NILAI OPTIMUM DAN GARIS SELIDIK

ISTILAH DALAM PROGRAM LINIER Model Matematika Fungsi Objektif Daerah Himpunan Penyelesaian Titik pojok (vertex) Titik optimum Nilai optimum Garis Selidik

PENGERTIAN NILAI OPTIMU DAN TITIK OPTIMUM

Titik optimum adalah titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian yang mengakibatkan fungsi objektif bernilai optimum (minimum atau maximum). Nilai optimum adalah nilai fungsi objektif yang diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan titik optimum

Contoh Tentukan nilai maximum dan minimum dari fungsi objektif Z = 8X + 2Y dengan syarat X + 3Y ≤ 9; 2X + Y ≤ 8; X ≥ 0; Y ≥ 0 5

Grafik Himpunan Penyelesaian X + 3Y ≤ 9; 2X + Y ≤ 8; X ≥ 0; 8 Y ≥ 0 . 3 0 4 9 2X + Y = 8 X + 3Y = 9 y = 0 X = 0

Grafik Himpunan Penyelesaian . 3 0 4 9 X ≥ 0 2X + Y ≤ 8 X + 3Y ≤ 9 y ≥ 0

DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN 8 . 3 0 4 9 2X + Y ≤ 8 X + 3Y ≤ 9 y = 0 X = 0

Titik Pojok 8 . 3 0 4 9 2X + Y ≤ 8 A B X + 3Y ≤ 9 O C y = 0 X = 0

TITIK POJOK O (0 , 0) A (0 , 3) C (4 , 0) B  X + 3Y = 9 | x 2  2X + 6Y = 18 2X + Y = 8 | x 1  2X + Y = 8 - 5Y = 10 Y = 2 X = 3  (3 , 2)

Fungsi objektif Z = 8X + 2Y O (0 , 0)  Z = 8. 0 + 2 Fungsi objektif Z = 8X + 2Y O (0 , 0)  Z = 8.0 + 2.0  0 A (0 , 3)  Z = 8.0 + 2.3  6 B (3 , 2)  Z = 8.3 + 2.2  28 C (4 , 0)  Z = 8.4 + 2.0 32 Nilai maximum atau minimum Nilai maximum : Zmin = 32 Nilai minimum: Zmax = 0

GARIS SELIDIK

Garis selidik adalah garis-garis yang sejajar dengan fungsi objektif Garis selidik adalah garis-garis yang sejajar dengan fungsi objektif Z = aY + bY dan digunakan untuk menentukan nilai optimum dengan cara mengarahkan garis-garis tersebut ke titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian.

Contoh Tentukan nilai maximum dan minimum dari fungsi objektif Z = 8X + 2Y dengan syarat X + 3Y ≤ 9; 2X + Y ≤ 8; X ≥ 0; Y ≥ 0 14

Grafik Himpunan Penyelesaian X + 3Y ≤ 9; 2X + Y ≤ 8; X ≥ 0; 8 Y ≥ 0 . 3 0 4 9 2X + Y = 8 X + 3Y = 9 y = 0 X = 0

Grafik Himpunan Penyelesaian . 3 0 4 9 X ≥ 0 2X + Y ≤ 8 X + 3Y ≤ 9 y ≥ 0

DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN 8 . 3 0 4 9 2X + Y ≤ 8 X + 3Y ≤ 9 y = 0 X = 0

Titik Pojok 8 . 3 0 4 9 2X + Y ≤ 8 A B X + 3Y ≤ 9 O C y = 0 X = 0

TITIK POJOK O (0 , 0) A (0 , 3) C (4 , 0) B  X + 3Y = 9 | x 2  2X + 6Y = 18 2X + Y = 8 | x 1  2X + Y = 8 - 5Y = 10 Y = 2 X = 3  (3 , 2)

MENENTUKAN GARIS SELIDIK Fungsi objektif Z = 8X + 2Y Misal : Z = 8  8 = 8x + 2y  x = 0 y = 4  (0,4)  y = 0 x = 1  (1,0)

Titik Pojok 8 . 3 0 4 9 2X + Y ≤ 8 4 A B X + 3Y ≤ 9 O C y = 0 1 X = 0

NILAI OPTIMUN O (0 , 0) C (4 , 0)  Fungsi objektif Z = 8X + 2Y O (0 , 0)  Z = 8.0 + 2.0  0 C (4 , 0)  Z = 8.4 + 2.0 32 Nilai maximum : Zmin = 32 Nilai minimum: Zmax = 0

LATIHAN 1 Maher ingin membeli anak ayam dan kelinci tidak kurang dari 6 ekor. Ia mempunyai uang sebanyak Rp 50.000. Harga seekor anak ayam Rp 5.000 seekor dan sebuah pulpen Rp 10.000 perekor. Jika maher menjual kembali buku dengan keuntungan harga Rp 2.000/ekor dan ballpoint Rp 3.000, keuntungan maximum yang diperoleh adalah ….

Jawab : Misal buku tulis : x pulpen : y Model matematika:  5000x + 10000y ≤ 50.000  x + 2y ≤ 10  x + y ≥ 6  x ≥ 0  y ≥ 0

Daerah himpunan penyelesaian: Y 6 . 5 X 0 6 10  

Titik pojok A(6,0) B (10,0) C  x + 2y = 10  x + y = 6 - y = 4 x = 2   A(6,0) B (10,0) C  x + 2y = 10  x + y = 6 - y = 4 x = 2  C(2,4)

Laba maximum Fungsi objektif 2000x + 3000y = Z   Fungsi objektif 2000x + 3000y = Z A(6,0)  2000.6 + 3000.0 = 12.000 B (10,0)  2000.10 + 3000.0 = 20.000 C(2,4)  2000.2 + 3000.4 = 16.000 LABA MAXIMUM = Rp 20.000

Tentukanlah nilai tertinggi dan nilai terendah dari himpunan penyelesaian berikut jika fungsi objektif : z = 3x – 5y (5 , 4 ) (2 , 3) 2 (6,1) 3 LATIHAN 2  

Jawab: z = 3x – 5y (5 , 4 )  -5 (2 , 3)  -9 (0 , 2)  -10 (6 , 1)  13 (3 , 0)  9 Nilai tertinggi : 13 Nilai terendah : -10