6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) INTERPOLASI LAGRANGE DAN REGRESI

6.1.4 Metode Lagrange Metode interpolasi Lagrange dapat diturunkan dari metode selisih-terbagi Newton. Tinjau polinom selisih-terbagi Newton orde pertama. p1(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] (i) (ii) Substitusi (ii) ke (i) didapat

atau dapat dinyatakan dalam bentuk p1 = L0 (x) f(x0) + L1 (x) f(x1) (6.29) dengan (6.30)

Selanjutnya tinjau polinom selisih-terbagi Newton derajat ke dua. p2(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] + (x – x0)(x – x1) f [x2, x1, x0] (iv) (v) (vi)

Substitusi (v) dan (vi) ke (iv) didapat atau dalam bentuk p2(x) = L0(x) f(x0) + L1(x) f(x1) + L2(x) f(x2) (6.31) dengan (6.32)

Dari persamaan (6.29) dan (6.32) dapat disusun rumus umum menjadi (6.33) dengan (6.34) Metode interpolasi Lagrange berlaku untuk titik-titik yang mempunyai jarak yang sama maupun jarak yang berbeda.

Contoh 6.8 Jika f(x) = sin x, tentukan hampiran f(1,5) dengan metode interpolasi Lagrange dengan polinom derajat 3. Gunakan 4 titik, yaitu x0 = 1,4 x1 = 1,7 x2 = 2,0 x3 = 2,3 Penyelesaian x 1,4 1,7 2,0 2,3 f(x) = sin x 0,985450 0,991664 0,909297 0,745705

Dari persamaan 6.33 dan 6.34 didapat Contoh 6.9 Dari tabel berikut tentukan nilai f(2,5) dengan polinom Lagrange derajat dua. x 1 3 4 f(x) 2,7148 3,4337 3,1275 Penyelesaian Dari persamaan 6.33 dan 6.34 didapat

6.2 Regresi Pada pasal 6.1 telah dijelaskan bahwa data yang mempunyai ketelitian yang rendah mempunyai variabilitas yang tinggi, seperti yang ditunjukkan pada gambar 6.2. Metode pencocokan kurva untuk data yang mempunyai ketelitian yang rendah adalah metode regresi. Sebelum memutuskan apakah suatu pencocokan kurva menggunakan regresi linier atau non-linier, lebih baik kita plot dulu data yang ada. Perhatikan lagi Gambar 6.2

y y x x O O (a) (b) Gambar 6.2                    

Gambar 6.2a menunjukkan bahwa kecenderungan data menunjukkan hubungan linier antara x dan y. Sedangkan Gambar 6.2b menunjukkan hubungan non-linier . Prinsip penting dalam melakukan regresi adalah: a. Jumlah parameter bebas sesedikit mungkin b. Deviasi fungsi dengan titik-titik data dibuat sekecil mungkin. Berdasarkan prinsip a dan b maka pencocokan kurva untuk data yang mempunyai ketelitian yang rendah disebut metode regresi kuadrat terkecil (least square regression). Perbedaan antara metode regresi kuadrat terkecil dengan interpolasi adalah sebagai berikut.

Regresi Kuadrat Terkecil No Regresi Kuadrat Terkecil Interpolasi 1 Data berasal dari pengukuran Data berasal dari fungsi yang akan disederhanakan dengan polinom. 2 Data berketilitian rendah (mengandung galat) Data berkelitian tingi 3 Fungsi tidak harus melalui seluruh titik data. Kurva dirancang mengikuti pola titik data. Fungsi harus melalui semua titik data 4 Data tidak harus urut Data harus terurut

6.2.1 Regresi Linier Regresi linier adalah proses aproksimasi sekumpulan pasangan hasil pengamatan yang mempunyai bentuk f(x) = a0 + a1x Jika terdapat hasil pengamatan (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), maka aproksimasi linier untuk masing-masing titik adalah f(xi) = a0 + a1xi i = 1, 2, 3, …, n (6.35) Sedangkan nilai data sebenarnya yi = f(xi) + ei  ei adalah galat data ke i. (6.36) Deviasi ri = yi – f(xi) = yi – (a0 + a1xi) (6.37)

Total kuadrat deviasi (6.38) Untuk kesederhanaan, selanjutnya simbol Sehingga persamaan (6.38) dapat ditulis menjadi (6.39) Agar R minimum maka harus memenuhi (6.40) (6.41)

Dari persamaan (6.40) dan (6.41) didapat (6.42) (6.43) atau (6.44) (6.45) Jika persamaan (6.44) dan (6.45) ditulis dalam bentuk matriks, didapat (6.46)

(6.47) atau Sehingga (6.48) (6.49) Galat pencocokan data dengan metode regresi linier dihitung dengan galat RMS (Root-mean-square-error), yaitu (6.50)

Contoh 6.10 Dari tabel berikut tentukan nilai f(10,0) dan Galat RMS dengan metode regresi linier. x 1 3 5 9 12 13 15 17 20 y 2,7 3,0 2,5 3,3 3,1 3,5 3,2 4,0 3,7 Penyelesaian

i xi yi xi2 xi yi 1 2,7 2 3 3,0 9 9,0 5 2,5 25 12,5 4 3,3 81 29,7 12 3,1 144 37,2 6 13 3,5 169 45,5 7 15 3,2 225 48,0 8 17 4,0 289 68,0 20 3,7 400 74,0 n = 9 xi = 95 yi = 29,0 xi2 = 1343 xi yi= 326,6

f(x) = 2,5865 + 0,0602 x f(10,0) = 2,5865 + 0,0602(10,0) = 3,1885

i xi yi f(xi) |(f(xi)-yi| (f(xi)-yi)2 1 2,7 2,6467 0,0533 0,0028 2 3 3,0 2,7671 0,2329 0,0542 5 2,5 2,8875 0,3875 0,1502 4 9 3,3 3,1283 0,1717 0,0294 12 3,1 3,3089 0,2089 0,0436 6 13 3,5 3,3691 0,1309 0,0171 7 15 3,2 3,4895 0,2895 0,0838 8 17 4,0 3,6099 0,3901 0,1522 20 3,7 3,7905 0,0905 0,0082  = 0,5416

6.2.2 Regresi Non-linier Jika hubungan antara peubah bebas dan tak bebas cenderung linier, maka metode regresi linier dapat digunakan. Akan tetapi adakalanya hubungan tersebut menunjukkan kecenderungan tak-linier. Jika kita menggunakan metode regresi linier untuk hubungan yang tidak linier, maka persamaan yang dihasilkan tidak mewakili kecenderungan data, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.3a. Agar persamaan regresi yang dihasilkan mewakili kecenderungan data yg tidak mempunyai hubungan yang linier maka kita perlu menggunakan metode regresi non-linier atau regresi polinomial, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.3b.

x y O x y O                  (a) (b) Gambar 6.3

Regresi non-linier atau polinomial adalah proses aproksimasi sekumpulan pasangan hasil pengamatan yang mempunyai bentuk f(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + am xm Jika terdapat hasil pengamatan (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), maka aproksimasi linier untuk masing-masing titik adalah f(xi) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + am xm ; i = 1, 2, …, n (6.51) Sedangkan nilai data sebenarnya yi = f(xi) + ei  ei adalah galat data ke i. (6.52) Deviasi ri = yi – f(xi) = yi – (a0 + a1x + a2x2 + . . . + am xm) (6.53)

Total kuadrat deviasi (6.54) Untuk kesederhanaan, selanjutnya simbol Sehingga persamaan (6.38) dapat ditulis menjadi (6.55)

Agar R minimum maka harus memenuhi (6.56) (6.57) (6.58) ⋮ (6.59) Dari persamaan 6.56 s.d. 6.59 didapat

⋮ Dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi

atau Contoh 6.11 Dari tabel berikut tentukan nilai f(1,75) dengan metode regresi polinomial orde ke 2. x 0,3 0,4 0,7 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,7 1,9 2,0 2,2 y 2,4 3,0 3,1 3,6 3,8 3,2 3,5 3,4 2,7 2,3 Penyelesaian

i xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi2 yi 1 0,3 2,04 0,09 0,027 0,0081 0,72 0,216 2 0,4 3,0 0,16 0,064 0,0256 1,20 0,480 3 0,7 3,1 0,49 0,343 0,2401 2,17 1,519 4 0,8 3,6 0,64 0,512 0,4096 2,88 2,304 5 1,0 3,8 1,00 1,000 1,0000 3,80 3,800 6 1,2 3,2 1,44 1,728 2,0744 3,84 4,608 7 1,4 3,5 1,96 2,744 3,8416 4,90 6,860 8 1,6 3,4 2,56 4,096 6,5536 5,44 8,704 9 1,7 2,89 4,913 8,5210 5,10 8,670 10 1,9 3,61 6,859 13,0321 5,70 10,830 11 2,0 2,7 4,00 8,000 16,0000 5,40 10,800 12 2,2 2,3 4,84 10,648 23,4256 5,06 11,132 15,2 37,0 23,68 40.934 74.9620 46,21 69,923

f(x) = 1,856 + 2,874 x – 1,223 x2 f(1,75) = 1,856 + 2,874(1,75) – 1,223(1,75)2 = 3,1404

x y O

Tugas Dari tabel berikut tentukan nilai f(27) dengan metode regresi polinomial orde ke 2. x 2 4 8 12 16 20 24 28 30 34 y 10 18 22 26

6.2.3 Linierisasi Regresi Non-linier Untuk tujuan penyederhanaan persamaan regresi, kita dapat mentransformasikan pers. regresi non-linier untuk data yang mempunyai kecenderungan tertentu menjadi persamaan regresi linier. Misalnya persamaan pangkat, persamaan eksponensial, atau persamaan laju pertumbuhan jenuh. Persamaan Pangkat y = axb , a dan b konstanta > 0 Persamaan Eksponensial y = aebx , a dan b konstanta > 0 Persaman Laju Pertumbuhan Jenuh , a dan b konstanta > 0

O x y Persamaan Pangkat y = axb (6.60) ln y = ln a + b ln x (6.61) Definisikan Y = ln y a0 = ln a a1 = b X = ln x (6.62) Substitusi persamaan (6.62) ke (6.61), didapat Y = a0 + a1x (6.63) Persamaan (6.63) adalah persamaan regresi linier untuk persamaan eksponensial.

O x y Persamaan Eksponensial y = aebx (6.64) ln y = ln a + bx (6.65) Definisikan Y = ln y a0 = ln a a1 = b X = x (6.66) Substitusi persamaan (6.66) ke (6.65), didapat Y = a0 + a1 X (6.67) Persamaan (6.67) adalah persamaan regresi linier untuk persamaan eksponensial.

Persamaan Laju Pertumbuhan Jenuh O x y (6.68) (6.69) Definisikan (6.70) Substitusi pers. (6.70) ke (6.69), didapat Y = a0 + a1 X (6.71) Pers. (6.71) adalah persamaan regresi linier untuk persamaan Laju Pertumbuhan Jenuh