Smno.statistika.agroekotek.fpub.2013 MK. STATISTIKA PEMUSATAN & SEBARAN DATA Smno.statistika.agroekotek.fpub.2013

DISTRIBUSI Distribusi frekuensi adalah pengelompokkna data ke dalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam tiap kelas. Statistical distribution - (statistics) an arrangement of values of a variable showing their observed or theoretical frequency of occurrence. Diunduh dari: http://www.thefreedictionary.com/statistical+distribution …… 12/9/2012

Distribusi Frekuensi Tunggal Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit. Perhatikan contoh data berikut. 5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 3, 4, 6, 6 8, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 7, 4, 8, 7, 6 Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012

Distribusi Frekuensi Ber-kelas Tabel distribusi frekuensi bergolong biasa digunakan untuk menyusun data yang memiliki kuantitas yang besar dengan mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika dari 40 siswa kelas XI berikut ini. 66 75 74 72 79 78 75 75 79 71 75 76 74 73 71 72 74 74 71 70 74 77 73 73 70 74 72 72 80 70 73 67 72 72 75 74 74 68 69 80 Apabila data di atas dibuat dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi tunggal, maka penyelesaiannya akan panjang sekali. Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012

Distribusi Frekuensi Ber-kelas Oleh karena itu dibuat tabel distribusi frekuensi ber-kelas dengan langkah-langkah sebagai berikut. Mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang, misalnya 65 – 67, 68 – 70, … , 80 – 82. Data 66 masuk dalam kelompok 65 – 67. Membuat turus (tally), untuk menentukan sebuah nilai termasuk ke dalam kelas yang mana. Menghitung banyaknya turus pada setiap kelas, kemudian menuliskan banyaknya turus pada setiap kelas sebagai frekuensi data kelas tersebut. Tulis dalam kolom frekuensi. Ketiga langkah di atas direpresentasikan pada tabel berikut ini. Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012

Distribusi Frekuensi Ber-kelas Interval Kelas: Setiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas. 65 – 67 → Interval kelas pertama 68 – 70 → Interval kelas ke dua 71 – 73 → Interval kelas ke tiga 74 – 76 → Interval kelas ke empat 77 – 79 → Interval kelas ke lima 80 – 82 → Interval kelas ke enam Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012

b. Batas Kelas Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80 merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79, dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas. c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas) Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini. Tepi bawah = batas bawah – 0,5 Tepi atas = batas atas + 0,5 Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepi bawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya. d. Lebar kelas Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus: Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3. Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012

e. Titik Tengah Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012

Distribusi Frekuensi Kumulatif Distribusi kumulatif ada dua macam: a. Distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas). b. Distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah). Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 12/9/2012

HISTOGRAM Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk histogram. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Data banyaknya tanaman yang berbunga dalam 8 hari berurutan sebagai berikut. Tanaman berbunga Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012

Distribusi Frekuensi Waktu Tunggu Dari hasil penelurusan alumni, diketahui bahwa rata-rata waktu tunggu alumni kurang dari 5 bulan untuk mendapatkan pekerjaan pertamanya, bahkan ada alumni yang bekerja setelah 2 hari dinyatakan lulus dengan gelar sarjana statistika. Secara umum terlihat mayoritas alumni waktu tunggunya berkisar antara 1 sampai dengan 6 bulan. Waktu Tunggu Persentase Valid (%) < 1 Bulan 3.57 1 - 6 Bulan 73.81 7 - 12 Bulan 19.05 13 - 18 Bulan 1.19 19 -24 Bulan 2.38 Total  100.0 Diunduh dari: http://statistika.fmipa.unpad.ac.id/html/index.php?id=profil&kode=102&profil=Waktu%20Tunggu…… 19/9/2012

Contoh Mawar angin (wind rose) Sumber: sumber gambar : http://alternativeenergyatunc.wordpress.com Diunduh dari: http://rlarasati.wordpress.com/2012/05/09/peubah-peubah-meteorologi-angin/ …… 19/9/2012

Fitting the Distribution Kalau kita akan membuat distribusi suatu data mentah, maka ada empat pertanyaan yang harus dijawab: The first relates to whether the data can take on only discrete values or whether the data is continuous; whether a new pharmaceutical drug gets FDA approval or not is a discrete value but the revenues from the drug represent a continuous variable. The second looks at the symmetry of the data and if there is asymmetry, which direction it lies in; in other words, are positive and negative outliers equally likely or is one more likely than the other. The third question is whether there are upper or lower limits on the data; there are some data items like revenues that cannot be lower than zero whereas there are others like operating margins that cannot exceed a value (100%). Dalam beberapa data, nilai ekstrim jarang terjadi; dan dalam data lainnya nilai ekstrim sering terjadi. Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012

STATISTICAL DISTRIBUTIONS DISTRIBUSI BINOMIAL Distribusi Binomial mengukur peluang terjadinya sejumlah tertentu “sukses” dalam suatu trial tertentu , dimana kejadian “sukses” mempunyai peluang tertentu. In the simplest scenario of a coin toss (with a fair coin), where the probability of getting a head with each toss is 0.50 and there are a hundred trials, the binomial distribution will measure the likelihood of getting anywhere from no heads in a hundred tosses (very unlikely) to 50 heads (the most likely) to 100 heads (also very unlikely). Gambar berikut menyajikan distribusi binomial untuk tiga skenario, dua skenario dengan peluang “sukses” 50% dan satu skenario dengan peluang “sukses” 70% , dan ukuran percobaan (trial)nya berbeda. Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012

DISTRIBUSI BINOMIAL Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012

STATISTICAL DISTRIBUTIONS Distribusi Poisson Distribusi Poisson mengukur “likelihood” sejumlah kejadian yang terjadi di dalam selang waktu tertentu, dimana parameter kunci yang diperlukan adalah rata-rata banyaknya kejadian dalam interval tertnetu (l). Distribusi yang dihasilkan mirip dengan Binomial, dengan “skewness” positif tetapi menurun dengan l. Gambar menyajikan distribusi Poisson dengan l berkisar dari 1 hingga 10. Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012

STATISTICAL DISTRIBUTIONS Distribusi Geometrik Dalam distribusi ini yang diukur adalah “likelihood” terjadinya “sukses” yang pertama. Misalnya, dengan percobaan lempar “coin” yang adil, ada kesempatan 50% “sukses” pertama akan terjadi pada percobaan pertama, kesempatan 25% yang akan terkjadi pada percobaan ke dua, dan kesempatan 12.5% akan terkadi pada p[ercobaan ke tiga. Distribusi yang dihasilkan “positively skewed” dan mengikuti tiga skenario peluang yang berbeda. Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012

Macam-macam Distribusi Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012

DISTRIBUSI NORMAL Distribusi Normal adalah model distribusi kontinyu yang paling penting dalam teori probabilitas. Distribusi Normal diterapkan dalam berbagai permasalahan. Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi (μ) dan standar deviasi (σ).   Fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal : Grafik fungsi probabilitas distribusi normal Diunduh dari: aswinsuharsono.lecture.ub.ac.id/files/2011/.../Distribusi-Normal2.doc …….. 19/9/2012

Jenis Peubah Acak Kontinyu Distribusi Normal Distribusi peluang yang penting dalam statistika adalah Distribusi Normal atau Gaussian. Jenis Peubah Acak Kontinyu digunakan untuk mengkaji fenomena alam, industri, perdagangan, pendapatan rumahtangga, dll.

DISTRIBUSI NORMAL Fungsi kerapatan peluang peubah acak X dengan rataan μ dan ragam σ2 yang memiliki distribusi normal adalah: Peluang dinyatakan sebagai P (a < X < b)

σ μ

Sifat Distribusi Normal: Peubah acak yang mempunyai distribusi normal : pengukuran dalam meteorologi pengukuran curah hujan Dll.

Sifat-Sifat Distribusi Normal: Mean µ Varians Deviasi Standar Koefisien momen kemiringan Koefisien momen kurtois Deviasi mean

Sifat-Sifat Distribusi Normal: Rata-rata (mean) = μ, dan simpangan baku = σ Mode (maximum) terjadi di x = μ Bentuknya simetrik thd x = μ Titik belok tepat di x = μ ± σ Kurva mendekati nol secara asimptotis semakin x jauh dari x = μ Total luasnya = 1

Sifat-Sifat Distribusi Normal: Bentuk kurva distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ. 1 2 μ1 < μ2 σ1 = σ2 1 2 μ1 = μ2 σ1 > σ2 1 2 μ1 < μ2 σ1 < σ2

CIRI DISTRIBUSI NORMAL NILAI MEAN, MEDIAN DAN MODUS adalah SAMA / BERHIMPIT. Bentuk KURVANYA SIMETRIS ASIMPTOTIK (fungsi yang dibatasi oleh suatu fungsi n N yang cukup besar). LUAS DAERAH YANG TERLETAK DI BAWAH KURVA dan DI ATAS GARIS sumbu mendatar = 1

KELUARGA DISTRIBUSI NORMAL SEMAKIN BESAR NILAI  , MAKA KURVA AKAN SEMAKIN LANDAI, SEMAKIN KECIL NILAI  MAKA KURVA AKAN SEMAKIN MELANCIP

Luas daerah di Bawah Kurva dan Peluang P(x1< x <x2) = probabilitas variabel random x memiliki nilai antara x1 dan x2 P(x1< x <x2) = luas di bawah kurva normal antara x=x1 dan x=x2 x1 μ x2

Luas daerah di Bawah Kurva dan Probabilitas Perhitungan integral normal sulit dilakukan, sehingga disusun tabel nilai kerapatan peluang. Akan tetapi karena nilai kerapatan peluang tergantung pada nilai μ dan σ, senhingga sangat tidak mungkin mentabelkan untuk semua nilai μ dan σ

Kurva Distribusi Normal Baku Distribusi normal baku adalah distribusi normal dengan nilai rataan μ=0 dan simpangan baku σ =1. Transformasi mengkoversi distribusi normal menjadi distribusi normal baku, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki rataan =0 dan simpangan baku = 1.

Kurva DIstribusi Normal Standard Transformasi ini juga mempertahankan luas daerah di bawah kurvanya, artinya: Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2 Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2 = Dengan z1 = (x1-μ)/σ dan z2 = (x2-μ)/σ. Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal baku kumulatif saja!

TRANSFORMASI NILAI X MENJADI Z Diunduh dari: http://ningsetyamat.files.wordpress.com/2011/04/topics-3.pdf…… 19/9/2012

TRANSFORMASI NILAI X MENJADI Z Diunduh dari: http://ningsetyamat.files.wordpress.com/2011/04/topics-3.pdf…… 19/9/2012

Diunduh dari: http://www. six-sigma-material. com/Normal-Distribution

Diunduh dari: http://ningsetyamat. files. wordpress

Contoh : Diketahui data dengan distribusi normal, nilai rataan m = 55 dan simpangan baku = 15 Diunduh dari: http://ningsetyamat.files.wordpress.com/2011/04/topics-3.pdf…… 19/9/2012

Diunduh dari: http://ningsetyamat. files. wordpress

Hubungan antara Distribusi Binomial dan Distribusi Normal Jika N cukup besar dan jika tak satu pun dari p atau q yang mendekati nol maka distribusi binomial dapat didekati dengan sebuah distribusi normal dengan variabel baku : Pendekatan ini semakin baik kalau nilai N semakin besar. Dalam praktiknya, pendekatannya sangat bagus jika Np dan Nq kedua-duanya lebih besar dari 5.

Contoh: Menghitung Luas daerah di bawah garis kurva distribusi normal Gunakan tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah : Di sebelah kanan z = 1.84 Antara z = -1.97 s/d z = 0.86 Jawab. Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0). P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84) = 1 -0.9671 = 0.0329 P(-1.97 <z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.97) = 0.8051 – 0.0244 = 0.7807

Contoh: Mencari Nilai Z Carilah nilai Z=k pada tabel distribusi normal standard sehingga P(Z>k) = 0.3015 P(k<Z<-0.18) =0.4197 Jawab: P(Z>k) = 0.3015 berarti P(Z<k) = 1- P(z>k) = 1 – 0.3015 = 0.6985 Dari tabel terbaca luas ke kiri = 0.6985 adalah untuk Z = 0.52. b) P(k<Z<-0.18) = P(Z<-0.18) – P(Z<k) = 0.4197 = 0.4286 – P(Z<k) = 0.4197 Jadi P(Z<k) = 0.4286- 0.4197 = 0.0089 Dari tabel Z = -2.37

Contoh: Luas di bawah kurva distribusi normal yang tidak baku (non standard) Variaber X tersebar normal dengan rataan 50 dan simpangan baku = 10. Carilah peluang untuk menemukan X = 45 - 62? Jawab. Dalam soal ini μ = 50 dan σ=10. x1 = 45 dan x2 =62 Pertama-tama kita konversi X menjadi Z (melakukan normalisasi atau standardisasi): z1 = (x1 -μ)/σ  z1 = (45-50)/10 = -0.5 z2 = (x2 -μ)/σ  z2 = (62-50)/10 = 1.2 Sehingga: P(45 <X< 62) = P(-0.5< Z <1.2) P(-0.5<Z<1.2) = P(Z<1.2) – P(Z<-0.5) = 0.8849-0.3085 = 0.5764

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan Diketahui luas daerah di bawah kurva distribusi normal yang diinginkan yang terkait dengan besarnya peluang, ingin dicari nilai peubah acak X yang terkait. Contoh. Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai x0 sehingga: P(x<x0) = 45% P(x>x0)=14% Jawab. Kita mulai dengan mencari nilai Z yang sama luasnya. P(z<z0) = 45% = 0.45  dari tabel z0 = -0.13 z0 = (x0-μ)/σ  x0 = μ + σz0 = 40 +6*(-0.13) = 39.22

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan Jawab. b) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya. P(z>z0) = 14%  P(z<z0) = 1- P(z>z0) = 1-0.14 = 0.86 P(z<z0) = 0.86  dari tabel z0 = 1.08 z0 = (x0-μ)/σ  x0 = μ + σz0 = 40 +6*(1.08) = 46.48

Soal: Dalam suatu ujian akhir Matematika, mean nilai adalah 72 sementara deviasi standarnya adalah 15. tentukan angka-angka standar (yaitu nilai-nilai dalam satuan deviasi standar) dari siswa-siswa yang memperoleh nilai (a) 60 (b) 93 (c) 72 Sebuah koin yang seimbang dilemparkan sebanyak 500 kali. Carilah probabilitas bahwa selisih banyaknya kemunculan tanda gambar dengan 250 kali adalah (a) tidak lebih dari 10 (b) tidak lebih dari 30

Soal Diameter ball-bearing yg diproduksi sebuah pabrik memiliki mean 3cm dengan standard deviasi 0.005 cm. Pembeli hanya mau menerima jikalau ball bearingnya memiliki diameter 3.0±0.01cm. a) berapakah persenkah dari produksi pabrik tersebut yg tidak bisa diterima pembeli? b) jikalau dalam sebulan pabrik tsb memproduksi 10000 ball-bearing, berapa banyak yg harus dibuang tiap bulan karena ditolak pembeli? Sebuah pengukur diameter bola besi dipasang secara otomatis dalam sebuah pabrik. Pengukur tsb hanya akan meloloskan diameter bola 1.50±d cm. Diketahui bahwa bola produksi pabrik tersebut memiliki diameter yg terdistribusi normal dengan rata-rata 1.50 dan standard deviasi 0.2 cm. Jikalau diinginkan bahwa 95% produksinya lolos seleksi berapakah nilai d harus ditetapkan?

Soal Rata-rata nilai kuliah statistik diketahui 65 dengan standard deviasi 15. a) Jikalau diinginkan 15% murid mendapat nilai A dan diketahui distribusi nilai normal, berapakah batas bawah nilai agar mendapat A? (b) Selanjutanya diinginkan yg mendapat B adalah sebanyak 25%. Berapakah batas bawah B? (c) Seandainya diinginkan yg tidak lulus paling banyak 25%, berapakah batas bawah agar siswa lulus?

Diunduh dari: …… 12/9/2012

Diunduh dari: …… 12/9/2012

Diunduh dari: http://www.quickmba.com/stats/centralten/ …… 12/9/2012 TENDENSI SENTRAL Tendensi sentral mencerminkan nilai "middle" atau nilai tipikal dari data, dan diukur dengan menggunakan mean, median, atau mode. Masing-masing ukuran ini dihitung dengan cara yang berbeda, dan cara yang terbaik tergantung situasi. Diunduh dari: http://www.quickmba.com/stats/centralten/ …… 12/9/2012

Kapan menggunakan Mean, Median, dan Mode Berikut ini adalah metode-metode yang sesuai untuk menentukan nilai “middle atau typical” dari seperanghkat data berdasarkan sekala pengukuran data. Sekala Pengukuran Ukuran terbaik untuk "Middle" Nominal (Categorical) Mode Ordinal Median Interval Symmetrical data: Mean Skewed data: Median Ratio Diunduh dari: http://www.quickmba.com/stats/centralten/ …… 12/9/2012

PEMUSATAN Ukuran pemusatan data merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data, nilai tersebut menunjukkan pusat data. Ukuran pemusatan data: Rata-rata hitung Median Modus Rata-rata ukur Rata-rata harmonis Diunduh dari: …… 12/9/2012

Mean, median, and mode for a symmetric histogram and frequency distribution curve.

Mean, median, and mode for a histogram and frequency distribution curve skewed to the right.

Mean, median, and mode for a histogram and frequency distribution curve skewed to the left.

RATAAN HITUNG Rumus : Untuk data yang berulang Untuk data yang berulang dengan frekuensi tertentu

RATAAN HITUNG 1. Dalam Tabel Distribusi Frekuensi Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi fX 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 8 12 23 6 45 112 164 432 804 1840 558 Σf = 60 ΣfX = 3955

RATAAN HITUNG 2. Dengan Memakai Kode (U) Interval Kelas Nilai Tengah (X) U Frekuensi fU 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 12 23 6 -9 -8 -4 46 18 Σf = 60 ΣfU = 55

RATAAN HITUNG 3. Dengan pembobotan Masing-masing data diberi bobot. Misal A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76 untuk mid dan 70 untuk ujian akhir. Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian Akhir 4, maka rata-rata hitungnya adalah :

MEDIAN Untuk data berkelompok

MEDIAN Contoh : Letak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 61-73, sehingga : L0 = 60,5 F = 19 f = 12 Interval Kelas Frekuensi 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 8 12 23 6 Σf = 60

MODE = MODUS Untuk data berkelompok

MODE = MODUS Contoh : Data yang paling sering muncul adalah pada interval 74-86, sehingga : L0 = 73,5 b1 = 23-12 = 11 b2 = 23-6 =17 Interval Kelas Frekuensi 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 8 12 23 6 Σf = 60

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS Ada 3 MACAM kurva distribusi data : Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri. Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka kurva miring ke kanan. Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka kurva miring ke kiri.

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS Jika distribusi data tidak simetri, maka hubungannya : Rataan hitung - Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)

RATAAN UKUR Digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain berkelipatan. Untuk data tidak berkelompok Untuk data berkelompok

RATAAN UKUR Contoh : Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi log X f log X 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 8 12 23 6 1,18 1,45 1,61 1,73 1,83 1,90 1,97 3,54 5,8 6,44 13,84 21,96 43,7 11,82 Σf = 60 Σf log X = 107,1

RATAAN HARMONIS Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk pecahan atau desimal. Untuk data tidak berkelompok Untuk data berkelompok

RATAAN HARMONIS Contoh : Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi f / X 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 8 12 23 6 0,2 0,143 0,098 0,148 0,179 0,288 0,065 Σf = 60 Σf / X = 1,121

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar. Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas.

KUARTIL Untuk data tidak berkelompok Untuk data berkelompok L0 = batas bawah kelas kuartil F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qi f = frekuensi kelas kuartil Qi

KUARTIL Contoh : Q1 membagi data menjadi 25 % Sehingga : Q1 terletak pada 48-60 Q2 terletak pada 61-73 Q3 terletak pada 74-86 Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 8 12 23 6 Σf = 60

KUARTIL Untuk Q1, maka : Untuk Q2, maka : Untuk Q3, maka :

DESIL 2. Desil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.

DESIL Untuk data tidak berkelompok Untuk data berkelompok L0 = batas bawah kelas desil Di F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil Di f = frekuensi kelas desil Di

DESIL Contoh : D3 membagi data 30% D7 membagi data 70% Sehingga : D3 berada pada 48-60 D7 berada pada 74-86 Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 8 12 23 6 Σf = 60

DESIL

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL Untuk data tidak berkelompok Untuk data berkelompok

DISPERSI = SEBARAN Dalam statistika, dispersi statistik (juga disebut keragaman statistik atau variasi) merupakan variabilitas atau sebaran suatu peubah atau suatu distribusi peluang. Contoh ukuran dispersi statistik adalah ragam (variance), simpangan baku (standard deviation) dan kisaran inter-quartil. Dispersion is contrasted with location or central tendency, and together they are the most used properties of distributions. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion …… 12/9/2012

UKURAN SEBARAN Ukuran dispersi statistik merupakan bilangan riil non-negatif, sehingga nilainya nol kialau semua data sama dan nilainya meningkat kalau datanya mernjadi lebih beragam. Most measures of dispersion have the same scale as the quantity being measured. In other words, if the measurements have units such as metres or seconds, the measure of dispersion has the same units. Ukuran dispersi meliputi: Standard deviation = Simpangan Baku Interquartile range or Interdecile range Range = Kisaran = Jangkauan Mean difference = Rataan Median absolute deviation Rataan simpangan absolut (atau simpangan rata-rata) Jarak simpangan baku Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion …… 12/9/2012

UKURAN SEBARAN Ukuran dispersi ini meliputi: Ukuran lain dari “dispersion” tidak berdimensi (bebas sekala). Dengan kata lain, ukuran dispersi itu tidak mempunyai satuan, meskipun peubahnya mempunyai satuan. Ukuran dispersi ini meliputi: Coefficient of variation = Koefisien Keragaman Quartile coefficient of dispersion = Quartil Relative mean difference, equal to twice the Gini coefficient Ukuran dispersi yang lainnya : RAGAM (kuadrat simpangan baku) — lokasinya tidak beragam tetapi sekala tidak linear. Variance-to-mean ratio — mostly used for count data when the term coefficient of dispersion is used and when this ratio is dimensionless, as count data are themselves dimensionless: otherwise this is not scale-free. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion …… 12/9/2012

SUMBER SEBARAN Dalam ilmu-ilmu biologis, kuantitas yang diukur biasanya tidak stabil, dan variasi yang terjadi dapat bersifat intrinsic pada fenomenanya: It may be due to inter-individual variability, that is, distinct members of a population differing from each other. Also, it may be due to intra-individual variability, that is, one and the same subject differing in tests taken at different times or in other differing conditions. Tipe-tipe variabilitas seperti itu juga tampak di arena produk-produk manufaktur; bahkan para sarjana “meticulous” juga menemukan adanya variasi. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion …… 12/9/2012

Ukuran penyebaran data adalah SEBARAN DATA Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. 1. Jangkauan ( Range ) Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data. Jangkauan dapat dihitung dengan rumus: R = X maks – X min Contoh : Tentukan range dari data : 10, 6, 8, 2, 4 Jawab : R = Xmaks – Xmin = 10 – 2 = 8 Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA 2. Simpangan Rata-rata Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah: nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya. a. Data tunggal SR = Contoh : Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah : 7, 5, 6, 3, 8, 7. Tentukan simpangan rata-ratanya! Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA b. Data berbobot / data kelompok SR = x = data ke-i (data berbobot ) = titik tengah kelas interval ke-i (data kelompok ) f = frekuensi Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA 3.Simpangan Baku / standar deviasi Simpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat. In statistics, standard deviation (represented by the symbol sigma, σ) shows how much variation or "dispersion" exists from the average (mean, or expected value). A low standard deviation indicates that the data points tend to be very close to the mean, whereas high standard deviation indicates that the data points are spread out over a large range of values. a. Data Tunggal atau S = Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA Contoh : Tentukan simpangan baku dari data : 2, 3, 5, 8, 7. Jawab : = = 5 x 2 3 5 8 7 - 3 9 - 2 4 3 9 4 S = 2 = 26 = Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA b. Data berbobot / berkelompok S = atau Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

Aturan Distribusi Normal Teori “central limit” menyatakan bahwa distribusi rata-rata peubah acak independent yang terdistribusi secara identik cenderung ke arah distribusi normal berbentul lonceng, dengan fungsi kerapatan peluang : where μ is the expected value of the random variables, σ equals their distribution's standard deviation divided by n1/2, and n is the number of random variables. The standard deviation therefore is simply a scaling variable that adjusts how broad the curve will be, though it also appears in the normalizing constant. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation…… 12/9/2012

Aturan Distribusi Normal Zone biru tua kurang dari satu SD dari nilai rataan. For the normal distribution, this accounts for 68.27 percent of the set; while two standard deviations from the mean (medium and dark blue) account for 95.45 percent; three standard deviations (light, medium, and dark blue) account for 99.73 percent; and four standard deviations account for 99.994 percent. Dua titik pada kurva yang satu SD dari rata-rata , juga merupakan titik-titik belok. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation…… 12/9/2012

Aturan Distribusi normal Diunduh dari: http://www.six-sigma-material.com/Normal-Distribution.html…… 19/9/2012

SEBARAN DATA 4.Kuartil Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat bagian yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan. Dengan garis bilangan letak kuartil dapat ditunjukkan sebagai berikut: Q1 Q2 Q3 Menentukan nilai Kuartil Data tunggal Letak Qi = data ke dengan i = 1, 2, 3 dan n = banyaknya data Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA Contoh : Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai berikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan : a. Kuartil bawah (Q1) b. Kuartil tengah (Q2) c. Kuartil atas (Q3) Jawab : Data diurutkan : 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 a. Letak Q1 = data ke – = data ke- 3 ¼ Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA Hal.: 94 STATISTIK Nilai Q1 = data ke-3 + ¼ (data ke4 – data ke3) = 1 + ¼ (2 – 1) = 1¼ b. Letak Q2 = data ke = data ke 6½ Nilai Q2 = data ke 6 + ½ (data ke7 – data ke6) = 3 + ½ (3 – 3) = 3 Hal.: 94 STATISTIK Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA c. Letak Q3 = data ke = data ke 9 ¾ Nilai Q3 = data ke 9 + ¾ (data ke10 - data ke 9) = 4 + ¾ (4 – 4) = 4 Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA Jangkauan Semi Inter Kuartil /Simpangan Kuartil (Qd) didefinisikan sebagai berikut: Qd = ½ (Q3 – Q1) b. Data Kelompok Nilai Qi = b + p dengan i = 1, 2, 3 b = tepi bawah kelas Qi p = panjang kelas F = jumlah frekuensi sebelum kelas Qi f = frekuensi kelas Qi n = jumlah data Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

5. Persentil SEBARAN DATA Persentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi kelompok bilangan tersebut atas 100 bagian yang sama banyaknya setelah bilangan bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. a. Data tunggal / berbobot Letak Pi = data ke dengan i = 1, 2, …, 99 Contoh : Diketahui data : 9, 3, 8, 4, 5, 6, 8, 7, 5, 7 Tentukan P20 dan P70 Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA Jawab : Data diurutkan : 3 ,4, 5, 5, 6, 7, 7 ,8, 8, 9 Letak P20 = data ke = data ke 2 Nilai P20 = data ke 2 + (data ke 3 – data ke2) = 4 + (5 – 4) = 4 Diunduh dari: …… 12/9/2012

SEBARAN DATA Letak P70 = data ke = data ke 7 Nilai P70 = data ke 7 + (data ke 8 - data ke7) = 7 + ( 8 – 7 ) = 7 Diunduh dari: …… 12/9/2012

Jangkauan Persentil = P90 – P10 SEBARAN DATA b. Data kelompok Nilai Pi = b + p , dengan i = 1,2,..,99 Jangkauan Persentil = P90 – P10 Diunduh dari: …… 12/9/2012

STANDARD ERROR = SALAH BAKU Salah baku merupakan simpangan baku dari distribusi sampling suatu data. Istilah ini juga digunakan untuk menyatakan suatu estimasi simpangan baku, yang berasal dari sampel tertentu yang dipakai untuk menghitung estimasi tersebut. For example, the sample mean is the usual estimator of a population mean. However, different samples drawn from that same population would in general have different values of the sample mean. Salah baku rata-rata (yaitu menggunakan rataan sampel sebagai metode untuk estimasi rataan populasi) merupakan simpangan baku dari semua rata-rata sampel yang mungkin diambil dari populasi. Salah baku rata-rata juga mencerminkan estimasi simpangan baku, yang dihitung dari sampel data yang dianalisis pada waktu tertentu. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error_%28statistics%29…… 12/9/2012

SALAH BAKU RATA-RATA The standard error of the mean (SEM) is the standard deviation of the sample-mean's estimate of a population mean. (It can also be viewed as the standard deviation of the error in the sample mean relative to the true mean, since the sample mean is an unbiased estimator.) SEM is usually estimated by the sample estimate of the population standard deviation (sample standard deviation) divided by the square root of the sample size (assuming statistical independence of the values in the sample): Where: s is the sample standard deviation (i.e., the sample-based estimate of the standard deviation of the population), and n is the size (number of observations) of the sample. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error_%28statistics%29…… 12/9/2012

Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Variance …… 12/9/2012 VARIANCE = RAGAM Ragam merupakan parameter yang mencerminkan bagian dari distribusi peluang aktual dari populasi “angka” yang diamati, atau distribusi peluang teoritis suatu sampel “angka’. Sampel data dari distribusi dapat digunakan untuk menghitung estimasi ragamnya: Dalam hal yang paling sederhana, estimasi ini dapat menjadi ragam sampel. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Variance …… 12/9/2012

KK = KOEFISIEN KERAGAMAN 6. Koefisien Variasi = Koefisienj Keragaman =KK Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan persentase. Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari rata-rata hitungnya. Besarnya Koefisien Keragaman dinyatakan dengan rumus, KK = x 100% KK = koefisien keragaman S = simpangan baku = rataan Diunduh dari: …… 12/9/2012

SEBARAN DATA Contoh 1: Nilai rata-rata matematika Kelas III Mesin1 adalah 80 dengan simpangan standar 4,5. Jika nilai rata-rata Kelas III Mesin 2 adalah 70 dengan simpangan standar 5,2. Hitunglah koefisien variasi masing-masing. Jawab : KV III Mesin 1 = x 100% = x 100% = 5,6% KV III Mesin 2 = x 100% = 7,4% Diunduh dari: …… 12/9/2012

SEBARAN DATA Contoh 2 : Standar deviasi sekelompok data adalah 1,5 sedang koefisien variasinya adalah 12,5%. Mean kelompok data tersebut adalah…. Jawab : KV = x 100% 12,5% = x 100% = = 12 Diunduh dari: …… 12/9/2012

ANGKA BAKU 7. Angka Baku Angka Baku digunakan untuk mengetahui kedudukan suatu objek yang sedang diselidiki dibandingkan terhadap nilai rata-rata kumpulan objek tersebut. Angka Baku (nilai standar) dapat dihitung dengan menggunakan rumus : Z = x = nilai data = nilai rata-rata s = standar deviasi Diunduh dari: …… 12/9/2012

ANGKA BAKU Contoh 1: Seorang siswa mendapat nilai matematika 70 dengan rata-rata 60 dan standar deviasi12, nilai Bahasa Inggris 80 dengan rata rata 75 dan simpangan bakunya 15, manakah kedudukan nilai yang paling baik ? Jawab : Zm = = 0,83 Zb = = 0,33 Jadi kedudukan nilai matematika lebih baik dari pada nilai Bahasa Inggris. Diunduh dari: …… 12/9/2012

Ukuran Keruncingan / Kurtosis UKURAN KURTOSIS Ukuran Keruncingan / Kurtosis Kurtosis adalah derajat kelancipan suatu distribusi jika dibandingkan dengan Distribusi normal Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva (koefisien kurtosis) dapat Digunakan rumus : KK = Diunduh dari: …… 12/9/2012

UKURAN KURTOSIS Keterangan : Jika nilai KK > 3 kurva leptokurtis (puncaknya runcing sekali) KK < 3 kurva platikurtis (puncaknya agak mendatar) KK = 0 kurva mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing atau distribusi normal) Contoh : Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi diketahui nilai Q1 = 55,24 ; Q3 = 73,64 ; P10 = 44,5 ;P90 = 82,5. Besarnya koefisien kurtosis kurva data tersebut adalah…. Diunduh dari: …… 12/9/2012

UKURAN KURTOSIS Jawab : KK = = = 0,242 = 0,242 Karena KK < 3 maka kurva distribusi tersebut platikurtik. Diunduh dari: …… 12/9/2012

RAGAM = VARIANS = VARIANCE Dalam teori PELUANG dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu perubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran bagi sebaran data. Hal yang diukur adalah seberapa jauh data tersebar di sekitar nilai rataannya). Ragam merupakan salah satu parameter bagi distribusi normal. Akar dari ragam adalah simpangan baku (standard deviation). Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Varians …… 19/9/2012

RAGAM = VARIANS = VARIANCE Jika sebuah variabel random X mempunyai nilai rata-rata μ = E[X], maka ragam dari X adalah: Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Varians …… 12/9/2012

Ragam untuk Data Tunggal Misalnya data x1, x2, x3, …, xn mempunyai rataan , ragam atau varians dapat ditentukan dengan rumus: Dengan : S2 = ragam atau varians n = banyaknya data xi = data ke-i =rataan hitung

Ragam untuk Data Berkelompok Untuk ragam data berkelompok, nilai ragam dapat ditentukan dengan rumus : Dengan : S2 = ragam atau varians n = banyaknya data k = banyaknya kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i xi = data ke-i =rataan hitung

Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut : Contoh : Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut : Skor Frekuensi 40-49 1 50-59 4 60-69 8 70-79 14 80-89 10 90-99 3 Diunduh dari: …… 12/9/2012

Jadi, nilai ragamnya 136,94 dan nilai simpangan bakunya 11,70 Jawab: Skor fi xi fixi 40-49 1 44,5 -29,25 855,56 50-59 4 54,5 218 -19,25 370,56 1. 482,25 60-69 8 64,5 516 -9,25 85,56 684,48 70-79 14 74,5 1083 0,75 0,56 7,88 80-89 10 84,5 845 10,75 115,56 1.155,63 90-99 3 94,5 283,5 20,75 430,56 1.291,69 Jumlah 40 2950 5.477,49 Jadi, nilai ragamnya 136,94 dan nilai simpangan bakunya 11,70

Tentukan ragam untuk data berikut : 10, 44, 56, 62, 65, 72, 76 SOAL Tentukan ragam untuk data berikut : 10, 44, 56, 62, 65, 72, 76 2. Pada tabel berat badan anak berikut tentukan ragam (varians) nya Berat Badan Frekuensi 21-25 2 26-30 8 31-35 9 36-40 6 41-45 3 46-50

Analisis ragam merupakan analisis penampilan ragam. Ragam mencerminkan perbedaan antara hasil aktual dengan hasil yang diharapkan. Proses menganalisis total perbedaan antara hasil baku dan hasul aktual disebut ANALISIS RAGAM. Analisis ragam merupakan analisis penampilan ragam. When actual results are better than the expected results, we have a favourable variance (F). If, on the other hand, actual results are worse than expected results, we have an adverse (A). Diunduh dari: http://www.globusz.com/ebooks/Costing/00000015.htm …… 12/9/2012

ANALISIS RAGAM Dalam statistika, analisis ragam (Sidik Ragam = ANOVA) merupakan sekumpulan model-model statistik, dan prosedur-prosedurnya, dimana ragam pada peubah tertentu dipilah m,enjadi komponen-komponenya sesuai dengan sumber keragamannya. In its simplest form, ANOVA provides a statistical test of whether or not the means of several groups are all equal, and therefore generalizes t-test to more than two groups. Melakukan uji-t dua sampel ganda menghasilkan peningkatan peluang melakukan kesalahan Tipe I. Oleh karena itu, ANOVAs merupakan pembandingan yang bagus bagi dua nilai rata-rata atau elebih. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Analysis_of_variance…… 12/9/2012

ANALISIS RAGAM Analisis ragam merupakan suatu cara yang dapat digunakan untuk menguji rataan populasi. Teknik analisis ragam digunakan untuk menganalisis atau menguraikan total ragam menjadi bagian-bagian yang bermakna. Analisis ragam digunakan untuk menguji k buah rataan populasi (k > 2). Populasi-populasi itu dianggap saling bebas dan menyebar normal dengan nilai rataan 1,2,…,k dan ragamnya sama dengan 2. Diunduh dari: …… 12/9/2012

Kata “error” Mengandung beragam makna dan pengertian. ERROR = GALAT Kata “error” Mengandung beragam makna dan pengertian. Makna konkrit dari kata Latin "error" adalah "wandering" atau "straying". Misalnya, seseorang yang menggunakan terlalu banyak bahan campuran dalam suatu “resep” dan ternyata produknya tidak berhasil, maka ia dapat mempelajari jumlah bahan yang tepat untuk digunakan dan dapat menghindari terulangnya kesalahan. Akan tetapi, beberapa “error” dapat terjadi meskipun seseorang telah berkompeten untuk melaksanakan tuga dengan benar. Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Error…… 12/9/2012

Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Galat…… 12/9/2012 ERROR = GALAT Dalam statistika dan matematika stokastik, galat (bahasa Inggris: error) adalah sumber variasi data yang tidak dapat dimasukkan ke dalam model. Dalam literatur statistika, galat dikenal pula sebagai sesatan, pengotor, sisa, residu, atau noise. Pada suatu model data sederhana, masing-masing nilai pengamatan dapat dipilah menjadi rataan (mean) dan simpangannya (deviation). Dalam hal ini, galat sama dengan simpangan. Galat yang demikian ini disebut sebagai galat pengamatan. Dalam pengambilan contoh (sampel) data dari suatu populasi, galat diukur dari penyimpangan nilai rerata contoh dari rerata populasi. Galat ini dikenal sebagai galat pengambilan contoh (sampling error) atau galat contoh saja. Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Galat…… 12/9/2012

GALAT BERGALAT SILAP CACAT SALAH CELA KELIRU Diunduh dari: …… 12/9/2012

Terima kasih atas perhatian nya