GRUP SIKLIK

Definisi IV. 1 Misalkan a sebarang anggota dari grup < G,. > Definisi IV.1 Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, . >. Didefinisikan : a1 = a a2 = a . a a3 = a . a . a dan secara induksi, untuk sebarang bilangan bulat positif k, ak+1 = a . ak .

Definisi IV.2 Perjanjian bahwa a0 = e dan untuk sebarang integer positif n berlaku a-n = ( a-1 )n = ( a-1 )( a-1 ) …( a-1 ) sebanyak n faktor. Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa an am = am+n (am )n = a mn . Jika ab = ba maka ( ab ) n = an bn . Catatan : Biasanya ( ab ) n  an bn . Jika a b = b a maka ( ab ) n = an bn.

Definisi IV. 3 Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, + > Pergandaan n . a didefinisikan sebagai berikut : 1. a = a 2. a = a + a 3. a = a + 2 . a dan secara induksi untuk sebarang integer positif k, ( k + 1 ) . a = a + k . a . Lebih jauh, 0 . a = 0 ( elemen identitas ) - n . a = n . ( -a ) = ( -a ) + (-a ) +…+ ( -a ) sebanyak n suku.

Teorema IV.1 Misalkan < G , . > grup dan misalkan a sebarang anggota tertentu dari G. Jika ( a ) = { ak | k  Z } maka himpunan ( a ) merupakan grup bagian dari G. Definisi IV.4 Grup bagian ( a ) seperti yang didefinisikan dalam teorema di atas dinamakan grup bagian siklik yang dibangun oleh a.

Teorema IV.2 Misalkan a sebarang anggota grup < G , . > Sifat – sifat berikut ini berlaku : Jika untuk semua bilangan bulat positif m didapat am  e maka berbagai pangkat dari a akan berbeda dan (a) = { …, a-2, a-1, a0, a1, a2, … } mempunyai anggota sebanyak tak hingga. Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil m sehingga am = e maka (a) = {a1, a2, … , am } mempunyai tepat m anggota.

Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diberikan sifat-sifat berikut ini : Order dari grup G adalah banyak anggota dalam G. Grup G dikatakan abelian jika ab = ba untuk semua a, b  G. Grup G dikatakan siklik asalkan G = (a) untuk suatu anggota a dalam G yaitu G = { an | n  Z }. Berarti G dibangun oleh a. Order dari anggota a dalam suatu grup G didefinisikan sebagai banyak anggota dalam grup bagian siklik (a).

Contoh IV.1 Z6 mempunyai orde 6 karena mengandung 6 anggota yaitu 0, 1, 2, 3, 4 dan 5. Secara umum Zn mempunyai orde n. Z mempunyai orde tak hingga karena Z mempunyai tak berhingga banyak anggota. Orde dari himpunan ( i ) = { i, -1, -i, 1 } adalah 4. Grup Zn untuk n  1 merupakan grup siklik karena Zn = (1) untuk n  2 sedangkan Z1 = (0). Demikian juga Z merupakan grup siklik karena Z = (1).

Teorema IV.2 Grup berhingga G yang berorde n siklik jika dan hanya jika G mengandung suatu anggota dengan orde n.

Teorema IV.3 Jika G grup siklik maka G abelian. Bukti: Misalkan G grup siklik. Karena G siklik maka G = ( a ) untuk suatu a  G. Misalkan G = {ak | k  Z } Akan ditunjukkan bahwa xy = yx untuk setiap x, y  G. Ambil sebarang x, y dalam G. Karena x, y dalam G maka x = am dan y = an untuk suatu m dan n dalam Z, sehingga am an = a m+n dan yx = an am = a n+m = a m+n = am an = xy. Terbukti G grup abelian.

Teorema IV.4 Jika G grup siklik maka setiap grup bagian G merupakan grup siklik. Teorema IV.5 Misalkan a sebarang anggota grup G. Jika tidak ada kuasa positif dari a yang sama dengan e maka order dari a adalah  . Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil m sehingga am = e maka order dari a adalah m.

Teorema IV.6 Misalkan x sebarang anggota dari suatu grup multiplikatif G. Terdapat bilangan bulat positif k sehingga xk = e jika dan hanya jika order dari x merupakan pembagi k. Teorema IV.7 Misalkan a sebarang anggota Zn. Jika d merupakan pembagi persekutuan terbesar dari a dan n maka order dari a sama dengan n/d.

Contoh IV.2 : Untuk menentukan orde dari 36 dalam Z135, pertama-tama ditentukan terlebih dulu pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 135. Karena pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 135 adalah (36, 135) = (22. 32 ,33 .5 ) = 32 = 9. Dengan menggunakan teorema di atas orde dari 36 sama dengan n/d = 135/9 = 15. Contoh IV.3 : Himpunan Z3 = { 0, 1, 2 } grup terhadap penjumlahan modulo 3. Grup bagian dari Z3 yang dibangun oleh 0 adalah (0) = { k. 0 | k  Z } = { 0 } sehingga 0 mempunyai order 1.

LATIHAN Buktikan bahwa (a) = { ak | k  Z } merupakan grup bagian dari grup G. Buktikan bahwa setiap grup bagian dari suatu grup abelian merupakan grup abelian. Buktikan bahwa Q tidak siklik. Tentukan semua pembangkit (generator) dari grup siklik Zn di bawah operasi penjumlahan untuk n = 8, n = 10 dan n = 12.

Diketahui G grup abelian. Misalkan S = { x dalam G | orde dari x merupakan kuasa dari p } dengan p bilangan prima tertentu. Buktikan bahwa S grup bagian dari G. Jika G merupakan suatu grup sehingga x2 = e untuk semua x dalam G. Buktikan bahwa G abelian. Diketahui G grup abelian. Jika T = { x dalam G | orde x berhingga }. Buktikan bahwa T grup bagian dari G.

TERIMA KASIH