Fungsi Linier, Sistem Persamaan Linier (SPL), Fungsi Kuadrat dan Fungsi Eksponen

Pengantar Variabel dapat dibedakan menjadi 2, yaitu : Variabel kualitatif (sifatnya tidak tetap, berubah-ubah, yang tidak dapa diukur seperti cita rasa, kepuasan) dan kuantitatif (sifatnya tidak tetap, berubah-ubah, yang dapat diukur seperti kilogram, unit, jam, rupiah). Variabel kuantitatif dibedakan menjadi 2, yaitu : variabel kontinyu/continuous (variabel kuantitatif yang dapat diukur sampai dengan bilangan yang sekecil-kecilnya atau pecahan; seperti : ukuran satuan volume, berat, panjang, waktu, uang, dsb) dan diskrit/discrete (variabel kuantitatif yang hanya dapat diukur dengan bilangan-bilangan bulat tidak mungkin dengan pecahan; seperti : orang, ternak dan sepatu, dsb).

Yang dimaksud dengan fungsi adalah hubungan antara dua buah variabel atau lebih dan saling mempengaruhi. Contoh : y = f (x) atau z = f (x,y). x, y dan z disebut variabel. Dalam suatu fungsi, variabel dibedakan sebagai variabel bebas (independent variables) yang besarannya dapat ditentukan sembarang, dan variabel tidak bebas/dipengaruhi (dependent variables) yang besarannya dapat ditentukan setelah nilai variabel bebasnya ditentukan terlebih dahulu. Contoh : y = 3x + 4, bila x = 0 maka y = 4. Fungsi aljabar mencakup fungsi-fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pangkat banyak dan pecah; serta fungsi eksponensial dan fungsi logaritma. Nilai fungsi adalah besaran atau nilai dari y fungsi tersebut (nilai dari variabel dependent) Contoh : y = f (x) adalah y = 3x + 4; jika x=3 maka y=13

(p1,q1),(p2,q2),…,(pn,qn) ada n pasangan bilangan Suatu himpunan pasangan bilangan teratur (HPBT) yang disebut diatas merupakan “binary relation”, yaitu hubungan dua hal, untuk selanjutnya disebut hubungan basis dua (HBD). Himpunan elemen pertama suatu hubungan binari disebut domain, himpunan elemen kedua disebut range. Fungsi adalah suatu hubungan dimana untuk setiap elemen dalam domain bersesuaian hanya dengan satu elemen dalam range. Fungsi merupakan subset dari hubungan, artinya semua fungsi merupakan hubungan, akan tetapi tidak semua hubungan merupakan fungsi.

Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang hubungan antara variabel independent dan dependent_nya dapat dibedakan dengan jelas. contoh : z = f (x,y) adalah z = 2x + y2 + 3 ; maka : x dan y adalah variabel independent dan z adalah variabel dependent_nya. Fungsi implisit adalah fungsi yang antara variabel independent dan dependent_nya tidak dapat dibedakan dengan jelas. contoh : f (x,y) = 0 adalah 2x + 3y – 5 = 0 f (x,y,z) = 0 adalah 2x + y – 3z + 4 = 0 Koordinat diperlukan untuk menggambarkan grafik atau fungsi dalam bidang datar melalui titik asal (origin point) sebagai titik tolak pengukuran yang disebut koordinat dengan absis pada sumbu horizontal (x) dan ordinat pada sumbu vertikal (y). Contoh : fungsi y = 2x + 1, koordinat !?

1. Fungsi Linier Bentuk Umum dari fungsi linier : ax + by + c = 0 dimana a, b dan c adalah konstan dengan ketentuan bahwa a dan b bersama-sama tidak bernilai nol (a≠0, b≠0). Fungsi linier atau fungsi garis lurus adalah suatu fungsi yang variabel bebasnya berpangkat/berordo/berderajat satu. Menggambar grafik fungsinya dengan menggunakan tabel x dan y (curve tracing process) contoh : y = 3x + 2 coba gambar grafiknya ...!? x -2 -1 1 2 y -4 5 8

Grafik fungsi linier dapat digambarkan dengan mengunakan ciri-ciri penting, yaitu : Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka y = 2, dengan titik koordinat A (0.2) Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = -2/3, dengan titik koordinat B (-2/3,0). Koefisien arah dari fungsi yaitu angka perbandingan dari perubahan y dengan perubahan x atau = 3, atau sama dengan a (dari ax). Contoh : coba gambarkan grafik dari y = -2x + 3 ...!? Gradien (m), setiap garis lurus mempunyai arah. Arah suatu garis lurus ditunjukkan oleh gradien garis sebagai tangens dari sudut (tg) yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x.

Gradien garis : y = ax + c  gradien : m = a Ax + By + C = 0  gradien : m = - A B Gradien melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)  m = y2-y1 x2-x1 Jenis-jenis Fungsi :

Fungsi Aljabar adalah fungsi yang menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan penarikan akar. Fungsi Transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Fungsi Irrasional adalah fungsi bukan rasional, contoh : y = √x + 2 Fungsi Kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua (fungsi berderajat dua). y = a0 + a1x + a2x2; a2 ≠ 0 Fungsi Kubik adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah tiga (fungsi berderajat tiga). y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3; a3 ≠ 0 Fungsi Pangkat adalah fungsi yang fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. y = xn; n = bilangan nyata bukan nol.

Fungsi Pecah adalah fungsi yang berbentuk pecahan. contoh : y = x – 1 3x – 1 Fungsi Eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. Contoh  y = nx; n > 0 Fungsi Trigonometrik adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goniometrik . contoh  y = sin x Fungsi Hiperbolik adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan trigonometrik. contoh  y = arc cos x

Cara Penulisan Fungsi Persamaan Garis Fungsi explisit : y = f(x) Fungsi implisit : f(x, y) = 0 Fungsi parameter : x = f(t) y = g(t); t = parameter Persamaan Garis Bentuk dua titik, melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) ; adalah: x – x1 = y – y1 atau x – x1 = y – y1 x1 – x2 y1 – y2 x2 – x1 y2 – y1 Bentuk penggal garis, melalui titik (a,0) dan (0,b) adalah bx + ay = ab Bentuk gradien – titik, melalui gradien m dan titik (a,b); adalah : y – b = m (x – a)

Grafik Fungsi Linier

Hubungan Dua Garis Dua buah garis lurus yang terletak di satu bidang kemungkinannya dapat saling berimpit, sejajar, tegak lurus dan berpotongan satu sama lainnya. Misal garis g mempunyai gradien mg dan garis h mempunyai gradien mh , maka : a. Jika mg = mh maka garis g sejajar garis h b. Jika mg x mh = -1,maka g berpotongan tegak lurus h. c. Jika mg ≠ mh maka g berpotongan dengan h. Jika  adalah sudut yang dibenyuk garis g dan h, maka tg  = mg - mh g 1 + (mg x mh)  h Dua garis lurus akan berimpit jika persamaan garis yang satu merupakan kelipatan persamaan garis yang lain.

Misal persamaan garis g : Ax + By + C = 0 garis h : Px + Qy + R = 0 a. Jika A = B ≠ C ; maka g sejajar h P Q R b. Jika A = B = C ; maka g berimpit h c. Jika A = B ; maka g berpotongan dengan h P Q

2. Sistem Persamaan Linier (SPL) Metode substitusi Dalam metode substitusi variabelnya dari salah satu persamaan dinyatakan dalam variabel lain. Kemudian variabel yang dinyatakan itu disubstitusikan ke dalam persamaan lain. Contoh : 3x + 2y = 8 dan 2x - 4y = 0 ; berapakah nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan ? Pers (2) : 2x = 4y  x = 2y , substitusikan ke pers (1). 3 (2y) + 2y = 8  8y = 8  y = 1, maka x = 2 Metode eleminasi dalam metode eleminasi salah satu variabelnya di eleminasi atau dihilangkan dengan cara mengurangkan persamaan yang ada.

Contoh : dua buah buku dan tiga pensil harganya Rp Contoh : dua buah buku dan tiga pensil harganya Rp.525,- lima buah buku dan dua batang pensil harganya Rp.900,-. Berapa harga sebuah buku dan sebatang pensil ...? Misal : harga sebatang pensil = x dan sebuah buku = y 3x + 2y = 525 x 2 6x + 4y = 1.050 2x + 5y = 900 x 3 6x + 15y = 2.700 – 11y = 1650  y = 150 3x = 525 – (2 x 150) = 225  x = 225/3 = 75. Jadi harga sebuah buku dan sebatang pensil : 150 + 75 = Rp.225,- Coba kerjakan : Jika x dan y memenuhi persamaan 2 + 1 = 1 & 1 – 2 = 8 x y x y

maka 1 = ... ? (x + y) Jawab : misal 1 = p dan 1 = q x y Pers (1) : 2p + q = 1 x2 4p + 2q = 2 Pers (2) : p - 2q = 8 x1 p - 2q = 8 + 5p = 10  p = 2 2q = 2-8  q = -3 p = 2  x = ½ q = -3  y = -1/3 Jadi 1 = 1 = 1 = 6 (x + y) ½ - 1/3 1/6

Metode distribusi (determinan)

Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)