Bab 13A Nonparametrik: Data Peringkat I

Bab 13A Bab 13A NONPARAMETRIK: DATA PERINGKAT I A. Pendahuluan 1. Data Statistika Statistika nonparametrik ini menggunakan peringkat sebagai data Dalam hal ini, data diurut ke dalam peringkat, baik peringkat naik maupun peringkat turun Peringkat dinyatakan dalam bentuk urutan dengan aturan tertentu

Bab 13A Peringkat pada Data Ada dua macam peringkat yakni peringkat naik dan peringkat turun Peringkat naik beranjak dari data terkecil menaik ke data terbesar Peringkat turun beranjak dari data terbesar menurun ke data terkecil Setiap data diberi angka urutan dan angka urutan itu merupakan data peringkat Ada kalanya ada data yang sama besar sehingga mereka menduduki peringkat sama

Bab 13A Tanpa Peringkat Sama Pemberian peringkat pada data yang tidak memiliki peringkat sama Contoh 1 Data Urutan Peringkat Data Naik Data Turun

Bab 13A Contoh 2 Susunlah dalam peringkat naik dan turun data berikut ini (a) (b) 3,52 2,34 3,71 2,75 2,96 3,38 2,88 2,53 2,99 3,05 3,41 2,48 3,32 3,17 (c) (d) 9,87 4,67 5,77 6,32 8,93 7,45 6,87 5,28 6,53 7,76 9,21 4,83 8,24 9,06 (e) 54,8 65,8 70,5 59,7 73,7 69,4 62,6 67,6 56,1 66,6 78,3 74,3 61,4 77,6

Bab 13A Dengan Peringkat Sama Pemberian peringkat pada data yang mengandung data sama Data sama diberi peringkat sama yang merupakan rerata di antara mereka Cara pemberian peringkat Data disusun dalam urutan naik atau turun Secara berurut, data diberi peringkat Peringkat pada data sama direratakan Data sama itu kemudian diberikan peringkat rerata itu Misalnya Data Peringkat (rerata = 2) Peringkat 2 2 2

Bab 13A Contoh 3 Menyusun dalam peringkat naik dan turun, data sebagai berikut 6, 7, 2, 6, 5, 5, 7, 5, 4, 7, 3, 8 Urutan Peringkat naik Urutan Peringkat turun data sem tetap data sem tetap , , , ,

Bab 13A Contoh 4 Susunlah ke dalam peringkat data berikut ini (a) (b) 3,00 2,63 2,75 2,12 2,75 3,00 2,90 2,63 2,75 3,24 2,75 2,52 (c) (d) (e)

Bab 13A B. Korelasi Spearman 1. Pendahuluan Data peringkat dapat digunakan untuk menghitung koefisien korelasi Spearman Dasar dari koefisien korelasi Spearman adalah selisih peringkat di antara pasangan data Apabila terdapat peringkat sama, maka terdapat rumus koreksi dalam perhitungan koefisien korelasi Spearman Dengan demikian, terdapat koefisien korelasi Spearman pada Data tanpa peringkat sama Data mengandung peringkat sama

Bab 13A Koefisien Korelasi Tanpa Peringkat Sama Rumus umum koefisien korelasi Spearman tanpa peringkat sama Data X dan Y dinyatakan dalam peringkat masing- masing Selisih peringkat adalah d = X  Y X 1 Y 1 d 1 d 2 1 Koefisien korelasi X 2 Y 2 d 2 d 2 2 Spearman X 3 Y 3 d 3 d Populasi.... X i Y i d i d 2 i Sampel X n Y n d n d 2 n

Bab 13A Contoh 5 Koefisien korelasi Spearman untuk sampel data X Y Data Peringkat d d 2 X Y X Y – – – n = 6 Jumlah 12

Bab 13A Contoh 6 Hitunglah koefisien korelasi Spearman untuk sampel data berikut (a) X Y (b) X 6,3 5,8 6,1 6,9 3,4 1,8 9,4 4,7 Y 5,3 8,6 4,7 4,2 4,9 6,1 5,1 6,3 X 7,2 2,4 Y 6,8 5,2 (c) X 5,0 8,0 2,0 4,0 3,0 7,0 1,0 6,0 Y 1,0 6,0 4,5 2,0 7,0 8,0 4,0 3,0

Bab 13A (d) X Y (e) X Y (f) X Y X Y (g) X Y X Y

Bab 13A Koefisien Korelasi Dengan Peringkat Sama Banyaknya data dalam satu peringkat sama dinyatakan sebagai t Koreksi peringkat sama menjadi sehingga melalui koreksi Koefisien korelasi Spearman untuk sampel menjadi

Bab 13A Contoh 7 Pasangan data adalah sebagai berikut X Y Data Peringkat d d 2 X Y X Y ,5 3  1,5 2, ,5 4  2,5 6, ,5 2 1,5 2, ,5 1 2,5 6,  3 9,  5 25,  3 9, , , ,5 12  1,5 2, ,5 5 5,5 30, ,00 Σ d 2 = 109,50

Bab 13A Koreksi peringkat sama terdapat hanya pada X Peringkat t t 3 T = (t 3 – t) / 12 1, ,5 3, ,5 10, ,5 Σ T X = 1,5 sehingga dan koefisien korelasi Spearman untuk sampel

Bab 13A Contoh 8 Hitunglah koefisien korelasi Spearman untuk sampel data berikut (a) X Y (b) X Y (c) X Y (d) X Y 3,4 3,2 3,5 3,0 2,9 3,4 2,5 3,9 3,6 3,0 (e) X Y X Y

Bab 13A Contoh 9 Hitunglah koefisien korelasi Spearman untuk sampel data berikut X Y X Y X Y X Y

Bab 13A C. Pengujian Hipotesis Korelasi Spearman 1. Pendahuluan Pengujian hipotesis dilakukan terhadap koefisien korelasi Spearman Pengujian hipotesis dapat berbentuk  s > 0,  s < 0, atau  s ≠ 0 Distribusi probabilitas pensampelan bergantung kepada ukuran sampel Pada urukan sampel besar (n > 30), distribusi probabilitas pensampelan berbentuk t-Student Pada ukuran sampel kecil (n  30), disediakan tabel nilai kritis khusus untuk taraf signifikansi tertentu

Bab 13A Uji Hipotesis pada Sampel Besar Bentuk hipotesis H 0 :  s = 0 H 1 :  s > 0  s < 0  s ≠ 0 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas t-Student dengan statistik uji t dan derajat kebebasan = n  2

Bab 13A Contoh 10 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah koefisien korelasi peringkat Spearman adalah positif, jika sampel menjukkan n = 40 r s = 0,42 Hipotesis H 0 :  s = 0 H 1 :  s > 0 Sampel n = 40 r s = 0,42

Bab 13A Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas t-Student Derajat kebebasan = n  2 = 40  2 = 38 Statistik uji Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian ujung atas Nilai kritis t (0,95)(38) = 1,686 Tolak H 0 jika t > 1,686 Terima H 0 jika t  1,686 Keputusan Pada taraf sifnifikansi 0,05, tolak H 0

Bab 13A Contoh 11 Pada taraf sifnifikansi 0,05, uji apakah koefisien korelasi peringkat Spearman negatif jika sampel acak menunjukkan n = 35 r s =  0,30 Hipotesis H 0 :  s = 0 H 1 :  s < 0 Sampel n = 35 r s =  0,30 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas t-Student Derajat kebebasan = n  2

Bab 13A Statistik uji = n  2 = 35  2 = 33 Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian ujung bawah Nilai kritis t (0,05)(33) =  1,692 Tolak H 0 jika t <  1,692 Terima H 0 jika t   1,692 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H 0

Bab 13A Contoh 12 Pada taraf sifnifikansi 0,05, uji apakah koefisien korelasi peringkat Spearman tidak sama dengan nol jika sampel acak menunjukkan n = 50 r s = 0,25 Hipotesis H 0 :  s = 0 H 1 :  s ≠ 0 Sampel n = 50 r s = 0,25 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas t-Student Derajat kebebasan = n  2

Bab 13A Statistik uji = n  2 = 50  2 = 48 Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian dua ujung Nilai kritis t (0,025)(48) =  2,011 t (0,975)(48) = 2,011 Tolak H 0 jika t 2,011 Terima H 0 jika  2,011  t  2,011 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0

Bab 13A Contoh 13 Pada taraf signifikansi 0,05, uji  s > 0 untuk sampel acak (a) n = 36 r s = 0,37 (b) n = 90 r s = 0,15 (c) n = 55 r s = 0,77 (d) n = 65 r s = 0,49 Contoh 14 Pada taraf signifikansi 0,05, uji  s < 0 untuk sampel acak (a) n = 38 r s =  0,41 (b) n = 66 r s =  0,29 (c) n = 76 r s =  0,19 (d) n = 45 r s =  0,33

Bab 13A Contoh 15 Pada taraf signifikansi 0,05, uji  s ≠ 0 untuk sampel acak (a) n = 48 r s = 0,34 (b) n = 62 r s =  0,26 (c) n = 28 r s = 0,17 (d) n = 44 r s =  0,24 Contoh 16 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah koefisien korelasi peringkat Spearman adalah positif untuk sampel pada contoh 9

Bab 13A Uji Hipotesis pada Sampel Kecil Sampel adalah kecil jika 4  n  30 Pengujian hipotesis dilakukan dengan membandingkan r s dengan tabel khusus nilai kritis yang mencakup nilai pada taraf signifikansi 0,01 dan 0,05 Kriteria pengujian untuk korelasi positif Tolak H 0 jika r s > r tabel Terima H 0 jika r s  r tabel Kriteria pengujian untuk korelasi negatif Tolak H 0 jika r s <  r tabel Terima H 0 jika r s   r tabel Kriteria pengujian untuk korelasi ≠ 0, disesuaikan dengan taraf signifikansi 2 

Bab 13A Tabel Nilai Kritis untuk Koefisien Korelasi Peringkat Spearman n  = 0,05  = 0,01 4 1, ,900 1, ,829 0, ,714 0, ,643 0, ,600 0, ,564 0, ,506 0, ,456 0, ,425 0, ,399 0, ,377 0, ,359 0, ,343 0, ,329 0, ,317 0, ,306 0,432

Bab 13A Contoh 17 Dari contoh 5 dengan n = 6 dan r s = 0,657 apabila diuji pada  = 0,05 untuk  s > 0, diperoleh Hipotesis H 0 :  s = 0 H 1 :  s > 0 Sampel n = 6 r s = 0,657 Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05, r (0,05)(6) = 0,829 Tolak H 0 jika r s > 0,829 Terima H 0 jika r s  0,829 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0

Bab 13A Contoh 18 Pada sampel contoh 6 (a) sampai (g) dengan menggunakan taraf signifikansi sebesar 0,05, uji hipotesis  s positif untuk sampel r s positif serta  s untuk sampel r s negatif Contoh 19 Pada sampel contoh 8(a) sampai (e) dengan menggunakan taraf signifikansi sebesar 0,05, uji hipotesis  s positif untuk sampel r s positif serta  s untuk sampel r s negatif

Bab 13A D. Koefisien Korelasi Peringkat Kendall 1. Pendahuluan Korelasi dilakukan terhadap peringkat nilai yang diberikan oleh dua penilai, misalkan, penilai X dan penilai Y Salah satu nilai, misalnya, dari X disusun dalam urutan peringkat naik; nilai lainnya mengikutinya Peringkat pada setiap nilai dari satu penilai diperbandingkan secara berpasangan; jika urutan adalah naik diberi +1 dan jika urutan adalah turun diberi  1 Peringkat 1 2 (naik) + 1 Peringkat 4 1 (turun)  1 Untuk tiap penilai, semua nilai urutan dijumlahkan

Bab 13A Perhitungan Urutan Untuk penilai X, perbandingan berpasangan Obyek a b c d Peringkat X Urutan Urutan 1  2 (naik) +1 Urutan 1  3 (naik) +1 Urutan 1  4 (naik) +1 Urutan 2  3 (naik) +1 Urutan 2  4 (naik) +1 Urutan 3  4 (naik) +1 Jumlah s X = +6 Dengan rumus s = ½ n (n  1)

Bab 13A Untuk penilai Y, perbandingan berpasangan Obyek a b c d Peringkat Y Urutan Urutan 2  4 (naik) +1 Urutan 2  3 (naik) +1 Urutan 2  1 (turun)  1 Urutan 4  3 (turun)  1 Urutan 4  1 (turun)  1 Urutan 3  1 (turun)  1 Jumlah s Y =  2

Bab 13A Koefisien korelasi Kendall Tanpa Peringkat Sama Kendall menggunakan notasi  sehingga dikenal sebagai  Kendall. Untuk Obyek a b c d Peringkat X Peringkat Y Rumus koefisien korelasi  Kendall adalah  s = s Y / s X Jika nilai dari penilai X disusun dalam peringkat naik maka s X = ½ n (n  1) Melalui perbandingan berpasangan, dengan +1 untuk naik dan  1 untuk turun, s Y dihitung dari sampel yang ada Pada contoh di atas  s =  2 / 6 =  0,33

Bab 13A Contoh 20 Penilai X dan Y menilai 6 obyek. Hasil penilaian disusun dalam pereingkat adalah Obyeka b c d e f Peringkat X Peringkat Y Urutan pada peringkat X s X = ½ n (n  1) = (½)(6)(5) = 15 Urutan pada peringkat Y s Y = (0 – 5) + (1 – 3) + (2 – 1) + (2 – 0) +(1 – 0) =  3 Koefisien korelasi Kendall  s =  3 / 15 =  0,20

Bab 13A Contoh 21 Penilai X dan Y menilai enam obyek sebagai berikut Obyek a b c d e f Penilai X Penilai Y Hitunglah koefisien korelasi Kendall Contoh 22 Hitunglah koefisien korelasi Kendall untuk data pada contoh 6(a) sampai 6(e) Contoh 23 Hitunglah koefisien korelasi Kendall untuk data pada contoh 6(f) sampai 6(g)

Bab 13A Koefisien Korelasi Kendall dengan Peringkat Sama Jika terdapat peringkat sama maka perlu dilakukan koreksi peringkat sama Jika pada satu peringkat sama terdapat t data maka koreksi peringkat sama adalah T = ½ Σ t (t – 1) Koefisien korelasi Kendall dengan koreksi peringkat sama adalah

Bab 13A Contoh 24 Penilai X dan Y menilai enam obyek. Disusun dalam peringkat, penilaian mereka adalah Obyek a b c d e f Peringkat X Peringkat Y 6 3,5 1,5 1,5 3,5 5 s Y = (0 – 5) + (1 – 2) + (2 – 0) + (2 – 0) + (1 – 0) =  1 Koreksi peringkat sama pada Y Y t t (t – 1) 1, , T Y = (½)(4) = 2

Bab 13A Koefisien korelasi Kendall Con toh 25 Hitunglah koefisien korelasi Kendall untuk sampel pada contoh 8(a), 8(c), dan 8(d) Con toh 26 Hitunglah koefisien korelasi Kendall untuk sampel pada contoh 8(b) dan 8(e)

Bab 13A E. Uji Hipotesis Koefisien Korelasi Kendall 1. Pendahuluan Hipotesis dapat berbentuk  > 0  < 0  ≠ 0 Pengujian dapat dilakukan untuk sampel besar atau sampel kecil Pada sampel kecil (n  10) disediakan tabel nilai kritis khusus Pada sampel besar (n > 10), distribusi probabilitas pensampelan mendekatai distribusi probabilitas normal

Bab 13A Uji Hipotesis pada Sampel Besar Pada sampel besar, n > 10 Distribusi probabilitas pensampelan mendekati distribusi probabilitas normal Rerata   = 0 Kekeliruan baku

Bab 13A Contoh 27 Pada taraf signifikansi 0,05, uji  > 0 jika sampel acak menunjukkan n = 12  s = 0,318 Hipotesis H 0 :  = 0 H 1 :  > 0 Sampel n = 12  s = 0,318 Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas normal Kekeliruan baku

Bab 13A Statistik uji Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z (0,95) = 1,645 Tolak H 0 jika z > 1,645 Terima H 0 jika z  1,645 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0

Bab 13A Contoh 28 Pada taraf signifikansi 0,05 dengan sampel pada contoh 23, uji hipotesis koefisien korelasi Kendall positif atau negatif menurut sampel (  > 0 jika  s positif dan  < 0 jika  s negatif) Contoh 29 Pada taraf signifikansi 0,05 dengan sampel pada contoh 26, uji hipotesis koefisien korelasi Kendall positif atau negatif menurut sampel (  > 0 jika  s positif dan  < 0 jika  s negatif)

Bab 13A Uji Hipotesis pada Sampel Kecil Sampel adalah kecil jika n  10 Pengujian hipotesis dilakukan dengan membandingkan p tabel khusus nilai kritis dengan taraf signifikansi  Pada tabel khusus, s adalah harga mutlak (tidak dilihat tanda negatif atau positif) Kriteria pengujian Tolak H 0 jika p   Terima H 0 jika p > 

Bab 13A Tabel  Kendall Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung Nilai n s ,625 0,592 0,548 0, ,375 0,408 0,452 0, ,167 0,242 0,360 0, ,042 0,117 0,274 0, ,042 0,199 0, ,0083 0,138 0, ,089 0, ,054 0, ,031 0, ,016 0, ,0071 0, ,0028 0, , , , , , , , , , ,

Bab 13A Tabel  Kendall Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung Nilai n s ,500 0,500 0, ,360 0,386 0, ,235 0,281 0, ,136 0,191 0, ,068 0,119 0, ,028 0,068 0, ,0083 0,035 0, ,0014 0,015 0, ,0054 0, ,0014 0, , , , , , , , , , , , , , ,

Bab 13A Contoh 30 Pada taraf signifikansi 0,05, uji  < 0 apabila seperti pada contoh 20, sampel acak menunjukkan n = 6, s Y =  3,  s =  0,20 Hipotesis H 0 :  = 0 H 1 :  < 0 Sampel n = 6 s Y =  3  s =  0,20 Kriteria pengujian (dari tabel khusus) p = 0,360 p > 0,05 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05, terima H 0

Bab 13A Contoh 31 Pada taraf signifikansi 0,05, dengan sampel pada contoh 22, uji hipotesis  > 0 jika  s > 0 dan  < 0 jika  s < 0 Contoh 32 Pada taraf signifikansi 0,05, dengan sampel pada contoh 25, uji hipotesis  > 0 jika  s > 0 dan  < 0 jika  s < 0