SUDUT ANTARA DUA VEKTOR PROJEKSI & KOMPONEN DUA VEKTOR PERTEMUAN X PERKALIAN JARAK DUA VEKTOR SUDUT ANTARA DUA VEKTOR PROJEKSI & KOMPONEN DUA VEKTOR

PERKALIAN DUA VEKTOR 2 jenis perkalian dua vektor : Dot Product Cross Product

DOT PRODUCT Lambang : u . v Hasil : skalar Definisi 1 (jika diketahui sudut antara 2 vektor ): Jika u dan v adalah vektor di ruang 2 atau ruang 3, dan  adalah sudut di antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis ( Euclidean inner product ) u.v didefinisikan oleh :

Definisi 2 (Jika tidak diketahui sudut diantaranya ): Untuk u=(u1,u2) dan v=(v1,v2) maka : u.v = u1 v1 + u2 v2 Untuk u=(u1,u2,u3) dan v=(v1,v2,v3) maka : u.v = u1 v1 + u2 v2+ u3.v3 TEOREMA Jika v adalah vektor di R2 atau R3, maka :

TEOREMA Jika u,v dan w adalah vektor di R2 atau R3 dan k adalah skalar, maka : a. u . v = v. u b. u. (v + w) = u.v + u.w c. k (u.v) = (k u) .v = u . (kv) d. v .v > 0 jika v  0 dan v.v = 0 jika v = 0

CROSS PRODUCT Digunakan khusus untuk vektor di R3 Lambang : u x v Hasil : vektor Definisi :

TEOREMA u . (u x v) = 0 v. (u x v) = 0 u x v = - (v x u ) Jika u dan v adalah vektor di R3 maka : u . (u x v) = 0 v. (u x v) = 0 u x v = - (v x u ) u x (v + w) = (u x v) + ( u x w) (u+v) x w=(u x w) + ( v x w) k (u x v)=(k u) x v=u x kv u x 0=0 x u= 0 u x u=0 u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)

SUDUT ANTARA 2 VEKTOR Jika u dan v adalah vektor tak nol, dan  adalah sudut antara vektor u dan v, maka :

TEOREMA Jika u dan v adalah vektor vektor tak nol dan  adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka :  lancip, jika dan hanya jika u.v  0  tumpul, jika dan hanya jika u.v  0  = /2 , jika dan hanya jika u.v = 0

PROJ (U,V) & KOMP (U,V) Dot product, berguna bila diinginkan untuk menguraikan vektor ke dalam penjumlahan dua vektor yang saling tegak lurus. Perhatikan gambar di bawah ini : u w2 w1 v

Jika u dan v adalah vektor vektor tak nol dalam R2 atau R3, maka u dapat dituliskan : u = w1 + w2 di mana w1 adalah kelipatan skalar dari v, dan w2 tegak lurus kepada v. Dikatakan : w1 adalah projeksi ortogonal dari u pada v w2 adalah komponen dari u yang ortogonal kepada v

Menentukan vektor w1 dan w2 : Karena w1 adalah kelipatan skalar dari v, maka dapat ditulis dalam bentuk w1 = kv . Jadi : u = w1 + w2 = kv + w2 Dengan definisi dari dot product maka didapatkan : u.v = (kv + w2).v = k + w2.v Karena w2 tegak lurus kepada v, maka diperoleh w2.v = 0 sehingga pers menjadi :

dan karena w1 = kv, maka didapat : yaitu projeksi ortogonal u pada v

Dengan substitusi u = w1 + w2 untuk mendapatkan w2 maka didapat rumus berikut : yaitu komponen dari u yang tegak lurus pada v

Jadi :