau keduanya. Irisan A dan B, dinyatakan dengan D=AB, adalah himpunan dari semua elemen yang merupakan anggota A dan B.

Teori Himpunan Ac = {w | w  A}. A-B = {w | w  A, w  B} = A  Bc. Dua himpunan A dan B disebut disjoint atau mutually exclusive jika kedua himpunan tersebut tidak memiliki elemen bersama. Dalam kasus ini, AB=. Complement himpunan A adalah himpunan elemen yang bukan anggota A : Ac = {w | w  A}. Selisih dua himpunan A dan B, dinyatakan dengan A-B, memiliki definisi : A-B = {w | w  A, w  B} = A  Bc. Refleksi dari himpunan B, dinyatakan dengan denoted , memiliki definisi : Translasi dari himpunan A dengan titik z=(z1, z2), dinyatakan dengan (A)z, memiliki definisi : (A)z = {c | c = a+z, for a  A}

Teori Himpunan

Teori Himpunan

Operasi Logika untuk Citra Biner

Dasar proses morfologi Dilasi membesar, meluas, melebar Erosi pengikisan

Dilasi Dilasi A dengan B didefinisikan : Dan bisa ditulis dengan : Himpunan B disebut “structuring element” dalam dilasi. “structuring element” B dipandang sebagai “convolution mask”. Meskipun dilasi didasarkan pada operasi himpunan, sementara konvolusi didasarkan pada operasi aritmetika, proses dasar “flipping” B di sekitar titik pusat dan menggerakkan B sehingga menelusuri pinggiran dari himpunan A, adalah analog dengan proses konvolusi.

Dilasi

Dilasi

Erosi Erosi A dengan B didefinisikan dengan : Dilasi dan erosi adalah bersifat duals satu sama lain berkaitan dengan komplemen dan refleksi. Yaitu : Dilasi memperbesar citra, sedangkan erosi menyusutkan citra.

Erosi

Erosi

Opening dan Closing Opening menghaluskan batas (contour) objek, mematahkan jembatan yang sempit, menghilangkan tonjolan yang tipis. Closing juga menghaluskan contour objek, tetapi kebalikan dari opening, closing menggabungkan jembatan yang sempit dan jurang sempit yang panjang, menghilangkan lubang-lubang kecil dan mengisi celah di dalam contour.

Opening dan Closing Opening dari himpunan A dengan “structuring element” B didefinisikan : Closing dari himpunan A dengan “structuring element” B didefinisikan :

Opening dan Closing

Opening dan Closing

Opening dan Closing

Opening dan Closing

Transformasi Hit-or-Miss

Transformasi Hit-or-Miss Jika B menyatakah himpunan yang tersusun atas X dan backgroundnya, pencocokan (Hit-or-Miss) dari B dalam A adalah : Kita bisa mengeneralisasi notasi dengan menyatakan B=(B1, B2), dengan B1 adalah himpunan yang dibentuk dari anggota B yang mewakili objek dan B2 adalah himpunan yang elemennya adalah anggota B yang mewakili background. B1=X dan B2=(W-X). Notasinya menjadi :

Transformasi Hit-or-Miss Alasan penggunaan “structuring element” B1 berkaitan dengan objek dan elemen B2 berkaitan dengan background didasarkan pada asumsi bahwa dua atau lebih objek hanya berbeda jika objek-objek tersebut membentuk himpunan yang disjoint (disconnected). Hal ini memerlukan bahwa tiap objek memiliki sedikitnya background dengan tebal satu piksel di sekitarnya. Pada beberapa aplikasi, kita tertarik untuk mendeteksi pola-pola tertentu (kombinasi dari 1 dan 0) yang ada dalam himpunan, dimana background tidak diperlukan. Dalam kasus ini, transformasi hit-or-miss bisa direduksi ke proses erosi yang lebih sederhana.

Tujuan Memberikan pemahaman kepada mahasiswa tentang beberapa algoritma pengolahan citra yang menggunakan operasi morphologi, yaitu ekstraksi boundary, ekstraksi connected component, region filling, thinning, thickening, skeletonizing dan pruning.

Algoritma Morphologi Dasar Berkaitan dengan citra biner, aplikasi prinsip dari morphologi adalah mengekstrak komponen-komponen citra yang berguna dalam representasi dan deskripsi bentuk, seperti ekstrak boundary, connected components, convex hull, dan skeleton dari suatu region. Aplikasi lain dari morphologi adalah untuk filling, thinning, thickening, dan pruning suatu region, serta untuk pra-proses dan paska-proses.

Ekstraksi Boundary Boundary dari himpunan A bisa didapatkan dengan : B adalah “structuring element” yang sesuai.

Ekstraksi Boundary

Ekstraksi Boundary

Region Filling Dimulai dari satu titik p di dalam boundary, tujuannya adalah mengisi keseluruhan region dengan 1. Jika digunakan konvensi bahwa semua titik non-boundary dilabeli 0, maka kita memberi nilai 1 pada p untuk memulai. Prosedur berikut akan mengisi region dengan nilai 1 : dengan X0=p, dan B adalah “symmetric structuring element”. Algoritma berhenti pada iterasi ke k, jika Xk=Xk-1. Union Xk dan A adalah himpunan isi region dan boundary-nya.

Region Filling

Region Filling

Ekstraksi “Connected Component” Ekstraksi “connected component” dalam citra biner adalah sentral dari beberapa aplikasi analisis citra terotomasi. Misal Y menyatakan “connected component” yang berada dalam himpunan A dan diasumsikan bahwa titik p dari Y diketahui. Ekspresi iteratif berikut akan menghasilkan semua elemen Y: dengan X0=p, dan B adalah “structuring element” yang sesuai. Jika Xk=Xk-1, algoritme telah konvergen dan memberikan hasil Y=Xk.

Ekstraksi “Connected Component”

Ekstraksi “Connected Component”

Convex Hull Himpunan A dikatakan convex jika garis lurus yang menghubungkan sembarang dua titik di dalam A terletak seluruhnya di A. Convex hull H dari sembarang himpunan S adalah himpunan convex terkecil yang berisi S. Himpunan selisih H-S disebut “convex deficiency” dari S. Misal Bi, i=1,2,3,4 menyatakan empat buah “structuring elements”. Prosedur pencarian convex hull terdiri dari implementasi persamaan berikut : dengan . Misalkan , dimana subskrip “conv” menunjukkan konvergensi yang dinyatakan dengan . Convex hull dari A adalah :

Convex Hull

Convex Hull Dengan catatan: Kita menggunakan implementasi yang disederhanakan dari transformasi hit-or-miss dimana pencocokan background tidak diperlukan.

Thinning Thinning dari himpunan A dengan “structuring element” B didefinisikan dengan : Seperti pada kasus penentuan convex hull, kita hanya tertarik pada pencocokan pola dengan “structuring elements”, jadi tidak diperlukan operasi background dengan transformasi “hit-or-miss”. Ekspresi untuk melakukan thinning secara simetris terhadap A dilakukan dengan serangkaian “structuring element” berikut :

Thinning dengan Bi adalah versi Bi-1 yang sudah dirotasi. Kita bisa mendefinisikan thinning menggunakan serangkaian “structuring elements” berikut : Prosesnya adalah menguruskan A satu pass dengan B1, selanjutnya menguruskan hasilnya satu pass dengan B2, dan selanjutnya, sampai A dikuruskan satu pass dengan Bn. Keseluruhan proses diulang sampai tidak ada lagi perubahan yang terjadi.

Thinning

Thickening Thickening adalah operasi dual dari thinning dan didefinisikan dengan ekspresi berikut : B adalah “structuring element” yang sesuai untuk thickening. Sebagaimana halnya thinning, thickening bisa didefinisikan sebagai serangkaian operasi :

Thickening “Structuring element” yang digunakan untuk thickening memiliki bentuk yang sama seperti yang digunakan untuk thinning, dengan semua 1 dan 0 ditukar. Algoritma terpisah untuk thickening jarang digunakan. Prosedur yang biasanya dipakai adalah menguruskan background dan selanjutnya menghitung komplemen terhadap hasilnya. Dengan kata lain, menebalkan himpunan A bisa dilakukan dengan membentuk C=Ac, menguruskan C dan selanjutnya membentuk Cc.

Thickening

Skeletons Skeleton dari A bisa diekspresikan berkaitan dengan erosi dan opening : dengan : B adalah “structuring element” dan (AkB) menunjukkan k erosi berurutan terhadap A : k kali, dan K adalah langkah iterasi terakhir sebelum A dierosi menjadi himpunan kosong.

Skeletons S(A) didapat dengan melakukan union terhadap subsets skeleton Sk(A). Dan A bisa direkonstruksi dari subset-subset ini menggunakan persamaan : dengan menyatakan k dilasi berurutan terhadap Sk(A); yaitu :

Skeletons

Skeletons

Pruning Metode pruning adalah prosedur tambahan yang diperlukan oleh algoritma thinning dan skeletonizing, karena algoritma thinning dan skeletonizing seringkali menghasilkan komponen-komponen parasit yang harus dibersihkan dengan suatu proses lain.

Pruning

Pruning Persamaan untuk pruning :

Referensi Bab 9, “Morphological Imag Processing”, Digital Image Processing, edisi 2, Rafael C. Gonzales dan Richard E. Woods, Prentice Hall, 2002