1.7 Proposisi Bersyarat (implikasi) Misal p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p maka q” disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan p  q Proposisi p disebut hipotesis atau anteseden, atau premis, atau kondisi) Sedangkan proposisi q disebut konklusi atau konsekuen

Nilai kebenaran dari implikasi ditunjukkan pada tabel berikut. p q p  q T F

Implikasi p  q juga dapat dibaca sebagai: Jika p maka q ( if p then q ) Jika p, q ( if p, q ) p mengakibatkan q ( p implies q ) q jika p ( q if p ) p hanya jika q ( p only if q ) p syarat cukup agar q ( p is sufficient for q ) q syarat perlu bagi p ( q is necessary for p ) q bilaman q ( q whenever p )

Contoh 1.12 Proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur b) Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang c) Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan Achmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit Syarat cukup agar bensin terbakar adalah percikan api Syarat perlu bagi Indonesia agar bisa ikut piala dunia adalah dengan mengontrak pemain asing terkenal h) Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebang

Contoh 1.13 Ubah proposisi c) sampai h) pada contoh 1.12 ke dalam bentuk proposisi “jika p maka q” c) Jika es yang mencair di kutub maka permukaan air laut naik Jika ia diberi ongkos jalan maka orang itu mau berangkat Jika Achmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit Jika ada percikan api maka bensin menyala Jika Indonesia bisa ikut piala dunia maka Indonesia mengontrak pemain asing terkenal h) Jika hutan ditebang maka banjir bandang terjadi

Contoh 1.14 Penyelesaian Misalkan x: Anda berusia 17 tahun y: Anda dapat memperoleh SIM Nyatakan Proposisi ke dalam notasi implikasi Hanya jika anda berusia 17 tahun anda memperoleh SIM b) Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM d) Jika anda tidak memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun e) Anda tidak dapat memperoleh SIM bilaman anda belum berusia 17 tahun Penyelesaian

Penyelesaian x  y Misalkan x: Anda berusia 17 tahun y: Anda dapat memperoleh SIM Hanya jika anda berusia 17 tahun anda memperoleh SIM Anda memperoleh SIM jika anda berusia 17 tahun y  x b) Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun x  y

Nyatakan Proposisi ke dalam notasi implikasi Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun y  x d) Jika anda tidak memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun y  x e) Anda tidak dapat memperoleh SIM bilaman anda belum berusia 17 tahun x  y

Contoh 1.15 Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pq ekivalen secara logika dengan p  q Penyelesaian p q p pq pq T F

Contoh 1.16 Dari contoh 1.15 p  q  p  q (p  q)  (p  q) Tentukan ingkaran (negasi) dari p  q Penyelesaian Dari contoh 1.15 p  q  p  q (p  q)  (p  q) Hukum De Morgan  p  q

Contoh 1.16 Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan motto jitu untuk menarik pembeli. Pedagang pertama mengumbar motto “Barang bagus tidak murah”, sedangkan pedagang kedua mempunyai motto “ Barang murah tidak bagus”. Apakah kedua motto tersebut menyatakan hal yang sama? Penyelesaian: p:Barang bagus q: Barang murah Pernyataan pedagang pertama, Jika barang bagus maka tidak murah pq Pernyataan pedagang kedua, Jika barang murah maka tidak bagus qp

Dari tabel kebenaran didapat q p q p q q  p T F

1.8 Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Implikasi Jika terdapat implikasi p  q maka didapat, Konvers q  p Invers p  q Kontraposisi q p p q p q p  q q  p p  q q p T F

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa: p  q  q p q  p  p  q Contoh 1.19 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut “Jika Amir mempunyai mobil maka ia orang kaya” Penyelesaian: Misal p : Amir mempunyai mobil q : Amir orang kaya

“Jika Amir mempunyai mobil maka ia orang kaya” adalah implikasi p  q Konvers : q  p Jika Amir orang kaya maka ia mempunyai mobil Invers : p  q Jika Amir tidak mempunyai mobil maka ia bukan orang kaya Kontraposisi : q  p Jika Amir bukan orang kaya maka ia tidak mempunyai mobil

Contoh 1.20 Tentukan kontraposisi dari pernyataan: Jika dia bersalah maka dia dimasukkan ke penjara Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif c) Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar d) Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan mendapat pekerjaan itu e) Perlu ada angin agar layang-layang bisa terbang f) Cukup hari hujan agar hari ini dingin Penyelesaian:

a) Jika dia bersalah maka dia dimasukkan ke penjara Jika dia tidak bersalah maka ia tidak dimasukkan ke dalam penjara b) Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif Jika 6 bilangan negatif maka 6 tidak lebih besar dari 0 c) Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar Jika Iwan tidak belajar maka ia tidak lulus ujian

d) Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan mendapat pekerjaan itu Jika ia terlambat maka ia tidak mendapat pekerjaan itu e) Perlu ada angin agar layang-layang bisa terbang Jika tidak ada angin maka layang-layang tidak bisa terbang f) Cukup hari hujan agar hari ini dingin Jika hari tidak dingin maka hari tidak hujan

1.9 Bikondisional (Bi-Implikasi) Misal p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q” disebut bi-kondisional (bi-implikasi) dan dilambangkan dengan p  q p  q ekivalen secara logika dengan pq  qp Ekivalensi tersebut ditunjukkan pada tabel berikut. p q p  q pq qp pq  qp T F

Ada sejumlah cara untuk menyatakan bi-kondisional p  q dalam kata-kata, yaitu: p jika dan hanya jika q p if and only if q b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q p is necessary and sufficient for q c) Jika p maka q, dan sebaliknya if p then q, and conversely d) p iff q

Contoh 1.21 Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi: 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4 b) Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi. c) Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya. d) Bandung terletak di Jawa barat iff Jawa Barat adalah sebuah Provinsi di Indonesiasa.

Contoh 1.22 Tulis setiap proposisi berikut dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jika anda membeli es krim maka udara diluar panas. b) Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan banyak latihan. c) Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan. d) Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu sebaliknya e) Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya membutuhkannya

Penyelesaian Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jika anda membeli es krim maka udara diluar panas. Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas. b) Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan banyak latihan. Anda melakukan banyak latihan jika dan hanya jika anda memenangkan pertandingan. c) Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan. Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi.

d) Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu sebaliknya Mata anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi. e) Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya membutuhkannya Kereta api datang terlambat jika dan hanya jika saya membutuhkan kereta hari itu

Misal p: Di pulau ini ada emas q: Saya berkata benar Contoh 1.23 Sebuah pulau didiami oleh dua suku asli. Salah satu suku selalu berkata benar, sedangkan suku lainnya selalu berbohong. Ketika salah seorang pengunjung pulau tsb bertanya, “ Apakah di pulau ini ada emas?”, maka dijawab oleh salah satu penduduk “Di pulau ini ada emas jika dan hanya jika saya berkata benar”. Apakah ada emas di pulau tersebut? p q p  q T F Misal p: Di pulau ini ada emas q: Saya berkata benar Jawaban penduduk p  q

Ekivalensi p  q  (p  q) dapat dibuktikan Dua buah proposisi majemuk P(p, q, … ) dan Q(p, q, …) dikatakan ekivalen secara logika , dilambangkan dengan P(p, q, … )  Q(p, q, …), jika P  Q adalah tautologi Contoh 1.24 Ekivalensi p  q  (p  q) dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran. Jika p  q  (p  q) adalah tautologi, maka p  q  (p  q)

Ekivalensi tersebut ditunjukkan pada tabel berikut. q p  q (p  q) p  q  (p  q) T F

1.10 Argumen Argumen adalah rangkaian proposisi. Proposisi terakhir disebut kesimpulan. Sedangkan proposisi sebelumnya disebut hipotesa atau premis. Sebagai contoh, p1 p2 ⋮ pn ∴ q (kesimpulan) hipotesa atau premis Hipotesa atau premis dan kesimpulan disebut argumen

p1 p2 ⋮ pn ∴ q (kesimpulan) hipotesa atau premis p1  p1    pn  q

Jika semua hipotesa benar dan kesimpulan benar maka argumen dikatakan valid. Sebaliknya jika hipotesa bernilai benar dan kesimpulannya salah, maka argumen tersebut tidak valid. Berikut diberikan tuntunan untuk menentukan apakah suatu argumen dikatakan valid atau tidak valid. Tentukan hipotesa dan kesimpulan Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan Tandai baris kritis, yaitu baris yang nilai kebenaran hipotesa bernilai T (benar) Jika semua kesimpulan pada baris-baris kritis maka argumen bernilai valid. Jika ada kesimpulan pada baris kritis bernilai salah maka dikatakan argumen tidak valid

Tentukan, apakah valid atau tidak valid Penyelesaian p (qr) r Perlu diperhatikan bahwa kesimpulan suatu argumen harus mempunyai hubungan dengan premis-promisnya. Kita tidak dapat menarik kesimpulan dari suatu argumen jika kesimpulan tidak terkait dengan premis-premisnya. Contoh 1.25 Tentukan, apakah valid atau tidak valid Penyelesaian p (qr) r ∴ p  q p (qr) r ∴ p  q dapat ditulis dalam bentuk (p (qr))  r  pq

Karena terdapat nilai kebenaran F pada kolom q r qr p (qr) (p (qr))  r pq (p (qr))  r  pq T F Karena terdapat nilai kebenaran F pada kolom terakhir, maka dikatakan bahwa argumen, p (qr) r ∴ p  q tidak valid

Karena (p (qr))  r  pq bukan tautologi, maka dikatakan bahwa argumen, p (qr) r ∴ p  q tidak valid

Contoh 1.26 Perlihatkan bahwa penalaran pada argumen berikut tidak valid. “Jika air laut surut setelah gempa di laut maka tsunami datang. Tsunami datang. Jadi air laut surut setelah gempa di laut”. Penyelesaian p: Air laut surut setelah gempa di laut q:Tsunami datang

p q p  q (p  q)  q (p  q)  q p Ekspresi logika dari argumen tersebut dapat ditulis: p q q ∴ p (p  q)q  p p q p  q (p  q)  q (p  q)  q p T F

Dari tabel dapat dilihat bahwa (p  q)  q p bukan tautologi, sehingga argumen, p q q ∴ p tidak valid Contoh 1.27 Periksa validitas argumen berikut. Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima 5 tidak lebih kecil dari 4 ∴ 5 adalah bilangan prima

Misal p : 5 lebih kecil dari 4 q : 5 bilangan prima Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima 5 tidak lebih kecil dari 4 ∴ 5 adalah bilangan prima p q p ∴ q

Karena (pq)  p  q bukan tautologi, maka F Karena (pq)  p  q bukan tautologi, maka argumen tidak valid

Periksa validitas argumen berikut. Contoh 1.28 Periksa validitas argumen berikut. Jika 17 adalah bilangan prima, maka 3 tdk habis membagi 17 3 habis membagi 17 ∴ 17 bukan bilangan prima Penyelesaian Misal p : 17 bilangan prima q : 3 habis membagi 17

Jika 17 adalah bilangan prima, maka 3 tdk habis membagi 17 ∴ 17 bukan bilangan prima p q q ∴ p

Karena (pq)  p  q adalah tautologi, maka argumen valid (pq)  q (pq)  q  p T F Karena (pq)  p  q adalah tautologi, maka argumen valid

Contoh 1.29 Periksa validitas argumen berikut. Jika saya menyukai informatika, maka saya belajar sungguh-sungguh. Saya belajar sungguh-sungguh atau saya gagal. ∴ Jika saya gagal maka saya tidak menyukai informatika. Penyelesaian Misal p : Saya menyukai informatika q : Saya belajar sungguh-sungguh r : Saya gagal

Jika saya menyukai informatika, maka saya belajar sungguh-sungguh. Saya belajar sungguh-sungguh atau saya gagal. ∴ Jika saya gagal maka saya tidak menyukai informatika. p q q  r ∴ r  p

p q r p p  q q  r r  p T F

((pq)(qr))  (r  p) T F Karena ((pq)(qr))  (r  p) bukan tautologi, maka argumen tidak valid

1.11 Aturan-aturan Inferensi Inferensi adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi. Hal yang perlu diperhatikan pada saat melakukan inferensi dari suatu argumen adalah bahwa kesimpulan merupakan proposisi yang ada hubungannya dengan premis. Jika tidak ada hubungan, maka kita tidak dapat menarik kesimpulan dari argumen tersebut Aturan-aturan Inferensi terdiri dari:

Secara simbolik modus ponens dapat dinyatakan sebagai berikut. pq p ∴ q ((pq) p)q p q pq (pq) p ((pq) p)q T F

Contoh 1.30 Jika 6 habis dibagi 2, maka 6 adalah bilangan genap. 6 habis dibagi 2 ∴ 6 adalah bilangan genap 1.11.2 Modus Tollens pq q ∴ p ((pq)  q)  p

Jika n adalah bilangan ganjil, maka n+1 adalah bilangan genap. q p q pq ((pq)  q) ((pq)  q) p T F Contoh 1.31 Jika n adalah bilangan ganjil, maka n+1 adalah bilangan genap. n+1 bukan bilangan genap ∴ n bukan bilangan ganjil

1.11.3 Silogisme Hipotetis pq qr ∴ pr ((pq)  (qr)) pr p q r F

Contoh 1.31 Misalkan implikasi “Jika saya belajar giat, maka saya lulus ujian” dan implikasi “jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah”. Menurut kaidah Silogisme hipotetis, inferensi berikut adalah banar. Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian. Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah. ∴ Jika saya belajar giat, maka saya cepat menikah.

1.11.4 Silogisme Disjungtif Silogisme disjungtif adalah peristiwa memilih diantara dua pilihan. Jika kita harus memilih diantara p atau q dan misalnya kita tidak memilih p, tentukalah pilihan kita adalah q. Secara simbolik silogisme disjungtif dapat ditulis sebagai berikut pq p ∴ q ((p  q)  p) q pq q ∴ p ((p  q)  q) p

Contoh 1.32a Amir menguasai bahasa pemrograman C++ atau Pascal. Amir tidak menguasai bahasa pemrograman C++. ∴ Amir menguasai bahasa pemrograman Pascal. Contoh 1.32b Amir menguasai bahasa pemrograman C++ atau Pascal. Amir tidak menguasai bahasa pemrograman Pascal. ∴ Amir menguasai bahasa pemrograman C++.

1.11.5 Amplifikasi Disjungtif Secara simbolik Amplifikasi Disjungtif dapat ditulis sebagai berikut p ∴ pq p  (p  q) q ∴ pq q  (p  q) Contoh 1.33a Amir menguasai bahasa pemrograman C++. ∴ Amir menguasai bahasa pemrograman C++ atau Pascal.

1.11.6 Penyederhanaan Konjungtif Contoh 1.33b Amir menguasai bahasa pemrograman Pascal. ∴ Amir menguasai bahasa pemrograman C++ atau Pascal. 1.11.6 Penyederhanaan Konjungtif Bentuk umum penyederhanaan konjungtif p  q ∴ p p  q  p p  q ∴ q p  q  q

Contoh 1.34a Ali menguasai bahasa pemrograman C++ dan Pascal. ∴ Ali menguasai bahasa pemrograman C++ . Contoh 1.34b Ali menguasai bahasa pemrograman C++ dan Pascal. ∴ Ali menguasai bahasa pemrograman Pascal.

(p q)  (rs)  (pr)  q  s 1.11.7 Aturan dilema 1.11.7.1 Aturan dilema konstruktif p  q r  s p  r ∴ q  s (p q)  (rs)  (pr)  q  s Contoh 1.35 Jika Ali di rumah lampu menyala Jika Badu sedang tidur pintu tertutup Ali di rumah atau Badu sedang tidur ∴ Lampu menyala atau pintu tertutup

1.11.7.2 Aturan dilema konstruktif p  q r  s q  s ∴ pr (pq)  (rs)  (q  s) pr Contoh 1.36 Jika Ali di rumah lampu menyala Jika Badu sedang tidur pintu tertutup Lampu tidak menyala atau lampu tidak tertutup ∴ Ali tidak di rumah atau Badu tidak tidur

1.11.8 Aturan konjungsi p q ∴ p  q p  q  p  q Contoh 1.37 Dani sedang belajar Matematika Diskrit Hari hujan ∴ Dani sedng belajar Matematika Diskrit dan hari hujan