BAB V (lanjutan) VEKTOR

5.9 Aritmatika Vektor 5.9.1 Sifat-sifat Operasi Vektor Jika u dan v adalah vektor-vektor biudang atau ruang dan k serta l adalah skalar, maka berlaku hubungan-hubungan berikut. u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) u + 0 = 0 + u = u u + (–u) = 0 e) k(lu) = (kl) u f) k(u+v)=ku+kv (k + l)u = ku+lv 1 u = u

Untuk vektor bidang (dimensi 2) 5.9.2 Norma Suatu Vektor Panjang (length) suatu vektor u (disebut juga sebagai norma (norm) dari u) dinyatakan dengan ||u||. y x O ||u||  (u1, u2) u1 u2 Untuk vektor bidang (dimensi 2)

Untuk vektor ruang (dimensi 3) y z O ||u|| x (u1, u2, u3) u2 u1 u3

5.9.3 Jarak Antara Dua Titik Jika P1 (x1, y1) dan P2 (x2, y2) adalah dua buah titik pada ruang dimensi 2, maka jarak antara kedua titik tersebut adalah: Jika P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) adalah dua titik pada ruang dimensi 3, maka jarak antara kedua titik tersebut adalah

Contoh 5.5 Diketahui u = (–3, 2, 1). Tentukan ||u|| Penyelesian 2. Diketahui P1(2, –1, –5) dan P2(4, –3, –1) adalah

Latihan Tentukan norma dari v a) v = (4, –3) b. v = (–7, 2, –1) II. Tentukan jarak P1 dan P2 a) P1 (3, 4) , P2 (5, 7) b) P1 (7, –5, 1) P2 (–7, –2, –1) Misalkan u = (2, –2, 3), v = 1, –3, 4) , w = (3, 6, –4) Tentukan| a) ||u + v|| b) ||u|| + ||v|| c) ||3u – 5v + w|| d) e)

5.10.1 Hasil kali titik dari vektor-vektor Misal u dan v adalah dua vektor pada bidang atau ruang yang mempunyai titik awal yang berimpit. Sudut yang diapit oleh u dan v adalah sudut  yang memenuhi 0      v u  u v  u v  u v Sudut  antara u dan v yang memenuhi 0    

Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor pada bidang (dimensi 2) atau pada ruang (dimensi 3), dan  adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidean (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh, Contoh 5.6 Sudut antara u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2) adalah  = 450, tentukan hasil kali titik u.v Penyelesaian

Hasil kali titik berbentuk komponen vektor Jika terdapat vektor u dan v pada bidang atau ruang, maka hasil kali titik dalam bentuk komponen vektor adalah, u . v = u1 v1 + u2 v2 (vektor bidang) u . v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 (vektor ruang)

Sudut antara dua vektor Jika terdapat vektor u dan v pada bidang atau ruang, maka Sudut antara dua vektor tersebut adalah, Misal u dan v adalah vektor-vektor pada ruang dimensi 2 atau dimensi 3. Kita dapat menyimpulkan bahwa: adalah sudut lancip jika dan hanya jika u.v > 0 adalah sudut tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 = /2 jika dan hanya jika u.v = 0

Contoh 5.7 Jika u = (2, –1, 1) dan v = (1, 1, 2), tentukan, u.v dan sudut  antara u dan v. Penyelesaian u . v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = (2)(1) + (–1)(1) + (1)(2) = 3  adalah sudut tumpul karena u.v > 0

Latihan Diketahui u = (1, –2, 2), v = (–2, 4, 4), dan w = (3, 6, 2) Tentukan, a) u.v dan sudut  antara u dan v b) v.w dan sudut  antara v dan w c) w.u dan sudut  antara w dan u