EKIVALEN Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli /04/20151design by budi murtiyasa 2008

E K I V A L E N Rank, OBE/OKE, Matriks Ekivalen, Bentuk Kanonik, Matriks Elementer, Dekomposisi A = LU, Bentuk Normal

Rank : dimensi dari submatriks yang terbesar yang determinannya tidak nol RANK / PANGKAT A = Dengan menghilangkan kolom keempat diperoleh submatriks : = 0 Tetapi, jika dari A menghilangkan kolom pertama diperoleh submatriks : = – 8 ≠ 0 Karena submatriks yang determinannya tidak nol ini berdimensi 3, maka rank dari A, ditulis r(A) = 3.

Berapakah rank-nya ? A = B = C = D = E = Matriks persegi, yang determinannya tidak nol dikatakan mempunyai rank penuh, atau matriks nonsingular. Matriks D dan E dalam contoh diatas mempunyai rank penuh atau nonsingular. r(A) = 2 r(B) = 1 r(C) = 2 r(D) = 3 r(E) = 3

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) TipeSimbolarti I H ij (A) Menukar baris ke i dengan baris ke j dari matriks A II H i(k) (A) Mengalikan baris ke i dengan skalar k ≠ 0 III H ij(k) (A) Mengalikan baris ke j dengan skalar k ≠ 0, kemudian hasilnya ditambahkan kepada baris ke i. Terhadap suatu matriks A dapat dilakukan manipulasi anggotanya dengan melakukan operasi baris elementer (OBE). A = H 13 (A) = H 3(-1) (A) = H 12(-2) (A) =

OPERASI KOLOM ELEMENTER (OKE) TipeSimbolarti I K ij (A) Menukar kolom ke i dengan kolom ke j dari matriks A II K i(k) (A) Mengalikan kolom ke i dengan skalar k ≠ 0 III K ij(k) (A) Mengalikan kolom ke j dengan skalar k ≠ 0, kemudian hasilnya ditambahkan kepada kolom ke i. Terhadap suatu matriks A dapat dilakukan manipulasi anggotanya dengan melakukan operasi kolom elementer (OKE). A = K 24 (A) = K 3(4) (A) = K 41(1) (A) =

Terhadap suatu matriks dapat dilakukan berturut-turut sederetan OBE dan/atau OKE A = H 3(-2) H 43(1) H 21(-3) H 31(2) = B Perhatikan bahwa dengan lima kali OBE secara berturutan terhadap A diperoleh matriks baru, misalnya B. Jadi dalam hal ini : (A) H 3(-2) H 43(1) H 21(-3) H 31(2) = B Matriks B yang diperoleh dari A dengan melakukan OBE/OKE disebut matriks-matriks yang ekivalen, dinotasikan A ~ B ~ ~ ~ ~ H 41 H 41 ~

Perhatikan kembali : (A)H 3(-2) H 43(1) H 21(-3) H 31(2) = B Dengan sederetan OBE, A dapat di bawa menjadi matriks baru B. Sebaliknya, tentu juga ada sederetan OBE yang dapat membawa B kembali ke matriks A. B = H 41 H 41 H 31(-2) H 21(3) H 43(-1) H 3(-1/2) ~ ~ ~ ~ ~ = A Jadi dengan sederetan OBE : (B) H 41 H 31(-2) H 21(3) H 43(-1) H 3(-1/2) = A Ini berarti B ekivalen A, ditulis B ~ A Karenanya operasi OBE (OKE) mempunyai invers (kebalikan).

Perhatikan : (A)H 3(-2) H 43(1) H 21(-3) H 31(2) H 41 = B Sebaliknya, (B) H 41 H 31(-2) H 21(3) H 43(-1) H 3(-1/2) = A Dapat di amati bahwa invers OBE adalah : OBEInvers OBE H ij = H ij H i(k) = H i(1/k) H ij(k) = H ij(-k) Analogi, invers OKE : OKEInvers OKE K ij = K ij K i(k) = K i(1/k) K ij(k) = K ij(-k)

P = H 21(1) ~ H 31(- 2) ~ K 32(5) = Q ~ Sebaliknya, mudah diamati bahwa : Q = K 32(-5) H 31(2) H 21(-1) = P ~ ~ ~ Dalam hal ini P ~ Q atau Q ~ P. Relasi ekivalen ( ~ ) suatu matriks memenuhi sifat : 1. refleksif, A ~ A 2. simetri,A ~ B, maka B ~ A 3. transitif,A ~ B, dan B ~ C, maka A ~ C Dua matriks yang ekivalen mempunyai rank yang sama

Matriks Elementer : Matriks elementer adalah matriks identitas yang sudah mengalami satu kali OBE (atau satu kali OKE) Misalnya I = Matriks Elementer (baris) H 12 (I) = H 3(-2) (I) = H 23(-1) = Matriks Elementer (kolom) K 13(1) (I) = K 2(-3) (I) = K 32 (I) = = E 12 = E 3(-2) = E 23(-1) = F 13(1) = F 2(-3) = F 32

Karena OBE/OKE mempunyai invers, maka matriks elementer tentu juga mempunyai invers Matris elementer (baris)Invers matriks elementer (baris) E ij = E ij E i(k) = E i(1/k) E ij(k) = E ij(-k) Matris elementer (kolom)Invers matriks elementer (kolom) F ij = F ij F i(k) = F i(1/k) F ij(k) = F ij(-k)

Apa keistimewaan matriks elementer ? A = I 3 = H 31 (A) = E 31 = E 31 A = == H 31 (A) H 21(-1) (A) = E 21(-1) = E 21(-1) A = = = H 21(-1) (A) Jadi : H 31 (A) = E 31 A H 21(-1) (A) = E 21(-1) A OBE identik dengan penggandaan di depan dengan matriks elementer dengan tipe yang sama

A = K 3(-2) (A) = I 4 = F 3(-2) = A F 3(-2) = = K 14(1) (A) = F 14(1) = A F 14(1) = = = K 3(-2) (A) = K 14(1) (A) Jadi : K 3(-2) (A) = A F 3(-2) K 14(1) (A) = A F 14(1) OKE identik dengan penggandaan di akhir (belakang) dengan matriks elementer dengan tipe yang sama

P = H 21(1) ~ H 31(- 2) ~ K 32(5) = Q ~ K 32(5) H 31(- 2) H 21(1) (P) Dalam hal ini : Atau bisa juga dengan matriks elementer : P E 21(1) E 31(-2) F 32(5) = Q =

Dengan O B E dapat :keterangan Mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris Rank matriks dapat dilihat dari banyaknya baris yang tidak nol dari bentuk eselon Mendekomposisi (memfaktorkan) matriks A menjadi A = LU L : matriks segitiga bawah U : matriks eselon Mereduksi matriks menjadi reduced row echelon form --- bentuk eselon baris tereduksi (EBT) Eselon baris tereduksi (EBT) adalah bentuk eselon dengan syarat : a. Elemen pivot harus 1, b. Elemen pivot merupakan satu-satunya unsur yg tidak nol pada kolom di mana elemen pivot berada Dari bentuk EBT, jika diteruskan dengan OKE, suatu matriks dapat di bawa nenjadi bentuk normal. Bentuk normal (N) suatu matriks kemungkinannya salah satu dari bentuk : IrIr (I r 0) atau dengan r menyatakan rank dari matriks.

MEREDUKSI MATRIKS MENJADI BENTUK ESELON Ingat kembali tentang matriks eselon : 1. setiap baris yang semua unsurnya nol terletak sesudah baris yang mempunyai unsur tidak nol; 2. pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya Reduksi menjadi bentuk eselon, dan berapa rank nya ? A = H 21(1) H 31(2) H 32(-1) = U Jadi bentuk eselon dari A adalah : U = Karena bentuk eselon U mempunyai tiga baris yang tidak nol, maka r(U) = 3, dan tentu juga r(A) = 3. ~ ~~

Reduksi menjadi bentuk eselon untuk matriks : B = H 21(2) H 31(1) H 32(-1) = U Bentuk eselon dari B adalah U = Rank dari B adalah r(B) = 2 ~ ~ ~ Reduksi menjadi bentuk eselon untuk matriks : C = H 21(-3) H 31(-2) H 41(-1) H 32(-1) H 42(-1) = U Jadi r(C) = 2 ~ ~ ~ ~ ~

Cari bentuk eselon daro matrik : A = ~ ~ r(A) = 2

DEKOMPOSISI MATRIKS A = L U Untuk sembarang matriks A dengan melakukan OBE tipe II dan III, matriks A tersebut dapat di dekomposisi sebagai A = L U, dengan L matriks segitiga bawah, dan U matriks eselon. Jika A matriks persegi, maka U ini adalah matriks segitiga atas. Dekomposisikan matriks A = LU, jika : A = H 21(2) H 31(-3) H 32(1) = U ~ ~~ Ini berarti bahwa : (A)H 21(2) H 31(-3) H 32(1) = U AE 21(2) E 31(-3) E 32(1) = U PA P -1 P A A=U =U =A (E 32(1) E 31(-3) E 21(2) ) -1 (E 32(1) ) -1 (E 21(2) ) -1 (E 31(-3) ) -1 U A =E 21(-2) E 31(3) E 32(-1) U= L L = U Jadi = dan U = A = L U

Dekomposisikan menjadi A = LU, jika : A = H 21(1) H 31(2) H 41(1) H 32(1) H 42(2) H 43(-1) = U ~ ~~~ ~~ H 43(-1) H 42(2) H 32(1) H 41(1) H 31(2) H 21(1) (A)= U A E 21(1) E 31(2) E 41(1) E 32(1) E 42(2) E 43(-1) Jadi L =E 21(-1) E 31(-2) E 41(-1) E 32(-1) E 42(-2) E 43(1) L = = Jadi : dan U= A = L U

MEREDUKSI MATRIK MENJADI BENTUK ESELON BARIS TEREDUKSI (EBT) Bentuk EBT adalah bentuk eselon yang : a. Elemen pivot harus 1, b. Elemen pivot merupakan satu-satunya unsur yg tidak nol pada kolom di mana elemen pivot berada Reduksi A = menjadi bentuk EBT ! Solusi : langkah awal, bawa A menjadi bentuk eselon terlebih dahulu, kemudian teruskan dengan OBE sehingga dua syarat di atas dipenuhi. A = H 21(1) H 31(2) H 32(-1) H 1(-1) H 12(2) H 13(-3) H 23(-2) Jadi bentuk EBT dari A adalah : ~ ~ ~ ~ ~

Oleh karena itu, untuk sembarang matriks A, maka dengan OBE dan OKE dapat di bawa menjadi bentuk normal N, sedemikian hingga : A Di mana P adalah hasil penggandaan (perkalian) matriks elementer baris dan Q adalah hasil penggandaan matriks elementer kolom. Bergantung pada cara melakukan OBE dan OKE, banyaknya matriks P dan Q tidak tunggal. Tetapi setiap P mempunyai tepat satu pasangan Q sehingga P A Q = N. Telah diketahui dari bentuk EBT, jika diteruskan dengan OKE, suatu matriks dapat di bawa nenjadi bentuk normal. Bentuk normal (N) suatu matriks kemungkinannya salah satu dari bentuk : IrIr (I r 0)atau AH p.. H 3 H 2 H 1 K 1 K 2 K 3.. K Q = N AE p.. E 3 E 2 E 1 F 1 F 2 F 3.. F Q = N P Q

Bagaimana mendapatkan matriks P dan Q sehingga P A Q = N ? Karena P merupakan hasil penggandaan matriks elementer baris, maka P dapat dicari dengan jalan melakukan OBE terhadap I (identitas) dengan tipe OBE yang sama terhadap A sedemikian hingga A tereduksi menjadi bentuk eselon atau bentuk eselon baris tereduksi (EBT). Pada saat A tereduksi menjadi bentuk eselon atau bentuk EBT, maka I (identitas) akan tereduksi menjadi matriks baru, yaitu matriks P. Sedangkan Q merupakan hasil penggandaan matriks elementer kolom, maka Q dapat dicari dengan jalan melakukan OKE terhadap I (identitas) dengan tipe OKE yang sama terhadap A (yang telah tereduksi menjadi U), sedemikian hingga U ini tereduksi menjadi bentuk normal N. Pada saat U tereduksi menjadi bentuk normal N, maka I (identitas) akan Tereduksi menjadi matriks baru, yaitu matriks Q. Jadi (A | I) ~ (U | P) Jadi~

Cari matriks P dan Q sehingga PAQ = N, jika A = Solusi : (A | I 3 ) = H 21(3) H 31(-2) H 32(1) = (U | P) = H 1(-1) H 12(1) K 21(1) K 43(2) K 23 = = ~ ~ ~~ ~ ~

Jadi P = danQ = sertaN = Dapat di cek kebenarannya bahwa : P A Q = N Dari bentuk normalnya, dapat diketahui bahwa rank dari A adalah r(A) = 2. Cari bentuk normal dari matriks B = Solusi : (B | I 3 ) = H 21(-1) H 31(2) H 3(-1/2) = (U | P) ~ ~

= K 21(-2) K 31(-2) ~= Jadi P = Q = dan N = = I 3 Dapat ditunjukkan bahwa PBQ = N = I. Perhatikan kembali bahwa B =Dapat dihitung det(B) = - 2 ≠ 0 Ini berarti r(B) = 3. Amati bahwa B matriks persegi dengan determinan ≠ 0, atau matriks B nonsingular, serta matriks B ini mempunyai bentuk normal berupa matriks I. Dengan kata lain, B ekivalen dengan matriks I.

Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol), maka matriks A ekivalen dengan matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks P dan Q sehingga PAQ = I Perhatikan kembali kasus matriks B, di atas, yaitu : (B | I 3 ) = H 21(-1) H 31(2) H 3(-1/2) = (U | P) Sampai di sini bisa saja diteruskan melakukan OBE, sehingga : H 12(-2) H 13(-2) = (I 3 | P) = (N | P) Amati bahwa B matriks persegi nonsingular, dengan hanya melakukan OBE, matrik B dapat direduksi menjadi bentuk normal N = I. ~ ~ ~ ~

Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol), dengan hanya melakukan OBE maka matriks A dapat direduksi menjadi matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks P sehingga PA = I Jika A adalah matriks persegi yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol), dapat juga ditunjukkan bahwa hanya melakukan OKE maka matriks A dapat direduksi menjadi matriks I (identitas). Atau dengan kata lain, selalu ada matriks Q sehingga A Q = I Dari uraian tersebut dapat disimpulkan, jika A matriks persegi nonsingular, selalu ada matriks nonsingular P dan Q sedemikian hingga : 1. P A Q = I(melakukan OBE dan OKE terhadap A) 2. P A = I(hanya melakukan OBE terhadap A) 3. A Q = I(hanya melakukan OKE terhadap A)