MODEL-MODEL DISTRIBUSI-TRANSPORTASI BERBASIS BIAYA TERKECIL Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Transportation Management Masalah Transportasi merupakan: masalah distribusi produk dari sumber-sumber tertentu ke lokasi tujuan dengan biaya minimum Salah satu kelas dari Pemrograman Linier Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Transportation Management Misalkan ada: m Gudang tempat menyimpan suatu komoditi , dengan kapasitas supply masing2 a1, a2, …, ai …, am n Pasar dengan permintaan thdp komoditi tersebut sebesar b1, b2, …, bj, …, bn Biaya transportasi dari Gudang i ke pasar j sebesar cij Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Perumusan Programa Linier Jika xij : jumlah komoditi yang dikirim dari Gudang i ke Pasar j, maka: Minimasi Z=  cij xij i j dg Kendala  xij  ai , kendala pada Gudang i, i=1, 2, m i  xij  bj , kendala pada Pasar j, j=1,2, n j xij  0 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Perumusan Programa Linier Misalkan m=3 dan n=4, maka: Z=c11.x11+ c12.x12+ c13.x13+ c14.x14+ c21.x21+ c22.x22+ c23.x23+ c24.x24+ c31.x31+ c32.x32+ c33.x33+ c34.x34 Kendala Gudang: x11+ x12+ x13+ x14  a1 x21+ x22+ x23+ x24  a2 x31+ x32+ x33+ x34  a3 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Perumusan Programa Linier Kendala Pasar: x11+ x21+ x31  b1 x12+ x22+ x32  b2 x13+ x23+ x33  b3 x11 0, x12 0, …, x33 0, dan x34 0. Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Perumusan Programa Linier Kendala suplai agar jumlah pengiriman total tiap Gudang tidak melebihi kapasitasnya Kendala pasar menjaga jumlah pengiriman memenuhi permintaan minimum Pasar Pemintaan pasar hanya dapat dipenuhi jika: m n  ai   bj , atau: i j a1+a2+…+am  b1+b2+ … + bn Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Model Transportasi Standar Jika m n  ai =  bj , atau i j a1+a2+…+am = b1+b2+ … + bn , maka Permasalahan ini disebut Transportasi Standar atau Balance Model, dengan Model seperti berikut: Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Model Transportasi Standar Jika xij : jumlah komoditi yang dikirim dari Gudang i ke Pasar j, maka: Minimasi Z=  cij xij i j dg Kendala  xij = aj , untuk i=1, 2, …, m i  xij = bj , untuk j=1,2, …, n j xij  0 , untuk semua i, j Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Model Transportasi Standar Jika bukan Balance Model, diatasi dengan menambah Gudang khayal atau Pasar khayal. Jika suplai lebih besar dari permintaan pasar, maka tambahkan pasar ke (n+1) dengan permintaan sejumlah: m n bn+1 =  ai   bj , i j dengan ongkos pengiriman ci, n+1 = 0 utk i=1, …, m Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Model Transportasi Standar (2) Jika jumlah permintaan lebih besar dari suplai, maka tambahkan Gudang ke (m+1) dengan kapasitas sebesar: n m am+1 =  bj   ai , j i dengan ongkos pengiriman cm+1, j = 0 utk j=1, …, n Keistimewaan masalah Transportasi, dapat digambarkan dalam bentuk Tabel seperti berikut: Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

P1 P2 P3 P4 G1 x11 x12 x13 x14 a1 G2 x21 x22 x23 x24 a2 G3 x31 x32 x33 Tabel 1: Model Transportasi Standar P1 P2 P3 P4 Pasokan G1 x11 x12 x13 x14 a1 G2 x21 x22 x23 x24 a2 G3 x31 x32 x33 x34 a3 Permintaan b1 b2 b3 b4 ai= bi c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Tahap Penyelesaian Masalah Transportasi Menentukan Solusi Basis Layak Awal - Metode Pojok Kiri Atas - Metode Biaya Terkecil - Metode Vogel (2) Test Optimalitas - Metode Stepping Stone - Metode MODI (Modified Distribution) Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Tabel 2: Contoh Kasus Transportasi Standar Pasokan G1 3 G2 7 G3 5 Permintaan 4 15 3 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Tabel 2: Contoh Kasus Transportasi Standar Pasokan G1 3 G2 7 G3 5 Permintaan 4 15 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Solusi Basis layak Awal (1): Metode 1 Metode Pojok Kiri Atas Alokasi atau penentuan variabel basis di mulai dari pojok kiri atas. Dari tabel 2, x11 merupakan variabel basis pertama. Tentukan x11 = min (a1, b1) = min (3, 4) = 3 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Solusi Basis layak Awal (2): Metode 1 Hasil: P1 P2 P3 P4 3 # G1 3 0 2 2 1 2 G2 7 10 8 5 4 G3 5 7 6 6 8 4 1 3 4 4

Solusi Basis layak Awal (3): Metode 1 Perubahan hasil: P1 P2 P3 P4 3 # 1 G1 G2 7 6 5 G3 4 1 3 4 4

Solusi Basis layak Awal (4): Metode 1 Perubahan hasil: P1 P2 P3 P4 3 # 1 G1 G2 7 6 3 5 G3 4 1 3 4 4

Solusi Basis layak Awal (5): Metode 1 Perubahan hasil: P1 P2 P3 P4 3 # 1 G1 G2 7 6 3 0 5 G3 4 1 3 4 1 4

Solusi Basis layak Awal (6): Metode 1 Hasil dari Metode Pojok Kiri Atas: P1 P2 P3 P4 3 # 1 4 G1 2 2 1 2 G2 7 6 3 0 10 8 5 4 5 4 0 G3 7 6 6 8 4 1 3 4 1 4

Hasil dari Metode 1 Variabel Basis: x11, x21, x22, x23, x33 dan x34 Variabel Non-Basis: x12, x13, x14, x24, x31 dan x32 Z= 3x2 + 1x10 + 3x8 + 3x5 + 1x6 + 4x8 = 93

Tabel 3: Untuk Latihan Bersama Mtd Pojok Kiri Atas Pasokan G1 5 10 # 15 G2 25 G3 Permintaan 45 10 20 11 12 7 9 20 14 16 18

Solusi Basis layak Awal: Metode 2 (2) Metode Biaya Terkecil Alokasikan sebanyak mungkin pada sel (variabel) yang mempunyai biaya terkecil. Dari tabel 2, c14=1 merupakan biaya terkecil, maka x14 merupakan variabel basis pertama. Tentukan x14 = min (a1, b4) = min (3, 4) = 3

P1 P2 P3 P4 G1 # 3 G2 7 G3 5 4 15 Tabel 4: Metode Biaya Terkecil (1) Pasokan G1 # 3 G2 7 G3 5 Permintaan 4 15 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8

P1 P2 P3 P4 G1 # 3 G2 1 7 G3 5 4 15 Tabel 4: Metode Biaya terkecil (2) Suplai G1 # 3 G2 1 7 G3 5 Permintaan 4 15 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

P1 P2 P3 P4 G1 # 3 G2 4 1 7 G3 5 15 Tabel 4: Metode Biaya terkecil (3) Suplai G1 # 3 G2 4 1 7 G3 5 Permintaan 15 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8

P1 P2 P3 P4 G1 # 3 G2 4 1 7 G3 5 15 Tabel 4: Metode Biaya terkecil (4) Suplai G1 # 3 G2 4 1 7 G3 5 Permintaan 15 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8

Tabel 4: Hasil dari Metode Biaya terkecil (5) P1 P2 P3 P4 Pasokan G1 # 3 G2 2 4 1 7 G3 5 Permintaan 15 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8

Hasil dari Metode 2 Variabel Basis: x14, x21, x23, x24, x31, dan x32 Variabel Non-Basis: x11, x12, x13, x22, x33 dan x34 Z= 3x1 + 2x10 + 4x5 + 1x4 + 2x7 +3x6 = 79

Tabel 3: Untuk Latihan Bersama Mtd Biaya Terkecil P1 P2 P3 P4 Suplai G1 # 15 G2 10 25 G3 5 Permintaan 45 10 20 11 12 7 9 20 14 16 18

Solusi Basis layak Awal : Metode 3 (3) Metode Pendekatan Vogel, dg tahap: (a) Hitung penalti utk tiap baris atau kolom dengan cara mengurangkan ongkos terkecil pada baris atau kolom tersebut dengan ongkos terkecil berikutnya pada baris atau kolom yang bersangkutan (b) Cari baris atau kolom yang mempunyai penalti terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin pada sel yang mempunyai ongkos terkecil pada baris atau kolom tersebut (c) Jika tinggal satu baris atau kolom yang belum tercoret pada langkah (a) dan (b)tercoret, maka tentukan variabel basis dengan metode ongkos terkecil, STOP.

P1 P2 P3 P4 G1 Contoh Metode Pendekatan Vogel (1) 3 1 G2 7 G3 5 4 15 2 Penalti G1 3 1 G2 7 G3 5 4 15 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8

P1 P2 P3 P4 G1 3 G2 G3 Contoh Metode Pendekatan Vogel (2) # 1 7 5 4 15 Penalti G1 3 # 1 G2 7 G3 5 4 15 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8

P1 P2 P3 P4 G1 3 G2 G3 Contoh Metode Pendekatan Vogel (3) # 1 * 7 1 5 Penalti G1 3 # 1 * G2 7 1 G3 5 0 0 4 15 2 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8

P1 P2 P3 P4 G1 3 G2 G3 Contoh Metode Pendekatan Vogel (4) # 1 4 7 1 3 Penalti G1 3 # 1 G2 4 7 1 3 G3 5 0 0 15 2 * 2 2 2 1 10 8 3 5 4 7 6 6 8

P1 P2 P3 P4 G1 3 G2 G3 Contoh Metode Pendekatan Vogel (5) # 1 4 7 1 3 Penalti G1 3 # 1 G2 4 7 1 3 G3 5 0 0 15 2 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8

P1 P2 P3 P4 G1 3 G2 G3 Contoh Metode Pendekatan Vogel (6) # 1 4 7 1 3 Penalti G1 3 # 1 G2 4 7 1 3 G3 5 0 0 15 2 2 2 2 1 10 8 5 4 7 6 6 8 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Hasil Metode Vogel Variabel Basis: x11, x23, x24, x31, x32 dan x33 Variabel Non-Basis: x12, x13, x14, x21, x22 dan x34 Z= 3x2 + 3x5 + 4x4 + 1x7 + 3x6 + 1x6 = 68 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Tabel 3: Untuk Latihan Bersama Mtd Vogel P1 P2 P3 P4 Suplai G1 # 5 10 15 G2 25 G3 Permintaan 45 10 11 5 5 20 5 12 7 9 20 2 5 9 14 16 18 5 5 7 1 2 7 7 3 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

METODE TRANSPORTASI Gudang A B C Kapasitas Pabrik Pabrik D 100 E 300 F Permintaan Gudang 200 700 To From 5 4 3 8 4 3 9 7 5 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

INITIAL SOLUTION TO THE PROBLEM USING NORTH WEST CORNER RULE Gudang A B C Kapasitas Pabrik Pabrik D 100 E 200 300 F Permintaan Gudang 700 To From 5 4 3 8 4 3 9 7 5 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Total Cost For Initial Solution Route From To Kuantitas Barang yg dikirim Biaya kirim per unit Total Cost D A 100 5 500 E 200 8 1.600 B 4 400 F C 7 700 1.000 4.200 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

OPTIMALISASI DG.STEPPING STONE Cara: tambahkan pd setiap variabel non-basis (kolom kosong) dengan nilai variabel basis yang bersesuaian, amati perubahan yang terjadi pada variabel basis yang berada pada kolom dan baris yg sama dengan variabel non-basis tadi, selanjutnya sesuaikan nilai-nilainya sehingga tidak merubah nilai-nilai pada kolom sumber maupun pada baris tujuan Hitung improvement index, bila masih ada nilai yang negatif berarti belum optimal Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Table 3: Optimalitas dengan Stepping Stone Gudang A B C Kapasitas Pabrik Pabrik D 100 Start E 200 300 F Permintaan Gudang 700 From 5 4 3 8 4 3 9 7 5 Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Improvement Index Dari Pabrik D ke Gudang B = DB – DA + EA – EB = 4 - 5 + 8 - 4 = 3 Dari Pabrik D ke Gudang C = DC–DA+EA – EB + FB - FC = 3 - 5 + 8 - 4 + 7 - 5 = 4 Dari Pabrik E ke Gudang C = EC – EB + FB – FC = 1 Dari Pabrik F ke Gudang A = FA – FB + EB – EA = ( -2 ) Deddy S/Bhn Ajar Riset Operasi

Table 4: Second Iteration To Gudang A B C Kapasitas Pabrik Pabrik D 100 Start E 200 300 F Permintaan Gudang 700 From 5 4 3 8 4 3 9 7 5

D ke B = (+DB-DA+EA-EB) = 4-5+8-4 = 3 Improvement Index D ke B = (+DB-DA+EA-EB) = 4-5+8-4 = 3 D ke C = ( DC-DA+FA-FC ) = 3-5+9-5 = 2 E ke C = ( EC-EA+FA-FC ) = 3-8+9-5 = -1 F ke B = ( FB-EB+EA-FA ) = 7-4+8-9 = 2 Total cost = (100x5)+(100x8)+(200x4)+(100x9)+(200x5)=4000

Table 5: Optimal Solution Gudang A B C Kapasitas Pabrik Pabrik D 100 E 200 300 F Permintaan Gudang 700 To From 5 4 3 8 4 3 9 7 5

Improvement Index E ke A = (EA-FA+FC-EC)= 1 F ke B = (FB-FC+EC-EB)= 1 D ke B = 0 D ke C = 2 Berarti sudah optimal, karena semua improvement index > = 0 TC = (100 x 5)+(200x4)+(100x3)+(200x9)+(100x5) = Rp 3.900

OPTIMALISASI DENGAN MODI Langkah-langkah Modified Distribution (Modi) 1. Hitung nilai masing-masing baris dan kolom yang terisi (Variabel basis) Ri = nilai ut baris ke i Kj = nilai ut kolom ke j Cij = biaya ut kotak ij (biaya dari sumber pengiriman i ke tujuan j) Ri + Kj = Cij

3. Cari nilai Ri dan Kj untuk kotak-kotak yang terisi Lanjutan 2. Tetapkan R1 = 0 3. Cari nilai Ri dan Kj untuk kotak-kotak yang terisi 4. Hitung improvement index = 5. Pilih negatif index yang paling besar, dan kerjakan selanjutnya seperti halnya dengan menggunakan stepping stone method Cij – Ri - Kj

Lanjutan Berdasarkan tabel 2, maka: ad1 R1+K1 = 5 ad 2. R1 = 0 R2+K1 = 8 ad 3. (1) R1+K1=5 R2+K2 = 4 0 + K1=5, K1 = 5 R3+K2 = 7 (2) R2+K1=8 R3+K3 = 5 R2+5 =8, R2 = 3 (3) R2+K2=4 3 + K2=4, K2 = 1 (4) R3+K2=7 R3+1 = 7, R3 = 6 (5) R3+K3=5 6 + K3=5, K3 = -1

Lanjutan Ad 4 D ke B = C12 – R1 – K2 = 4 – 0 – 1 = 3 D ke C = C13 – R1 - K3 = 3 – 0 – (-1) = 4 E ke C = C23 – R2 - K3 = 3 – 3 – (-1) = 1 F ke A = C31 – R3 - K1 = 9 – 6 - 5 = -2